Философия Платона в самом своем существе органически связана с математикой. Не так уж много можно назвать философов, чье мышление столь же сильно определялось математикой, как платоновское. К ним относятся разве что Декарт, Лейбниц и Кант. Декарт и Лейбниц стоят у истоков математики нового времени, они сами - творцы новых направлений математической мысли, создатели новых математических методов - аналитической геометрии и дифференциального исчисления. Кант, правда, не сделал сам новых открытий в математике, но он трудился над ее философским обоснованием. Трансцендентальный идеализм Канта в такой же мере есть обоснование условий возможности математического знания, в какой сам факт существования математики как науки послужил одной из важнейших предпосылок создания трансцендентального идеализма.

Что касается Платона, то его скорее можно сравнить с Кантом, чем с Лейбницем и Декартом: Платон больше размышлял над философским обоснованием математики, занимался решением собственно математических задач. Но в отличие от Канта он был непосредственно связан с крупнейшими математиками своего времени: Теэтетом, Евдоксом и особенно Архитом, его близким другом и учеником, а потому их взаимное влияние друг на друга было прямым и весьма ощутимым для обеих сторон. Достаточна» вспомнить, что при входе в Академию Платона была надпись: «Негеометр - да не войдет». Те, кто не были сколько-нибудь сведущи в музыке (кстати, тоже математической: науке), геометрии и арифметике, действительно не принимались в Академию. Диоген Лаэртский сообщает, что, возглавлявший Академию Ксенократ сказал человеку, не знакомому ни с одной из названных наук: «Иди, у тебя нечем ухватиться за философию»^[1].

Это обстоятельство важно иметь в виду как при изучении философии Платона, так и при анализе античной математики: первая помогает понять вторую и наоборот. Платон, как и позднее Кант, дал философское обоснование математики.

Математическое естествознание - продукт длительного развития науки. Оно сложилось только к концу XVI - началу XVII в., однако предпосылки его формировались уже раньше, на протяжении многих веков. Одной из предпосылок естествознания, каким мы видим его сегодня, является математика. А математикой как строгой наукой мы обязаны античной Греции: важнейшие достижения греческих математиков были систематизированы в III в. до н. э. Евклидом в его знаменитых «Началах», значение которых для дальнейшего развития науки трудно переоценить. В своих «Началах» Евклид подытожил то, что было сделано греческой математикой начиная с VI в. до н. э.

За этот сравнительно короткий период - с конца VI и по III в. до н. э.- математика в сущности стала наукой в собственном смысле слова. Ибо хотя в древнем Египте и Вавилоне задолго до греков существовало высокоразвитое искусство вычисления, но особенностью восточной математики было отсутствие в ней систематичности, связи отдельных ее положений и методов друг с другом, а также системы доказательств, которая впервые появляется именно у греков^[2].

Развитие греческой математики в VI и V вв. до н. э. в первую очередь связано с пифагореизмом. У пифагорейцев мы находим новое - по сравнению с восточной математикой - понимание числа и числовых соотношений, а в связи с этим - и новое представление о задачах и цели математической науки. С помощью числа пифагорейцы не просто решают практически-прикладные задачи, а пытаются объяснить природу всего сущего. Этот подход послужил предпосылкой для возникновения математики как теоретической науки о числах и их отношениях.

Однако сами пифагорейцы не ставили задачи логического обоснования всего того, что они усмотрели и открыли при анализе числа: видимо, потребность в таком обосновании назрела не сразу, а постепенно в силу ряда факторов - как внутритеоретических, так и общекультурных. Одним из внутритеоретических факторов было открытие несоизмеримости, нанесшее сильный удар пифагорейскому убеждению в том, что «все есть число». Открытие отношений, не выразимых числами (греки считали числами только целые числа), вызвало первый в истории кризис оснований математики и заставило рождающуюся греческую науку задуматься о своих предпосылках. До этого пифагорейцы «работали» с понятиями, не выясняя специально их онтологического статуса. Так, например, они отождествляли числа с вещами, как об этом сообщает Аристотель^[3].

По-видимому, учение пифагорейцев послужило одним из объектов критики элеатов: последние выступали с утверждением, что мыслить множество без противоречии невозможно. Зенон Элейский впервые логически проанализировал проблему единого и многого, тем самым поставив в центр внимания проблему бесконечности, имеющую огромное значение не только для логики и философии, но и для математики. Ведь число - синтез единого и беспредельного, и именно в этом плане рассматривали его пифагорейцы. В результате возникла потребность уяснить логическую природу числа и прежде всего ответить на вопрос: что такое множество и как соотнесено оно с единым? Возможно ли без противоречия мыслить единство многого?

Эта задача стала еще более настоятельной после того, как с критикой возможностей объективного знания выступили софисты, доказывавшие, что познание с необходимостью носят субъективный характер, поскольку зависит от субъективных особенностей познающего. Проблема обоснования математики теперь оказывалась тесно связанной с проблемой обоснования возможности научного знания вообще. Решение обеих и взял на себя Платон. Своеобразие его постановки вопроса состояло в том, что именно математика служила для него образцом научного (объективного) знания, а потому, идя от нее, он искал средства обоснования науки в целом. Но этим путем он в то же время пришел и к первой форме логико-философского обоснования самой математики.

Поскольку все знание о природе, как оно было представлено в досократовской «физике» - натурфилософии, есть знание о том, что возникает и уничтожается, постольку оно, с точки зрения Платона, не может быть достоверным, истинным знанием и должно быть отнесено к сфере изменчивого «мнения». При этом характерно, что, согласно Платону, изучение мира чувственного бытия не только не способствует познанию бытия истинного, незримого, неизменного, вечно пребывающего, но оно, напротив, мешает этому истинному познанию. Для того чтобы обратиться к познанию истинного бытия, «нужно отвратиться всей душой ото всего становящегося: тогда способность человека к познанию сможет выдержать созерцание бытия…»^[4].

Может возникнуть естественный вопрос: если установка Платона требует отвернуться от познания природы, с тем чтобы человек направил, свой взор на некое «безвидное», бестелесное, вечное бытие, то такая установка гибельна для естествознания, она представляет собой какой-то обскурантизм, доказывает ученому, что всякие его попытки раскрыть закономерности природы заранее обречены на неудачу, а тем самым вселяет в него дух скептицизма, являясь, таким образом, препятствием на пути развития науки^[5].

На первый взгляд может показаться, что это действительно так и что роль философии Платона в эволюции науки может быть квалифицирована лишь как отрицательная. Но в действительности процесс развития науки очень сложен, и то, что на первый взгляд может показаться уводящим с прямого пути накопления положительных знаний о природе, на самом деле оказывается открывающим новый, ранее неизвестный путь. Здесь мы имеем дело с той диалектикой познания, о которой В. И. Ленин писал: «Движение познания к объекту всегда может идти лишь диалектически: отойти, чтобы вернее попасть…»^[6]. Характерно, что Ленин говорит об этом диалектическом характере движения познания «к объекту» именно в связи с критическим анализом идеализма Платона.

Платон действительно требует отвернуться от природы, отойти от нее в том виде, как она дана чувственному созерцанию, но отойти, чтобы выработать новые средства познания, которые позволят впоследствии подойти к ней гораздо ближе, чем это делали натурфилософы. И хотя сам Платон полагал, что тот способ познания, разработкой которого он занимался всю свою жизнь, имеет своим предметом не природу, а мир чистых идей, но, как мы увидим, этот способ познания получил выход и в сферу естествознания, хотя и не сразу. Иначе и не могло быть, если учесть, что идеализм Платона - это исторически определенная форма решения отнюдь не мнимых, не придуманных, а реальных теоретико-познавательных проблем. «Философский идеализм,- говорит В. И. Ленин,- есть только чепуха с точки зрения материализма грубого, простого, метафизичного. Наоборот, с точки зрения диалектического материализма философский идеализм есть одностороннее, преувеличенное… развитие (раздувание, распухание) одной из черточек, сторон, граней познания в абсолют, оторванный от материи, от природы, обожествленный» ^[7].

Огл. 1. Проблема единого и многого и решение ее Платоном.

Проблема, которая стояла перед Платоном, может быть представлена в виде антиномии. Тезис ее сформулирован элеатами: истинно то, что тождественно самому себе, а тождественное себе не может ни изменяться, ни возникать и исчезать, ни двигаться, ни члениться на части; оно может быть и быть тождественным себе. Тезис элеатов, если его выразить формально-логически, свелся бы, следовательно, к закону тождества: А есть А.

Платон полностью согласен с элеатами в том, что без наличия чего-то самотождественного (т. е., иначе говоря, без принципа тождества) невозможно никакое познание. «…Не допуская постоянно тождественной себе идеи каждой из существующих вещей, он (человек - П. Г.) не найдет, куда направить свою мысль, и тем самым уничтожит всякую возможность рассуждения» ^[8].

Но тут возникает другое соображение - антитезис, сформулированный софистами: то, что в состоянии познать человек, не может быть тождественно самому себе, ибо самотождественное - то, что отнесено только к себе самому, а то, что мы называем познанием, есть отнесение познаваемого к субъекту познания. Значит, для того, чтобы предмет был познаваемым, нужно, чтобы он был отнесен не к самому себе, а к познающему субъекту. Если выразить эту мысль на языке Платона, то надо сказать: то, что может быть познано, есть всегда другое (а не тождественное) .

Стало быть, мы имеем два несовместимых утверждения: чтобы было возможно познание, нужно, чтобы предмет был тождественным себе: другими словами, нужно, чтобы он был отнесен к самому себе и к другому - познающему субъекту. Эта же самая антиномия может быть сформулирована и по-другому.

Тождественное самому себе, а стало быть, неизменное, вечное, неделимое и т. д. бытие предмета не может быть дано среди явлений чувственного мира и должно быть вынесено за пределы последнего. Это бытие Платон называет идеей.

Вопрос о возможности познания этой идеи (или этих идей), т. е. о возможности ее вступить в отношение с познающим субъектом, ставится в этом случае как вопрос о том, как идея может быть связана с чувственным миром, в каком отношении с чувственным миром она может находиться. Как может нечто самотождественное вступить в контакт с чем-нибудь, кроме себя самого? Если оно вступит в этот контакт, то оно уже не будет самотождественным, неделимым, неизменным и т. д., но если оно не вступит в него, то мир чувственный окажется совершенно непричастен ему и само оно окажется совершенно недоступным познанию. Платон формулирует эту антиномию с максимальной остротой (см.: Парменид 131 а - 131с).

Поскольку идея есть нечто единое, а соответствующих вещей, т. е. чувственных воплощений этой идеи, будет множество, то отношение между идеальным и чувственным- это соотношение между единым и многим.

Таким образом, полемика между элеатами и пифагорейцами по вопросу о едином и многом вновь возрождается у Платона, отягощенная еще одним аспектом, которого не было ранее, а именно аспектом гносеологическим.

Онтологически эта проблема формулируется так: как может единая идея воплотиться в множестве вещей, остается ли она после этого единым или становится многим?

Гносеологически она формулируется так: как может единое быть предметом познания? Ведь, оказываясь познаваемым, оно вступает в контакт с познающим, а значит, перестает быть единым.

А всеобщая, т. е. логическая, формулировка этого вопроса такова: как может единое - и может ли - быть многим?

С наибольшей полнотой данная проблема рассмотрена в диалоге «Парменид», который не случайно является вершиной логической мысли Платона.

Форма, в какой Платон рассматривает этот вопрос, сама по себе очень интересна. Он строит свое рассуждение по тому же принципу, по какому строится косвенное доказательство в «Началах» Евклида, а именно принимает определенное допущение (гипотезу - ipothezis) и показывает, какие выводы из этого допущения следуют.

Гипотеза I. «Если есть единое, то может ли оно быть многим?» ^[9]. Ясно, что ответ должен быть отрицательным: единое - это единое, оно не может быть многим. А коль скоро мы приняли этот тезис, то мы должны согласиться со следующим:

а) единое не может иметь частей, а значит, не может быть целым, ибо целое - то, что имеет части;

б) не имея частей, оно не может иметь ни начала, ни конца, ни середины, а поскольку начало и конец - предел каждой вещи, то единое - беспредельно, а также лишено всяких очертаний;

в) не имея частей, единое также не может находиться ни в самом себе, ни в другом, ибо, находясь в другом, оно охватывалось бы этим другим и касалось бы его многими своими частями, а, находясь в себе, оно окружило бы само себя и таким образом раздвоилось бы на окружающее и окружаемое; следовательно, единое находится нигде, т. е., по-русски говоря, нигде не находится;

г) опять-таки из-за отсутствия в нем частей единое не могло бы ни покоиться, ни двигаться, ни изменяться - в силу тех же аргументов;

д) самое парадоксальное, что единое, как показывает Платон, «не может быть тождественным ни иному, ни самому себе и, с другой стороны, отличным от самого себя или от иного» ^[10].

Что единое не может ни быть отличным от себя, ни быть тождественным иному, это понятно: ведь оно имеет только одно определение - быть единым, а для того, чтобы быть тождественным многому (или отличным от себя), оно должно соотнестисъ с другим, но никакого соотношения быть не может, пока дано только одно определение - единость. Всякое соотношение есть уже введение чего-то другого, а значит, противоречит исходной посылке.

Но почему же единое не может быть тождественным самому себе? Потому -что природа единого, говорит Платон, не та же, что природа тождественного. «Если бы единое и тождественное ничем не отличались, то всякий раз, как что-либо становилось бы тождественным, оно делалось бы единым и, становясь единым, делалось бы тождественным» ^[11].

Мы можем истолковать это объяснение Платона в том смысле, что понятие тождественности предполагает акт соотнесения, сравнения двух предметов, т. е. определенное действие сознания, в то время как единое есть самое первое, то, без чего вообще ничего не может быть. Единое есть условие возможности всего остального, в том числе и тождественного.

Таким же способом Платон доказывает, что единое не может быть ни равным, ни неравным себе (ибо для измерения необходима мера, отличная от измеряемого), оно не может быть причастно времени, ибо оно не имеет частей, а потому не может ни «становиться», ни быть в прошлом, настоящем и будущем^[12]. А поскольку быть причастным бытию можно только одним из этих способов, то единое, заключает Платон, «никаким образом не существует» ^[13].

Таким образом, в результате допущения единого мы получили вывод, что единого не существует. Если мы допускаем единое само по себе, исключающее многое, то такое единое есть ничто; «не существует ни имени, ни слова для него, ни знания о нем, ни чувственного его восприятия, ни мнения» ^[14].

Характерно, что у Платона совпадает онтологическая характеристика с гносеологической: единое, взятое само по себе, не только не может быть познано, но его и не существует, потому и не существует для него «ни имени, ни слова, ни знания о нем», что для него нет и бытия^[15]. Это очень примечательное тождество - тождество бытия и знания. Сейчас мы увидим, как обстоит дело с единым, у которого есть именно этот предикат - бытия. Оно окажется сразу в другом положении, чем единое, лишенное этого атрибута, Но тем самым мы переходим к другому допущению, начинаем новый круг рассуждения.

Гипотеза II. Единое существует ^[16]. «Итак, утверждаем мы, если единое существует, надо принять следствия, вытекающие для единого; какие бы они ни были» ^[17].

Рассмотрим вкратце этот второй круг рассуждения^[18].

Центр тяжести рассуждения в том, что теперь единое имеет предикат, этот предикат - бытие^[19]. Самое главное здесь в том, что бытие как предикат единого не тождественно самому единому, а потому, когда мы говорим «единое есть», мы тем самым произносим суждение: «А есть В», ибо если единое - А, то бытие - это не просто связка «есть»^[20], а это - именно другое, чем единое, а значит, это - В. Вот как Платон формулирует это важнейшее положение: «Итак, должно существовать бытие единого, не тождественное с единым, ибо иначе это бытие не было бы бытием единого и единое не было бы причастно ему, но было бы все равно что сказать «единое существует». Теперь же мы исходим не из предположения «единое едино», но из предположения единое существует» ^[21].

Собственно, здесь уже все сказано: дальнейшее рассуждение только эксплицирует, выявляет то, что уже заключено в этой посылке Платона. А заключено в ней утверждение, что единое - не то же, что бытие, «единое» и «бытие» - это уже не одно, а два, а там, где налицо два, уже совершен переход, выход за пределы одного, единого, там где два, уже возможно много: двойка у Платона не случайно выступает как начало множественности. Если появилось первое суждение: А есть В, то тем самым уже даны и все остальные: А есть С, А есть Д и т. д. Главное - выйти за пределы «А есть А», я этот выход Платон осуществляет: единое существует, или единое причастно бытию.

Постулируя, что «единое существует», мы тем самым получили первую систему; она, правда, еще очень простая, в ней связаны между собой всего два члена: «единое» и «бытие», а сама она может быть названа «существующее единое». Но как бы ни была проста и элементарна данная система, она уже содержит в себе принцип построения любой, самой сложной, в которой может быть огромное множество членов, т. е. на языке Платона,- частей.

Как нетрудно заключить, после того, как «единое существующее» предстало как целое, «частями» которого являются «единое» и «бытие», рассуждение, которое мы уже проследили однажды, дойдет в обратном порядке. Остановимся на некоторых наиболее важных моментах этого второго рассуждения.

«Итак, если бытие и единое различны, то единое отлично от бытия не потому, что оно - единое, равно как и бытие есть что-то иное сравнительно с единым не потому, что оно - бытие, но они различны между собой в силу иного и различного» ^[22].

Как понять это рассуждение? Видимо, Платон хочет сказать, что единое отлично от бытия не потому, что оно единое, а потому, что оно выступает в системе «единое бытие» или «бытийствующее единое», т. е. в силу соединения с бытием как другим, чем само единое. Только так мы можем понять слова, что бытие и единое различны между собой в силу иного. Благодаря их соотнесенности, через которую единое вступает в отношение, появляется новое определение самого единого: оно есть иное.

Если, далее, «единое существующее» есть система, то она представляет собой целое, а «единое» и «бытие» - ее части: таким образом, в отличие от первого случая, когда мы исходили из предпосылки «единое - едино», мы теперь можем говорить применительно к существующему единому о целом и его частях. А поскольку каждая из этих частей не стоит особняком, а есть часть целого, имя которому - «единое существующее», то каждая из частей причастна другой: единое не может быть без бытия как своей «части», а бытие - без единого. «Следовательно, - рассуждает Платон,- каждая из этих двух частей в свою очередь содержит и единое, и бытие, и любая часть опять-таки образуется по крайней мере из двух частей… Что ж, существующее единое не представляет ли собой, таким образом, бесконечное множество?»^[23]

Следовательно, достаточно единому вступить в первое отношение, т, е. получить первый предикат - бытия, как образуется система из двух членов, которая в сущности содержит в себе (потенциально) систему из любого множества членов. Ибо два, или, как говорит Платон в других диалогах, «неопределенная двоица», есть начало множественности. Где есть два, там всегда есть единое и иное, или, как сказали бы мы, единое и его отношение, а отношение имеет ту особенность, что оно множественно.

Как образно выражается Платон, «единое, раздробленное бытием, представляет собой огромное и беспредельное множество»^[24]. Единое может оставаться единым только при условии, что его не существует. Если же оно существует, то оно - многое.

Оказывается, быть - это и значит быть соотнесенным с другим, если мы хотим выразить бытие на языке мышления. Потому только единое может быть соотнесено с познающим индивидом, т. е. может быть познаваемым, что оно уже само по себе, независимо от познающего субъекта, соотнесено с другим. Платон очень хорошо показывает именно эту последовательность: соотнесенность единого с другим есть предпосылка его познаваемости. В силу того, что единому присущи все выше перечисленные предикаты, «поэтому,- пишет Платон,- возможно нечто для него и его и это нечто было, есть и будет… Возможно, значит, его познание и мнение о нем, и чувственное его восприятие»^[25].

Так завершается второй круг рассуждения. В качестве предпосылки Платон выставил утверждение: единое существует. В результате этого допущения оказалось, что в этом случае единое имеет противоположные определения, ибо с самого начала положение «единое существует» раскрывается как положение «единое есть многое». Но при этом следует еще один существенный вывод: единое познаваемо, если оно есть многое, т. е. если оно имеет предикат бытия.

Однако на этом размышление Платона еще не завершается. Он предпринимает новую попытку: посмотреть, какие выводы последуют из тех же самых посылок для иного, а не для единого. Поскольку Платон берет за исходные сначала посылку «единое существует»^[26], а затем - «единое едино» ^[27], то возникает впечатление, что следующие два круга рассуждения служат чем-то вроде проверки решения задачи, того решения, которое уже получено в результате первого и второго круга рассуждения.

Какой же результат приносит эта проверка?

Гипотеза III. Вот посылка третьего рассуждения: «Не рассмотреть ли теперь, что испытывает другое, если единое существует?»^[28].

Какие заключения вытекают для другого, если налицо система «существующее единое»? Другое определяется как не-единое (иначе оно не было бы другим), но поскольку оно должно быть понято, исходя из характера «отнесенного единого», а единое отнесено ни к чему более, как к другому, постольку понятно, что другое тоже будет отнесено к единому, т. е. они оба будут друг к другу причастны. Но нас здесь эта причастность интересует с точки зрения судьбы «другого». Что означает она для этого другого?

Как «другое», говорит Платон, оно должно быть отлично от самого единого. Единое - едино, значит другое должно иметь части (т. е. быть многим). Но части, в свою очередь, не могут существовать, если нет целого, частями которого они являются. Часть не может быть частью многого, иначе она и частью не будет, а станет чем-то беспредельным: ведь часть - это тоже что-то определенное, что-то одно, а значит, причастна единому.

Итак, если налицо система «существующее единое», то другое должно быть причастно единому и как причастное само должно быть целым и иметь части. Но поскольку оно при этом все-таки другое, то это его определение несет с собой и противоположное свойство, чем те, которые вытекают из его причастности единому. Это свойство - множественность. Всмотримся в эту множественность в тот именно момент (или с той именно стороны), в какой она не причастна единому.

«А что если мы пожелаем мысленно отделить от этого множества самое меньшее, что только возможно, это отделенное, поскольку и оно не причастно единому, не окажется ли неизбежно множеством, а не единым?» ^[29]. Значит, множественное «в тот момент, когда оно не причастно единому», представляет собой нечто весьма своеобразное: какую бы малую «часть» его мы ни взяли, она сама рассыпается, растекается на бесконечно многие «части», а потому ее даже нельзя назвать частью, ее вообще никак нельзя ни назвать, ни обозначить, кроме как беспредельностью, текучестью или, как её еще характеризует Платон, «природой иного». То, что не причастно единому, не есть вообще «нечто», для него нет слова, нет «логоса», оно - алогично, неназываемо и неуловимо.

«Если постоянно рассматривать таким образом иную природу идеи саму по себе, то, сколько бы ни сосредоточивать на ней внимание, она всегда окажется количественно беспредельной» ^[30]. Какой же вывод для другого следует из допущения, что «единое существует»? Аналогичный тому, какой мы получили из этой посылки для единого, а именно, что другому присущи противоположные определения. «Другое - не-единое,- как оказывается, таково, что если сочетать его с единым, то в нем возникает нечто иное, что и создает им предел в отношении друг друга, тогда как природа иного сама по себе - беспредельность» ^[31]. Определения «другого» потому и будут противоположны, что одни из них вытекают из его отличности от единого, а другие-из его причастности единому. «Поскольку… (другое) обладает свойствами быть ограниченным и быть беспредельным, эти свойства противоположны друг другу» ^[32].

Но при этом, как мы уже знаем, другое является познаваемым; наличие противоположных свойств - не препятствие для познания, а условие его, поскольку это наличие вытекает из отнесенности различных моментов, из принципа отношения, простейшей формой которого является любое суждение: А есть В.

Проверка второго круга рассуждения подтвердила его правильность: выводы те же, что и для единого.

Гипотеза IV. В четвертом круге - та же посылка, что и в первом, только выводы должны быть сделаны не для единого, а опять-таки для другого. «Если есть единое^[33], что должно испытывать другое?» ^[34].

Поскольку здесь единое берется как таковое, вне всяких определений, постольку у него нет никаких отношений, а значит, между ним и другим нет никакого посредствующего начала, они не находятся внутри одной системы. Платон это формулирует так: «Нет ничего отличного от них, в чем единое и другое могли бы находиться вместе»^[35]. Единое, взятое безотносительно, т. е. не наделенное атрибутом бытия, как мы уже знаем из первого круга рассуждения, не имеет никаких частей, а тому, у чего нет частей, ничто не может быть причастным. Другое, не причастное единому, не является ни единым (что само собой понятно), ни многим: ведь, как мы уже знаем, чтобы быть многим, оно тоже нуждается в причастности к единому. Оно в этом случае вообще лишено каких бы то ни было определений, что вполне понятно, поскольку все определения предполагают отнесенностъ, а ее здесь не может быть.

Вслед за Платоном мы рассмотрели четыре разные гипотезы и проследили, какие заключения из них вытекают. Все четыре имели в качестве общей посылки допущение, что единое есть, хотя это есть и понималось в разном смысле.

Оставшиеся четыре гипотезы имеют другую общую посылку: единое не существует. Платон прослеживает, .какие выводы вытекают из несуществования единого а) для самого единого по отношению к многому; б) для самого единого по отношению к самому себе; в) для многого по отношению к единому; г) для многого по отношению к многому.

Гипотеза V. В первом, на наш взгляд, наиболее трудном для анализа, рассуждении Платон доказывает, что если единое не существует, но мы о нем как о несуществующем все же ведем речь, а стало быть, приписываем единому некоторый предикат (пусть даже этим предикатом будет несуществование), то мы опять-таки получаем простейшую систему «несуществующее единое». А это значит, что единое имеет предикат и, стало быть, получает все определения, которые имеет единое, когда оно наделено предикатом «бытия». Более того, самое интересное в этом рассуждении Платона состоит в том, что несуществующее единое «каким-то образом должно быть причастно и бытию», иначе мы о нем вообще ничего не могли бы сказать.

Это соображение Платона проливает свет и на предшествующие его рассуждения. В каком же смысле, в самом деле, можно утверждать, что несуществующее единое причастно бытию? Разве это не абсурдное утверждение?

Нам кажется, что это утверждение Платона может быть истолковано следующим образом. Если мы вообще можем приписать единому какой-либо предикат - будь то существование или несуществование,- то мы тем самым ставим его в определенную связь с чем-то другим, чем оно само. Наличие такой связи служит первейшим условием того, чтобы мы вообще могли о нем что-то сказать, т. е. познать его: ведь и познание, и название словом - это на греческом языке передается термином «логос».

Значит, независимо от того, приписываем ли мы единому предикат «бытия» или «небытия», но если мы какой-то из них приписываем, т. е. произносим суждение «А есть В», то тем самым мы это знаем, коль сказываем. И в этом смысле -и только в этом - несуществующее единое «каким-то образом причастно бытию».

А вот когда мы говорим «единое есть» в смысле «единое есть единое», «А есть Д», то в этом случае, хотя мы и не говорим, что «единое не существует», но в результате экспликации содержания тезиса, «единое есть единое» мы приходим к выводу, что о нем вообще ничего нельзя знать, ничего нельзя сказать - и что оно, следовательно, непричастно бытию. И это потому, что оно определено с самого начала как лишенное всякого отношения.

Гипотеза VI. В этом втором случае тоже постулируется несуществование единого, но в другом смысле: в смысле отсутствия у единого какого бы то ни было предиката. Это - отрицательная форма того же самого допущения, какое в положительной форме дано в самом первом рассуждении: «Единое есть (единое)». Выводы из этого допущения поэтому те же, что и в первом круге: о несуществующем едином ничего нельзя высказать, «несуществующее единое ничего не претерпевает»^[36].

Гипотеза VII. «Обсудим еще, каким должно быть иное, если единое не существует»^[37]. В этом случае «несуществование» единого понимается в том смысле, как в рассуждении (а), где Платон исходил из системы «несуществующее единое». Иное, стало быть, соотнесено с несуществующим единым и определено этим соотнесением. Но в этой системе - «несуществующее единое» - положение с «иным» существенно отличается от того, которое мы описали в системе «существующее единое». Поскольку иное соотнесено, то в принципе мы о нем можем говорить, но поскольку оно соотнесено с несуществующим единым^[38], то мы о нем можем говорить лишь неопределенно: наше суждение о нем будет бесконечным, оно будет суждением типа «А есть не В».

Какие же характеристики в результате этого получает иное?

«… Любые (члены другого) взаимно другие, как множества: они не могут быть взаимно другими, как единицы, ибо единого не существует. Любое скопление их беспредельно количественно: даже если кто-нибудь возьмет кажущееся малым, то и оно, только что представлявшееся одним, вдруг, как при сновидении, кажется многими и из ничтожно малого превращается в огромное по сравнению с частями, получающимися в результате его дробления»^[39].

Таким образом, по Платону, ситуация, которую демонстрировал Зенон, доказывая невозможность множества, возникает в том случае, если многое соотносится с несуществующим единым. В этом случае не будет того принципу благодаря внесению которого множество приобретает характер определенного числа, а каждый член этого множества оказывается далее неделимым единством. Запомним этот вывод, он очень важен.

Итак, если многое соотнесено с «несуществующим единым», то оно приобретает те черты текучести, или, как сегодня часто говорят, «брезжущего смысла», когда невозможно остановиться ни на чем определенном, твердом, ограниченном^[40].

Гипотеза VIII. Наконец, последний случай: «Чем должно быть иное, если единое не существует» ^[41], но теперь несуществование берется в том же смысле, как и в гипотезе (б), а именно: единое вообще никак не отнесено к другому, не отнесено даже и как несуществующее. Какие выводы тогда следуют для иного? Раз нет никакой отнесенности, то понятно, что мыслить многое здесь вообще невозможно; это заключительное рассуждение полностью повторяет начало диалога: там мы имели дело с безотносительным единым.

«Если единое не существует, то ничто из иного не может мыслиться ни как одно, ни как многое, потому что без единого мыслить многое невозможно… Если единое не существует, то и иное не существует, и его нельзя мыслить ни как единое, ни как многое» ^[42].

Значит, если многое соотнесено с несуществующим единым, то его можно мыслить, о нем можно говорить, хотя оно и будет неопределенным, но если оно вообще не соотнесено с единым, то о нем ничего нельзя сказать, а это равносильно тому, что его нет.

Заключает Платон свой диалог следующими словами Парменида: «Не правильно ли будет сказать в общем: если единое не существует, то ничего не существует?

- Совершенно правильно»,- отвечает его собеседник^[43].

Иными словами, все живет единым: если не его утверждением, то его отрицанием, если не положительной, то отрицательной связью с ним.

Каким способом строит Платон каждый из рассмотренных кругов рассуждения? Как мы уже упоминали, он применяет здесь особый метод, а именно: принимает определенное допущение - гипотезу и прослеживает затем, какие утверждения следуют из нее. Этот метод получил впоследствии название гипотетико-дедуктивного, и значение его для развития науки нельзя переоценить. Его дальнейшей логической разработкой мы обязаны Аристотелю, а его применением к математике, вероятно,- современным Платону математикам - Архиту, Евдоксу и др. Во всяком случае, тот способ доказательства, которым пользуется Евклид в «Началах», построен по тому же образцу: делается определенное допущение на основе принятых аксиом и постулатов, а затем показывается, какие следствия должны вытекать из него.

Правда, как мы покажем ниже, применения этого метода у Платона и Евклида осуществляются по-разному, но схема, которой оба пользуются,- одна и та же.

Таким образом, Платон логически отработал тот метод доказательства, который в дальнейшем лег в основу античной математики и без которого невозможно было бы возникновение науки как строго доказательного, систематического знания. В этом - заслуга Платона и его школы перед наукой.

Как видим, Платон разрешает антиномию, поставленную перед философией элеатами и софистами.

Тезис элеатов: истинно (и познаваемо) только то, что тождественно самому себе ^[44].

Антитезис софистов: познаваемо и соответственно истинно только то, что не тождественно себе, не отнесено к себе, а отнесено к другому - познающему субъекту^[45]; поэтому всякая истина относительна, условна. Истин много, и каждый по-своему прав. .

Как решает эту антиномию Платон? Он, как мы видели, показывает, что условием познания (и не только познания, но, что важно, и самого бытия) единого является его соотнесенность с другим, а другое единое есть многое. И наоборот: условием .познаваемости (и существования) многого служит его соотнесенность с единым, без этого многое превращается в беспредельное (апейрон) и становится не только непознаваемым, но и несущим (Платон, как мы знаем, часто называет беспредельное небытием, «ничем» mi on).

Так одним ударом решаются оба вопроса: онтологический - как может единое стать многим, т. е. идея воплотиться в чувственный мир, и гносеологический - как может единое быть предметом познания, поскольку познание предполагает отнесение единого и себе тождественного к другому - субъекту знания.

Ответ гласит: единое есть многое, если оно мыслится соотнесенным с другим, а если его так не мыслить, то его вообще невозможно мыслить.

При этом необходимо иметь в виду, что эта соотнесенность есть характеристика именно самих идей. Платон подчеркивает, что именно в силу того, что в умопостигаемом мире идеи соотнесены друг с другом, что именно в логическом плане единое есть многое,- в силу этого они могут быть и соотнесены с чувственными вещами, и становиться предметом познания. Платон предлагает объяснить соотнесенность эмпирического мира с миром идей соотнесенностью идей между собой. Соотнесенность логосов определяет собой причастность к ним вещей и проистекающую из нее взаимную связь, соотнесенность уже и самих вещей.

Это и в самом деле тот пункт, в котором Платон пересматривает учение элеатов. У элеатов ведь единое выступает как начало, ни с чем не соотнесенное, а потому противоположное многому, т.е. миру чувственному. Чувственный же мир для них - противоречив, ибо в нем вещи «соединяются и разобщаются» одновременно. Платон же показывает, что это «соединение и разобщение», т. е. единство противоположностей, свойственно и миру умопостигаемому (т. е. тому, что элеаты называют «единым») и что лишь благодаря этому единое может быть и именуемым, и познаваемым. Если же его рассматривать так, как того требуют Парменид и Зенон, то оно будет вообще непознаваемым и безымянным, а значит, несуществующим.

Платон, таким образом, ставит идеи в отношение одна к другой и показывает, что только единство многого, т. е. структура составляет сущность умопостигаемого мира, и она есть то, что может существовать и быть познаваемо.

Описывая метод, примененный им в Пармениде, Платон говорит, что разум здесь пользуется гипотезами, предположениями для того, чтобы постигнуть высшее начало. «Достигнув его (начала всего, которое уже не гипотетично.- П. Г.) и придерживаясь всего, с чем оно связано, он (разум.- П. Г.) приходит затем к заключению, вовсе не пользуясь ничем чувственным, но лишь самими идеями в их взаимном отношении, и его выводы относятся только к ним» ^[46].

Огл. 2. Платон и пифагореизм

В своем учении о едином и многом Платон развивает пифагорейское учение о сущем как единстве предела и беспредельного. В отличие от пифагорейцев, для которых положение о числе как единстве предела и беспредельного возникло в докритической ситуации и еще не прошло через огонь зеноновской и протагоровской критики, Платон возвращается к этому положению уже на основе преодоления критической рефлексии как элеатов, так и софистов. Он принял эту критику внутрь своего учения, она присутствует теперь в нем в виде специально логического фундамента, требующего отныне отличать сферу идеальных образований от мира чувственных вещей. Это различие, рожденное в силу необходимости преодолеть релятивизм софистики, отныне должно служить гарантией возможности истинного знания.

Платона роднит с пифагорейцами следующая черта. Подобно тому как пифагорейцы рассматривают числа, Платон рассматривает единое (и вообще мир идей), т. е.. не в качестве Предиката чего-то другого, а в качестве субъекта, не как сказуемое, а как подлежащее. Действительно, как сообщает Аристотель, по мнению пифагорейцев, «ограниченное, неограниченное и единое - это … не свойства некоторых других физических реальностей, например огня или земли, или еще чего-нибудь в этом роде, но само неопределенное и само единое были (у них) сущностью того, о чем (то и другое) сказываются, вследствие чего число и составляло у них сущность всех вещей» ^[47].

Это существенная особенность раннепифагорейской теории, которая отличает пифагореизм, как мы уже показали, от древних натурфилософов, и это несмотря на то, что с точки зрения логической непроработанности исходных понятий они весьма близки к натурфилософам.

В каком же виде предстает теперь у Платона пифагорейское учение и какое обоснование он дает науке о числе, т. е. математике? В диалоге «Филеб» Платон анализирует исходные принципы пифагорейцев, устанавливая их связь с понятиями своей философии.

Вот как он объясняет, что такое беспредельное. «Посмотри, можешь ли ты,- обращается Сократ к Протарху,- мыслить какой-либо предел относительно более теплого и более холодного, или же обитающие в этих родах увеличение и уменьшение не позволяют дойти до конца, пока они в них обитают… Наша речь всегда обнаруживает, следовательно, что более теплое и более холодное не содержат конца, а если они лишены конца, то, несомненно, они беспредельны» ^[48].

Значит, беспредельное есть все то, о чем можно сказать «больше» и «меньше», а сюда относится все, что мы называем более или менее теплым, более или менее красным, более или менее сладким и т. д., т. е. все то, что имеет неопределенную характеристику и не допускает строгого определения.

Именно из-за того, что «более или менее» - главный признак беспредельного, Платон и называет беспредельное «неопределенной двоицей»: беспредельное всегда есть «более или менее», оно всегда имеет эти два значения и не может принять одного значения, не может определиться. Определить что-то - значит остановить это бесконечное колебание «более - менее», значит установить одно значение - предел.

Предел, будучи соотнесенным с беспредельным, вносит в него некоторую меру, создает мерное отношение, т. е. отношение равного, двойного, тройного и т. д. Мерное отношение, мера - это, по словам Платона, то, что возникает из «смешения»^[49] предела с беспредельным. Мера означает «согласие» противоположных начал - предела я беспредельного, а это согласие как раз и порождает число^[50]. Число, таким образом, есть единственное средство, с помощью которого можно остановить «качание» беспредельного и определить предмет.

Переход от восприятия, ощущения к мышлению предполагает операцию, которая на языке платоновской философии носит название перехода от становления (genesis) к бытию (to on). Становление, согласно Платону, это то, что неуловимо, не поддается твердой фиксации, что ускользает, меняется на глазах, предстает «то как мягкое, то как жесткое», о чем, стало быть, невозможно высказать нечто определенное. Для того чтобы стало возможным остановить этот поток, выделить в нем нечто одно, отличить его от другого, измерить его в каком-либо отношении, необходима какая-то другая реальность, которая позволяла бы осуществить применительно к ней подобные процедуры. Или, лучше сказать, необходимо допустить такую реальность, которая была бы условием возможности осуществления этих операций. Эту-то реальность Платон называет бытием.

Мера есть посредник между сферами бытия и становления. Мера же необходимо связана с числом. Именно число, а не само единое («предел») служит средством постижения чувственного мира ^[51].

Только такое познание может претендовать на достоверность, которое осуществляется с помощью числа. Такова математика. Платон полностью согласен с пифагорейцами в том, что математическое знание, знание о мерных отношениях, единственно достоверно.

Огл. 3. Число как идеальное образование

Теперь исследуем, каков онтологический статус числа у Платона. Число - это единство предела и беспредельного. Мы знаем уже, что такого рода единство противоположных начал Платон усматривает не только в чувственных вещах; соотнесенность единого и иного необходимо должна иметь место также и в сфере идеального, того, что постигается лишь с помощью мысли. Естественно поэтому, что число - идеальное образование, возникшее в результате связи противоположностей.

Таким образом, в отличие от пифагорейцев, у которых не существовало различия чисел и вещей, Платон такое различие устанавливает. «Он,- читаем у Аристотеля,- полагает числа отдельно от чувственных вещей, а они (пифагорейцы - П. Г.) говорят, что числа - это сами вещи, и математические объекты в промежутке между теми и другими не помещают. Установление единого и чисел отдельно от вещей, а не так, как у пифагорейцев, и введение идей произошло вследствие исследования в области понятий (более ранние философы к диалектике не были причастны)» ^[52].

Но что такое «математические объекты», или «математические вещи», как их называет Аристотель? Чем они отличаются от чисел, которые Платон считает идеальными образованиями? Почему Платон, по словам Аристотеля, помещает эти самые «математические объекты» в промежутке - между миром идеального и чувственным миром, т. е. между числами и вещами?

Обратимся за разъяснением вопроса о природе чисел и «математических объектов» к самому Платону. Поясняя, что такое число, Сократ говорит своему собеседнику: «Как ты думаешь, Главков, если спросить их (математиков.- П. Г.): достойнейшие люди, о каких числах вы рассуждаете? Не о тех ли, в которых единица действительно такова, какой вы ее считаете,- т. е. всякая единица равна всякой единице, ничуть от нее не отличается и не имеет в себе никаких частей? - как ты думаешь, что они ответят?

- Да, по-моему, что они говорят о таких числах, которые допустимо лишь мыслить, а иначе с ними никак нельзя обращаться» ^[53].

Итак, число - это идеальное образование, его нельзя воспринять чувственно, а можно только мыслить. В чувственном мире невозможно найти «единицу, которая ничем не отличалась бы от другой»,- любой предмет чувственного мира, любая чувственная «единица» отличается от другого предмета, от другой «единицы»,- тождественны они лишь с точки зрения того, что каждый из предметов мыслится как «один», а «один» равен «одному» только в мире идеализации.

Как образования идеальные и постижимые только мыслью, числа не отличаются от идей.

Важным моментом в платоновском обосновании числа как чисто мыслительного образования является положение о принципиальной неделимости единицы - неделимости логической, поскольку сама единица теперь мыслится как логическое начало. Согласно Платону, наука о числах «влечет душу ввысь и заставляет рассуждать о числах самих по себе, ни в коем случае не допуская, чтобы кто-нибудь подменял их имеющими число видимыми и осязаемыми телами. Ты ведь знаешь, что те, кто силен, в этой науке, осмеют и отвергнут попытку мысленно разделить самое единицу, но если ты все-таки ее раздробишь, они снова умножат части, боясь, как бы единица оказалась не единицей, а многими долями одного» ^[54].

Единица неделима, ибо она есть единое, а единое неделимо по определению. Единица, согласно концепции Платона, рождает множество, но и само множество имеет своим логическим условием единицу: ведь если нет единого, то нет и многого, поскольку многое - это множество единиц. Единицу нельзя разделить на том самом основании, которое Платон с предельной четкостью сформулировал в заключительных словах к диалогу «Парменид»: «Если единое не существует, то ничего не существует» ^[55].

Что же, однако, означают «математические вещи», или «математические объекты», о которых говорит Аристотель, и чем они отличаются у Платона от чисел?

Возвратимся опять к Платону: «Когда они (геометры.- П. Г.) пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. То же самое относится к произведениям ваяния и живописи: от них может падать тень, и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть лишь мысленным взором» ^[56].

Рассматривая эти соображения Платона в своей истории античной математики, Б. Л. ван дер Варден полагает, что античные математики должны были быть согласны здесь с Платоном. «И, действительно,-пишет Варден,- для прямолинейных отрезков, которые можно видеть и эмпирически измерять, является бессмысленным вопрос, имеют ли они общую меру или нет: ширина волоса уложится целое число раз в любом начерченном отрезке. Вопрос о соизмеримости имеет смысл только для отрезков, создаваемых мыслью» ^[57].

Платон, таким образом, различает геометрические фигуры, как они представлены на чертеже, и «фигуры сами по себе», т. е. такие, которые «можно видеть лишь мысленным взором». Видимо, последние как раз и есть те.«математические вещи», которые, по свидетельству Аристотеля, Платон отличает от чисел и которые он считает «промежуточными», помещая их между миром идеального и чувственным миром.

«Математические объекты», стало быть,- те образования, которыми оперирует не арифметика, имеющая деле с числами, а геометрия; это фигуры - окружности, треугольники, четырехугольники и их элементы: радиусы, углы, диагонали, биссектрисы и т. д., т. е. есть линии и плоскости (поверхности), по-разному сконструированные К математическим Платон относит и «объекты» стереометрии: шар, куб, тетраэдр, икосаэдр и др. Все это, согласно Платону, объекты мысли, но они в то же время могут иметь чувственные подобия, чувственные аналоги: в качестве таких подобий могут выступать не только начерченные на песке или на восковой дощечке круги, треугольники и т. д., но и вырезанные из дерева или камня шары, кубы, пирамиды. Видимо, в этом смысле Аристотель и говорит, что Платон считает числами и вещи и причины вещей, но причинами он считает числа умопостигаемые, а те, что воплощаются в вещах,- производными от первых ^[58]. Точно так же и с геометрическими объектами: те вещи, которые имеют форму шара или куба Платон рассматривает как чувственные подобия идеального шара или куба, так же как чувственными подобиями плоскостных геометрических фигур являются их чертежи

Огл. 4. Понятие пространства у Платона и онтологический статус геометрических объектов

Но почему же числа и геометрические объекты имеют у Платона разный статус: числа - чисто идеальные сущности, а линии, фигуры - сущности «промежуточные»?

В соответствии с этим различением арифметика выступает у Платона и Аристотеля как первая в ряду математических наук и наиболее среди них «простая», а тем самым и более достоверная, чем геометрия. В чем коренится такое различие между арифметикой как наукой о числах и геометрией как наукой о «фигурах»? Оно коренится в том, что числа и числовые отношения геометрия представляет в виде определенных пространственных образов, схем, т. е. фигур.

Пифагорейцы потому, видимо, не различали числа и вещи, что они считали единицу, имеющую определенное положение в пространстве (т. е. точку), вещью; поскольку эмпирический мир вещей - мир пространственный, то единица, становясь точкой, тем самым выступает как элемент пространственного, а значит, эмпирического, мира.

Показывая, что геометрические конструкции по своему статусу отличаются от вещей чувственного мира, Платон в то же время не может отождествить их с собственно идеальными объектами, каковыми являются числа ^[59]. Пытаясь найти онтологический статус геометрических объектов, он приходит к мысли о том, что пространство - стихия геометрии - есть нечто среднее между идеями и чувственным миром.

Насколько нам известно, Платон впервые в античной науке вводит понятие геометрического пространства; до него античные философы, за исключением разве атомистов, не отделяли сознательно пространства от его наполнения, но атомисты определяли пространство физически - как пустоту, отличая ее от атомов как «полного» пространства. И не только доплатоновская, но и послеплатоновская научно-философская мысль в лице Аристотеля и его учеников не признавала пространства в том виде, как его понимал Платов: пространство выступало у Аристотеля как «место», а это понятие не имело ничего общего с геометрическим пространством Платона.

Поскольку понятие пространства, впервые формирующееся у Платона, имеет очень большое значение для эволюции науки и ее исходных принципов и поскольку оно, далее, тесно связано с платоновским обоснованием математики, мы рассмотрим его здесь подробнее.

В диалоге «Тимей» Платон следующим образом определяет пространство: «…Приходится признать, во-первых, что есть тождественная идея, не рожденная и не гибнущая, ничего не воспринимающая в себе откуда бы то ни было и сама ни во что не входящая, незримая и никак иначе не ощущаемая, но отданная на попечение мысли. Во-вторых, есть нечто подобное этой идее и носящее то же имя - ощутимое, рожденное, вечно движущееся, возникающее в некоем месте и вновь из него исчезающее, и оно воспринимается посредством мнения, соединенного с ощущением. В-третьих, есть еще один род, а именно пространство (i hora): оно вечно, не приемлет разрушения, дарует обитель всему рождающемуся, но само воспринимается вне ощущения, посредством некоего незаконного умозаключения и поверить в него почти невозможно» ^[60].

Пространство, как видим, определяется Платоном как нечто отличное, с одной стороны, от идей, постигаемых мыслью (noisis), которых мы назвали бы по этой причине логическим объектом (для Платона логическое имеет статус единственно истинного бытия), а с другой - от чувственных вещей, воспринимаемых «ощущением» - isdzisis. Пространство лежит как бы между этими мирами в том смысле, что оно имеет признаки как первого, так и второго. А именно, подобно идеям, пространство вечно, неразрушимо, неизменно, более того, оно и воспринимается не через ощущение. Но сходство его с чувственным миром в том, что воспринимается оно все же не с помощью мышления. Та способность, с помощью которой мы воспринимаем пространство, квалифицируется Платоном весьма неопределенно - как «незаконное умозаключение» - apton logismo tini nodzo ^[61]. Переводя это выражение Платона как «гибридное рассуждение», Дюгем тем самым хочет подчеркнуть, что способность, которой мы постигаем пространство, есть некий гибрид, «помесь» между мышлением и ощущением.

Интересно, что Платон сравнивает видение пространства с видением во сне: «Мы видим его (пространство.- П. Г.) как бы в грезах и утверждаем, будто это бытие^[62] непременно должно быть где-то, в каком-то месте и занимать какое-то пространство, а то, что не находится ни на земле, ни на небесах, будто бы и не существует» ^[63].

Сравнение «незаконнорожденного» постижения пространства с видением во сне, очевидно, весьма для Платона важно, потому что он употребляет это сравнение не однажды. В диалоге «Государство», говоря о геометрии и ее объектах, Платон вновь пользуется этим сравнением: «Что касается остальных наук, которые, как мы говорили, пытаются постичь хоть что-нибудь из бытия (речь идет о геометрии и тех науках, которые следуют за ней.- П. Г.), то им всего лишь снится бытие, а наяву им невозможно его увидеть, пока они, пользуясь своими предположениями, будут сохранять их незыблемыми и не отдавать в них отчета. У кого началом служит то, чего он не знает, а заключение и середина состоят из того, что нельзя сплести воедино, может ли подобного рода несогласованность когда-либо стать знанием?» ^[64].

Пространство мы знаем как бы во сне, мы его как бы и видим, и в то же время не можем постигнуть в понятиях, и вот оно-то, по мнению Платона, служит началом для геометров. Значит, их начало таково, что они его не знают в строгом смысле слова.

Почему, говоря о пространстве, Платон прибегает все время к этому образу сна? Тут невольно приходит на ум известный платоновский символ пещеры: ведь узники в пещере пронимают за истину «тени проносимых мимо предметов», точно так же как человек во сне принимает за реальность «тени». Пространство в этом смысле у Платона не тени, т. е. не чувственные вещи, а как бы сама стихия сна, сам сон как то состояние, в котором мы за вещи принимаем лишь тени вещей. И так же, как, проснувшись, мы воспринимаем виденное во сне как-то смутно, не можем дать себе в нем отчет, оно как бы брезжит, не позволяет себя схватить и остановить, определить,- так же не дает себя постигнуть с помощью понятий и пространство.

Итак, Платон рассматривает пространство как предпосылку существования геометрических объектов, как то «начало», которого сами геометры «не знают» и потому должны постулировать его свойства в качестве недоказуемых первых положений своей науки.

Итак, Платон решительно выступает против внесения в геометрию механических методов; но это еще не значит, что он отождествляет геометрические фигуры с самими идеями и не ставит специально вопроса об их существовании - вопроса, который должен обязательно возникнуть, если онтологический статус геометрических объектов иной, чем статус идей.

Огл. 5. Обоснование геометрии у Платона

Одной из труднейших в идеалистической философии Платона является проблема: каким образом чувственные вещи оказываются «причастны» идеям? Что представляет собой эта причастность?

Эта же трудность получила свое выражение и в платоновской теории математического знания. Вопрос о том, каким образом вещи «подражают» идеям, теперь стоит в форме: как геометрические объекты «подражают» числам? Как соотносятся идеальные образования - числа - с математическими объектами - точками, линиями, плоскостями, углами, фигурами? Ведь и числа, по Платону, - это идеи; что же касается геометрических объектов, то они носят характер «промежуточный» между идеями и чувственными вещами. Они уже обременены некоторого рода «материей», которую неоплатоник Прокл назовет потом «умной».

Аристотель следующим образом поясняет, как платоники переходят от чисел к геометрическим величинам. «Что же касается тех, кто принимает идеи …,- пишет он,- то они образуют (геометрические) .величины из материи и числа (из двойки - линии, из тройки, можно сказать,- плоскости, из четверки - твердые тела … »^[65]. Посмотрим, каким же образом из чисел образуются величины.

О том, что такое число у Платона, мы кое-что уже знаем благодаря анализу проблемы единого и многого. В результате этого анализа мы уяснили, что мир идеального - это определенным образом возникающая система, что ни единое не может ни существовать, ни быть познаваемо без соотнесенности с .«другим», ни многое не может ни существовать, ни быть познаваемо без соотнесенности с единым. Эта соотнесенность, единство противоположностей как раз .и дает начало числу. «Первое» число - единица,- собственно, не число, а «начало» чисел вообще, - это единое, вносящее принцип определенности в беспредельное. Единица арифметиков - это «единое», организующее и порождающее числовой ряд. Но единое для порождения числового ряда нуждается в «партнере»-неопределенной двоице, которая у Платона выступает как «начало иного». Как мы помним, двойка - это «иное» единого и как таковая тоже принадлежит идеальному миру. Множество рождается, по Платону, из единого и «неопределенной двоицы»; не случайно Платон так близок к пифагорейцам: ведь тройка, согласно Филолаю,- «первое число», первое соединение единицы с неопределенной двойкой.

Здесь возникает затруднение, на которое обратил внимание Аристотель. «Если идеи - это числа, - говорит он, - тогда все единицы (в них) нельзя ни сопоставлять друг с другом, ни считать несопоставимыми между собой…»^[66]. В самом деле, если единица - это единство, а «двойка», содержащая «единое и иное», может быть названа идеей «различия», тройка, далее, соединяющая посредством третьего члена «единое» и «иное», может быть названа тождеством единства и различия, т. е. «целым», и т. д., то в самом деле Аристотель прав: тут нет абстрактных, безразличных друг другу единиц, «которые можно сравнивать между собой». Напротив, двойка, тройка, четверка и т. д. - это определенным образом организованные структуры, где каждая из «единиц» не может рассматриваться сама по себе. В то же время в арифметике мы «считаем» единицы, а значит, они не могут быть несопоставимы между собой. Аристотель отмечает здесь действительно ту трудность, которая толкала Платона и особенно его учеников Спевсиппа и Ксенократа к различению идеальных чисел и чисел математических. Но сам Платон, насколько мы знаем, этого различия, по-видимому, еще не производил, а различал числа и геометрические объекты.

Геометрические объекты получаются, как мы уже помним, «из материи и числа». «Материя»-это пространство. Что означает соединение чисел с пространством?

Начнём с единицы. Соединение единицы с пространством дает первый геометрический объект - точку. Точка- это «единица, имеющая положение» (Аристотель). Но, получив положение, единица тем самым приобщается к тому «незаконнорожденному виду» бытия, которое отличается от идеальной - логической - стихии, которой единица до этого принадлежала. Точка содержит в себе уже два ряда свойств: одни - унаследованные от отца - единицы (от мира идей), другие - приобретенные от матери - неопределенного пространства. От единицы точка наследует свою неделимость: отсюда и ее определение: «Точка - это то, что не имеет частей». Точку нельзя разделить потому, что она есть «воплощенное в пространстве» единое, а единое неделимо по определению. Но у точки появляется и свойство, совершенно чуждое единице - жилице мира идей: она движется. И своим движением порождает линию.

Этим свойством она обязана материи - «умной» материи - пространству. И движется она именно в интеллигибельной материи, а не в чувственном мире, т. е. в воображении, а не в чувственном восприятии.

В результате этих противоположных определений точка, с одной стороны, является границей (это в ней - от единого, оно же - предел), а с другой, может безгранично двигаться (беспредельное), порождая линию. Характерны в этом отношении те определения, которые дает точке Прокл в комментарии к Евклиду. Говоря о том, что точка - монада, наделенная положением, Прокл замечает, что благодаря этой наделенности положением она in fantasia protineti -«простирается в воображении», а потому точка enilon esti kata tin noitin ilin - «оматериалена через интеллигибельную материю», и в этом смысле есть нечто somatoidzes - «теловидное» ^[67].

Перейдем к двойке. Что будет с двойкой, если она соединится с интеллигибельной материей - пространством? Двояка - это «единое и иное», это - начало различия, когда единое перестает быть абсолютно единым и вступает в контакт с иным. Строго говоря, когда единица становится пространственной, т.е. вступает в контакт «с положением», а значит, с «иным», чем она сама, она уже - двойка. И действительно, со стороны того определения, которое она получает от этого контакта, от «положения» (пространственности), она есть движущееся, а движущаяся точка - это линия. (Правда, не будем забывать, что со стороны первого своего определения - единицы - точка есть граница, т. е. нечто устойчивое, неподвижное, закрепляющее.)

Но можно провести рассуждение и иначе. Если взять двойку не со стороны «материи» (движущаяся точка), а со стороны ее числового идеального «отца», то она есть две единицы. Две единицы, соединившиеся с пространством (т. е. с положением), будут двумя точками. Линия со стороны числа, т. е. своего логического, а не пространственного происхождения, определяется через «две точки».

Таково ее определение у Евклида: «Концы же линии - точки» (кн. 1, определение 3) ^[68]. Вот почему среди греческих математиков само собой разумелось, что линия - это двойка. Через двойку далее можно определить линию не только логически, но и «в воображении», т. е., погружая «двойку» в «интеллигибельную материю». Такое определение, однако, в отличие от первого будет включать в себя движение (kinisis fantastiki), а потому будет не логическим определением, а требованием осуществить некоторое действие - постулатом. Таков первый постулат Евклида: «Требуется, чтобы можно было через всякие две точки провести прямую».

Займемся теперь тройкой. Тройка в сущности у Платона является первым числом; ведь единица и «неопределенная двоица»-это скорее «начала» чисел, чем сами числа. Тройка же представляет собой единство единицы и двойки, т. е. начала ограничивающего и безгранично-неопределенного. Двойка, выражающая начало «различия», соединившись с материей-пространством, предстает как линия, неограниченно продолжающаяся в обе стороны. У двойки нет «середины», которая «удержала» бы ее «концы», «скрепила» бы их друг с другом. В тройке эта середина налицо, а потому она - нечетное число - является устойчивой. Но каким образом в пространстве соединяется двойка-линия с единицей-точкой? Возьмем точку вне прямой и соединим ее отрезками с концами прямой; тем самым мы произведем операцию в пространстве, аналогичную соединению трех единиц или двойки и единицы. В результате получим новый геометрический объект - треугольник.

В результате соединения точки с прямой (единицы с двойкой в пространстве) прямая больше уже не может неограниченно продолжаться в обе стороны: третья точка «держит» оба ее конца. Как «тройка»- первое настоящее число, так и треугольник - первая пространственная фигура; точка и линия - это элементы, «начала», из которых строятся геометрические фигуры.

При этом «переведении» чисел в пространство каждое новое число представляет пространственный элемент нового измерения: единица не имеет измерений («не имеет частей»); двойка имеет одно измерение - «длину без ширины» («Начала» Евклида, кн. 1, определение 2); тройка - два измерения - длину и ширину. Треугольник, таким образом, есть «первая» (не во временном, а в логическом смысле) плоскость, ибо тройка означает два измерения ^[69].

Наконец, четверка, соединившись с «материей» пространства, даст в результате три измерения. Если возьмем точку, лежащую вне нашего треугольника, и соединим ее с. вершинами последнего, то получим уже трехмерное тело - пирамиду (тетраэдр), которая будет парадейгмой, образцом объемных образований, будет «первым телом» опять-таки в логическом плане. Подобно тому как идеи у Платона являются идеальными образцами чувственных вещей, точно так же треугольник и пирамида являются у него промежуточными - не идеальными, но и не чувственно-телесными - образцами всех двухмерных (плоскостных) и трехмерных (объемных) объектов. И если мы будем называть это «промежуточное» начало, эту «интеллигибельную материю» пространством, то, стало быть, треугольник - это «первая», исходная, элементарная форма, «начало» плоскости, а тетраэдр - исходная, элементарная «клеточка» тела.

Но это не значит, что плоскость «складывается» из треугольников наподобие того, как одеяло сшивается из лоскутов. Отношение «образца» к тому, образцом чего оно является, иное, чем отношение атома к составленным из атомов телам.

Итак, касательно онтологического статуса геометрических объектов мы можем теперь сказать следующее. Платон исходит из различения трех видов реальности: «Есть бытие, есть пространство и есть возникновение» ^[70]. Бытие - это сфера идеального, куда Платон относит и числа; все идеальное постигается умом, и о нем возможно истинное знание - эпистеме. «Возникновение» - это сфера чувственного «бывания», она дана чувственному восприятию, и о ней возможно иметь лишь мнение в его двух видах - веры и уподобления. «Пространство» - нечто такое, что нельзя назвать ни идеальным в строгом смысле, ни чувственным, оно смутно и неопределенно, познается с помощью «незаконнорожденного рассуждения», т. е. воображения, как позднее определил Прокл. Объекты геометрии, однако, связаны с этим промежуточным родом бытия, хотя и не определяются только им одним. Поскольку они «воображаются», поскольку точка «движется» в воображаемом пространстве, они определяются этим последним. Поскольку же всякий геометрический объект (треугольник, квадрат, круг и т. д.) представляет собой некоторое число или числовое отношение, постольку он определяется не через пространство, а идеально, логически. Геометрические объекты, стало быть, тоже можно рассматривать как «гибриды»: в них логическое оказывается «сращенным» с некоторого рода «материей», а именно с пространством.

Поскольку, однако, точка, линия, треугольник, пирамида и т. д. - это воплощенные идеальные образования, постольку они. неделимы: отсюда учение платоников не только о неделимых точках, но и о неделимых линиях, неделимых треугольниках или, что то же самое, неделимых поверхностях. «Разделить» точку, «первую» линию, «первый» треугольник - все равно, что «разделить» понятие тождества, различия или «единства различных», ибо именно таковы «понятия» точки, линии и плоскости. О «делении» применительно к этим первым элементам можно, согласно платоникам и пифагорейцам, говорить только в одном смысле - в смысле уменьшения числа измерений. Так, например, в результате «разделения» треугольника, т. е. плоскости, получим не плоскости, меньшие по своей величине, а линию; в результате деления линии - не все меньшие линейные отрезки, а точку. В этом - различие между платоновским и демокритовским пониманием неделимого. Согласно Демокриту, при делении тела мы получаем в конце концов далее неделимые элементы того же измерения, что и само тело.

В самом деле, у Платона числовые (т. е. идеально-логические) элементы треугольника (тройки) - двойка и единица. Как можно «поделить» тройку? Только разложив ее на эти «элементы»: в результате вместо треугольника будет линия (двойка). То же и с линией. Напрашивается вопрос: а что же, разве мы не можем разделить линию не как двойку, а как «движущуюся» в воображении точку, ибо ведь линия этой движущейся точкой порождается? На этот вопрос платоники, мне кажется, должны ответить так: эту чертящуюся в воображении линию мы можем разделить, но мы разделим при этом не линию, а только некое чувственно воспринимаемое протяженное тело, которое будет «телом линии» только при одном условии: если оно - двойка. А двойку мы не можем делить иначе, чем на единицы, т. е. - применительно к геометрии - точки.

Огл. 6. Математические неделимые и проблема перехода от одного измерения к двум и более

Однако мыслить такого рода объекты-кентавры - линии, треугольники и т. д. было очень трудно: постоянно должны были смешиваться и спутываться между собой два аспекта: числовой (идеальный, логический) и пространственный - воззрительный, наглядный. Естественно, что при этом «неделимые линии» мыслились как «мельчайшие»: ведь они первые, из них - все остальные, и любой отрезок прямой тогда оказывается состоящим из этих неделимых (атомарных) линий, аналогично тому как у Демокрита тело состоит из мельчайших частиц того же измерения.

Именно на этом смешении двух способов рассмотрения основан трактат, приписывавшийся Аристотелю, но принадлежавший, возможно, Теофрасту,- «О неделимых линиях», где дается критика этого учения платоников. Автор трактата исходит из представления о том, что существуют «мельчайшие» в пространственном (а не логическом) смысле линии-атомы, из которых слагается «большая» линия. А при таком понимании действительно возникает целый ряд противоречий и неувязок, которые автор и перечисляет.

В связи с проблемой математических неделимых встает, однако, еще один, может быть, наиболее трудный вопрос. Мы уже знаем, что «разделить» математический объект, например плоскость, значит получить математический объект другого измерения: плоскость двухмерна; будучи «разделенной», она превращается в линию, т. е. в одномерное образование. Но что же это за способ деления? Как видим, он совсем не похож на обычное представление о делении как расчленении, разламывании тела на части: в результате деления мы здесь каждый раз как бы совершаем прыжок в другой мир, ибо переход от измерения к измерению непонятен ни с точки зрения логики, ни с точки зрения «мнения», т. е. обычного эмпирического представления о делении объекта.

Та же неясность и при действии «умножения», т. е. при переходе от одномерного образования к двухмерному, а от него - к трехмерному. С точки зрения платоника Прокла, «переход» от точки к линии и от линии к плоскости можно как бы созерцать в воображении: движение точки в интеллигибельной материи - пространстве - дает в результате линию; линия - как бы след движущейся точки в пространстве, след, удерживаемый воображением. Но созерцание движения точки, линии или плоскости - это еще не логическое объяснение перехода от объекта одного измерения к объекту двух или трех измерений. Возможно ли логическое объяснение такого перехода, можно ли постигнуть его в понятии?

Для ответа на этот вопрос обратимся вновь к диалогу Платона «Парменид». При анализе этого диалога мы сознательно опустили одно из рассуждений, одну из «гипотез» Платона, которая как раз теперь, может быть, прольет некоторый свет на интересующий нас вопрос. В этом рассуждении Платон рассматривает проблему приобщения единого к бытию: каким образом может происходить такое приобщение? Подобная проблема возникла для Платона после того, как во второй приводимой нами гипотезе он пришел к заключению, что если единое существует, то оно есть многое, а стало быть, оно причастно также и времени, и движению, и изменению. Теперь же он ставит вопрос так: «Если единое таково, каким мы его проследили, то не должно ли оно, будучи, с одной стороны, одним и многим и не будучи, с другой стороны, ни одним, ни многим, а, кроме того, будучи причастным времени, быть какое-то время причастным бытию, поскольку оно существует, и какое-то время не быть ему причастным, поскольку оно не существует?» ^[71].

Приобщение к бытию - возникновение, а отрешение от бытия - гибель. Но это только крайние из состояний, в какие может переходить система единое - многое; помимо них, существуют промежуточные, такие как увеличение и уменьшение, уподобление и становление неподобным, разъединение многих и соединение (многих) в единое - одним словом, все виды переходов из одного состояния в другое, переходов, которые все заданы уже крайними переходами из бытия в небытие и обратно.

К числу этих переходов Платон относит также переход от покоя к движению и обратно, замечая при этом, что пока что-то движется или покоится, оно находится во времени, но когда оно переходит от покоя к движению, то в момент перехода оно и не движется, и не покоится. «Ведь не существует времени, в течение которого что-kибо могло бы сразу и не двигаться, и не покоиться… Так когда же оно изменяется? Ведь и не покоясь, и не двигаясь, и не находясь во времени, оно не изменяется… В таком случае не странно ли то, в чем оно будет находиться в тот момент, когда оно изменяется?» ^[72] Если, двигаясь или покоясь, нечто находится во времени, то в момент перехода от движения к покою оно не находится во времени. Чем же в таком случае является то, «в чем» оно находится в момент перехода? Оно является, по Платону, вневременным «вдруг». Ибо это «вдруг», видимо, означает нечто такое, начиная с чего происходит изменение в ту или другую сторону. «В самом деле, изменение не начинается с покоя, пока это покой, ни с движения, пока продолжается движение; однако это странное по своей природе «вдруг» лежит между движением и покоем, находясь совершенно вне времени, но в направлении к нему и исходя от него изменяется движущееся, переходя к покою, и покоящееся, переходя к движению» ^[73].

Это вневременное «вдруг» не подлежит никакому закону или правилу: ни логическому, поскольку движение или покой - уже не просто логические категории, ни тем правилам, которые мы извлекаем из опыта и которые, хотя и имеют, по Платону, всего лишь статус «мнения», но все-таки дают возможность определять, как ведет себя движущееся или покоящееся тело. «Переход» же представляет собой «скачок», не поддающийся никакому постижению, Этот переход, по Платону, осуществляется везде, где происходит изменение: всякое изменение у него - это превращение в противоположное. «Но разве не так обстоит деле и при прочих изменениях? Когда что-либо переходит от бытия к гибели или от небытия к возникновению, происходит его становление между некими движением и покоем и оно не имеет в тот момент ни бытия, ни небытия, не возникает и не гибнет» ^[74].

Введение этого «вдруг», которое лежит вне времени и которое есть чистое «между», ни то, ни другое из двух противоположных состояний, весьма характерно для мышления Платона. Переход из одной противоположности в другую ничем не опосредован, вернее, опосредован «ничем», или, что то же самое, он опосредован этим странным по своей природе «вдруг», внезапным переходом, который выступает как провал в бездонную пропасть, и эта-то пропасть и образует границу между двумя противоположными состояниями.

Видимо, переход от одного измерения к двум, от двух - к трем представляет собой такой же скачок; одномерная линия, двухмерная плоскость и трехмерное тело - как бы три разных состояния, между которыми - прыжок, внезапный переход, осуществляемый не во времени и не логически, а «вдруг».

«Деление», благодаря которому происходит «скачок» от n-мерного к п - 1-мерному миру, предполагает всякий раз «переход в другой род».

Огл. 7. Проблема существования математических объектов

Теперь осталось выяснить отношение Платона к линейке и циркулю, вообще к применению механических инструментов в геометрии. Видимо, Платон признавал эти инструменты подходящими только для того, чтобы представить нашему «телесному зрению» те фигуры, которые мы «порождаем» в фантазии; чертежи на песке или на бумаге представлялись ему чем-то вроде «вторых подобий», точно так же, как произведения искусства,- это «вторые подобия» идей: «первыми» их подобиями служат произведения природы.

Всякое применение математики к познанию эмпирических явлений оценивается Платоном как ее прикладная функция, и хотя он против этого применения не возражает, но опасается, как бы из-за него не затемнилось и не исказилось понимание самой природы и сущности как математики, так и всей науки вообще. А это «затемнение и искажение», согласно Платону, сказывается в том, что из-за возможности применять математические знания на практике в саму математику вносятся механические методы.

Вопрос о применении в математике так называемых механических методов и «механических» орудий, прежде всего линейки и циркуля, имеет важный теоретический аспект, касающийся проблемы существования геометрических объектов, занимавшей античных математиков и философов не в меньшей мере, чем она занимает современных. В работах самого Платона мы не находим специального рассмотрения этого вопроса, но его обоснование геометрии позволяет судить о направлении, в каком проблема существования решалась в его школе. Дополнительный свет на этот вопрос проливают Комментарии неоплатоника Прокла к «Началам» Евклида.

В «Началах» Евклида существование геометрических объектов вводится, по-видимому, с помощью постулатов. Недоказуемые «первые положения» у Евклида разделяются на определения, аксиомы и постулаты. Аксиомы и определения ничего не говорят о существовании определяемого ими объекта. Иной характер носят постулаты, т. е. «требования» (itimatta).

Согласно неоплатонику Проклу, постулаты - это те положения, которые ставят требование что-то найти или сконструировать^[75]. По этой причине отнесенные к числу постулатов положения о равенстве всех прямых углов (4) и о пересечении двух не параллельных прямых при их продолжении (5) Прокл постулатами не считает. С другой стороны, Прокл не согласен считать аксиомой положение 9, относимое, как он говорит, «некоторыми» к аксиомам: ведь оно трактует о поверхности (пространстве) и тем самым «принадлежит к геометрической материи». Заметим характерное выражение: геометрическая материя.

Аксиомы, согласно Проклу, так же отличаются от постулатов, как теоремы от проблем. «Выведение из принципов опять-таки распадается на задачи (проблемы) и положения (теоремы). Первые обнимают собой построение фигур, разделение, вычитание и прибавление и вообще все, что с ними можно делать; последние указывают существенные свойства… Если кто-то формулирует задачу так: вписать в круг равносторонний треугольник, то он говорит о проблеме; ибо возможно вписать в круг также и неравносторонний треугольник. И опять-таки: на данном, точно определенном отрезке построить равносторонний треугольник - это тоже проблема, ибо можно построить также и неравносторонний. Но если кто-то формулирует положение, что в равнобедренных треугольниках утлы при основании равны, то можно сказать, что он формулирует теорему, ибо невозможно, чтобы в каком-нибудь равнобедренном треугольнике углы при основании не были равны ^[76].

Таким образом, теорема - это теоретическое утверждение, в котором определенному объекту приписывается свойство, присущее ему с необходимостью. Проблема же - это скорее практическая задача, которая выполняется определенным способом, и нужно найти эти способы, изобрести их и выполнить требуемое построение. Характерной особенностью задачи (проблемы) является то, что требуемое построение отнюдь не единственно возможное: при заданных условиях можно осуществить и другое построение. Теорема, таким образом, представляет собой утверждение, противоположное которому будет неистинным; к проблеме же определение «истинно - неистинно» не может быть применено.

Указав, таким образом, отличие между теоремами и проблемами, Прокл переходит к рассмотрению аксиом и постулатов. «Общим для аксиом и постулатов,- пишет он,- является то, что они не нуждаются ни в каком обосновании и ни в каком геометрическом доказательстве, но что они принимаются как известные и являются началами для последующего. Но аксиомы отличаются от постулатов так же, как теоремы от проблем. А именно, подобно тому как в случае теорем мы ставили задачу усмотреть и понять следствие из предпосылок, а в случае проблем получаем требование что-то найти и сделать, точно так же и в случае аксиом понимается то, что сразу видно и не представляет никаких затруднений… Но в случае постулатов мы пытаемся найти то, что легко получить и установить и относительно чего рассудок не затрудняется, не нуждается ни в каком сложном методе и ни в какой конструкции» ^[77].

Из дальнейшего сообщения Прокла мы узнаем, что еще до Евклида греческие математики и философы дискутировали между собой относительно значения недоказуемых предпосылок в геометрии. Ученик Платона Спевсипп не соглашался с математиком Менехмом, учеником Евдокса. Их спор был, по-видимому, продолжением полемики самого Платона с Евдоксом и другими математиками относительно применимости в геометрии принципа построения.

В чём же была суть этого спора? У Прокла по этому поводу читаем: Спевсипп и Амфином «придерживались того взгляда, что наукам о вечном приличествует скорее название теорем, чем проблем, поскольку они занимаются непреходящим предметом. Ибо в сфере непреходящего не существует становления, так что в ней нет места для проблемы, которая предполагает становление и создание чего-то такого, чего до этого не было, как, например, построение равностороннего треугольника или построение квадрата с данной стороной… Согласно им, следовательно, правильнее сказать, что все есть одно и то же и что мы рассматриваем его становление не деятельным, а познающим способом, тем, что берем вечно сущее как нечто становящееся, поэтому мы скажем, что все следует брать в смысле теорем, а не проблем. Другие же, как, например, школа математика Менехма, хотят характеризовать весь комплекс как проблемы. Но задача при этом является двойственной: она означает то изобретение чего-то искомого, то исследование определенного объекта с целью узнать, что он такое или каким свойством обладает, или в каком отношении он находится к другому объекту» ^[78].

Главное расхождение Спевсиппа с Менехмом, согласно Проклу, касается, стало быть, не вопроса о том, что такое треугольник: вечно-сущая идея или конструкция, порождаемая нами самими, а вопроса о том, как понимать это рассмотрение становления - «как деятельность (т. е. как построение) или как познание».

Сравнивая между собой точки зрения Спевсиппа и Менехма, Прокл говорит, что в сущности оба спорящих правы. Права школа Спевсиппа, «ибо проблемы геометрии - иного рода, чем проблемы механики… Но столь же права и школа Менехма, ибо без вхождения в материю невозможно нахождение теорем,- но я имею в виду умопостигаемую материю. Поскольку, следовательно, идеи входят в нее и оформляют ее, справедливо говорят, что они уподобляются становящемуся. Ибо деятельность нашего духа и эманацию его идей мы характеризуем как источник фигур в нашей фантазии и процессов, совершающихся с ними» ^[79].

У Платона нам не встречались термины, которыми здесь пользуется Прокл: «умопостигаемая материя» и «фантазия». Но то, что названо этими терминами, мы у Платона уже встречали: такая материя - это ведь гибрид, соединение, казалось бы, несоединимого - сверхчувственного и чувственного, то самое соединение, которое Платон считал характерным для пространства. А способность, которой постигается эта материя, носит у Прокла название «фантазия».

Что же касается аргументов Спевсиппа, то их Прокл считает относящимися к вопросу о невозможности конструирования геометрических объектов механическим путем.

И в этом пункте позиция Спевсиппа, судя по всему, смыкается с платоновской. Но теперь понятны нам и приведенные Проклом слова Спевсиппа о том, что, беря равносторонний треугольник или любую другую фигуру, мы «берем вечно-сущее как нечто становящееся». Любой геометрический объект - это вечно-сущее, взятое как становление; стихия геометрии - это, стало быть, умопостигаемая (вечно-сущее) материя (становление).

Значит, выходит, что постулаты Евклида представляют собой способы оперирования с этой «умопостигаемой материей» - пространством? Мы не знаем, как интерпретировал постулаты сам Евклид, но, по-видимому, Платон мог бы их истолковать именно так.

Что же представляет собой та способность, с помощью которой постигается «вторая материя»? И можно ли говорить о том, что она постигается, может быть, скорее она этой самой способностью «созидается»? Не случайно же возник спор между Спевсиппом и Менехмом, с чем мы тут имеем дело - с познанием или деятельностью. Платон в «Тимее» указал только на то, что способ познания, когда речь заходит о «пространстве»,- «незаконный»; Прокл теперь пытается ближе уяснить себе природу этого «незаконного познания», которое, может быть, есть скорее деятельность - та самая деятельность, которую требуют осуществить постулаты Евклида. «Возможность провести прямую из любой точки в любую точку вытекает из того, что линия есть течение точки и прямая - равнонаправленное и не отклоняющееся течение. Представим, следовательно, себе, что точка совершает равнонаправленное и кратчайшее движение; тогда мы достигнем другой точки, и первое требование выполнено без всякого сложного мыслительного процесса с нашей стороны»^[80].

Вот, стало быть, что означает первый постулат Евклида: это простейший акт представления того, как движется точка. Но если не нужно особых усилий, чтобы представить себе (а представление, образ относится к сфере становления) , как движется точка, то нужно сделать большое усилие, чтобы понять, где же, в какой стихии эта точка движется и что такое сама она. Может быть, это шарик, катящийся по столу? Или кусок мела, который движется по доске? Но они - не точки, а чувственные вещи. Может быть, точка - это идея? Но идея не может двигаться, она не причастна миру становления, в котором только и может иметь место движение. Что же такое точка и где то место, в каком она движется?

Прокл отвечает на этот вопрос так: «Но если бы у кого-нибудь возникли затруднения относительно того, как мы вносим движение в неподвижный геометрический мир и как мы движем то, что не имеет частей, а именно точку - ибо это ведь совершенно немыслимо, то мы попросим его не слишком огорчаться… Мы должны представлять движение не телесно, а в воображении (kinisis fantastiki) и мы не можем признать, что не имеющее частей (точка) подвержено телесному движению, скорее оно подлежит движению фантазии. Ибо неделимый «ум» (noos) движется, хотя и не способом перемещения; также и фантазия соответственно своему неделимому бытию имеет свое собственное движение»^[81].

Таким образом, движение геометрической точки совершается не в умопостигаемом мире, но и не в мире телесном; оно совершается в воображаемом мире: точка движется в фантазии. Такое название у Прокла получила способность, которая, согласно Платону, подобна сну. И в полном соответствии с утверждением Платона, что чертежи на песке представляют собой только чувственные подобия геометрических фигур, Прокл говорит, что телесное движение есть лишь чувственный аналог движения бестелесной точки по бестелесному «песку» - пространству, т. е. аналог воображаемого движения. Онтологический статус объектов геометрии определен Проклом вполне в духе Платона.

Именно такое обоснование позволяло, с одной стороны, избежать отождествления объектов геометрии с объектами арифметики - числами (идеями); с другой стороны, оно позволяло избежать отождествления геометрических методов с механическими, ибо оставляло за геометрическими объектами статус «промежуточных».

Таким образом, мы видим, в какой мере платоновское обоснование математики связано с его учением об идеях, как оно сформировалось уже во второй период деятельности Платона, когда он сблизился с пифагорейцами. Мы видим далее, что именно потребности обоснования математики побуждают Платона к специфическому рассмотрению материи как «пространства», определению, которое впоследствии подверг критике Аристотель, сторонник «динамического» понимания материи. У самого Платона, однако, понятие материи еще весьма нечетко, оно еще содержит в себе несколько разных значений, а потому поддается разным интерпретациям.

Позднее, уже в неоплатонизме, на базе платоновского понятия материи складывается уже более определенное различие между материей чувственной и умопостигаемой (или «умной»), и последняя мыслится как пространство. При этом проблема существования геометрических объектов решается с помощью ссылок на «воображаемое» движение «воображаемой» точки. Эта «воображаемая» точка - не является ли она предтечей той «материальной точки», с которой оперируют математика и механика уже нового времени?

Однако древнегреческая наука не смогла последовательно провести мысль о том, что геометрический объект - точка - движется в материальном мире; даже у Архимеда и Герона еще не было той формы связи этих двух областей знания (геометрии и механики), какая возникла в эпоху Возрождения, не было теоретически продуманного фундамента этой связи. Именно поэтому она не смогла накрепко связать между собой механику и геометрию. Связать их в такой форме довелось уже мыслителям нового времени, и на базе этого появилась возможность совершенно по-новому истолковать платоновско-пифагорейскую научную программу. Заслуга эта принадлежит эпохе Галилея.

^[1] Diog. Laert. De clarorum philosophorum vitis, dogmatibus et apophtegmatibus libri. Paris, 1878, IV, 10.

^[2] Древневосточная математика представляет собой совокупность правил вычисления: то обстоятельство, что древние египтяне и вавилоняне могли осуществлять весьма сложные вычислительные операции, ничего не меняет в общем - практически-прикладном - характере их математики.

^[3] «Пифагорейцы признают одно - математическое число, только не с отдельным бытием, но, по их словам, чувственные сущности состоят из этого числа: ибо все небо они устраивают и; чисел, только у них это - не числа, состоящие из (отвлечённых) единиц, но единицам они приписывают (пространственную) величину; а как получилась величина у первого единого, это по-видимому, вызывает затруднение у них» (Метафизика, XIII 6, 1080 в 13. Курсив мой.- П. Г.). Пространственные вещи у пифагорейцев состоят из чисел, а это возможно в том случае если, как и подчеркивает Аристотель, числа имеют некоторую величину, так что могут мыслиться занимающими пространство. При этом единицы, или монады, у пифагорейцев неделимы; это их важнейший атрибут, без которого они не могут был началами всего сущего. «Они (пифагорейцы.- П. Г.) говорят что числа - это вещи; по крайней мере математические положения они прилагают к телам, как будто тела состоят из эти: чисел» (Метафизика, XIII, 8).

^[4] Государство, VI, 518 с. Перевод А. Н. Егунова.

^[5] Такие соображения действительно не раз высказывались по поводу философии Платона.

^[6] Ленин В. И. Полн. собр. соч., т. 29, с. 252.

^[7] Там же, с. 322.

^[8] Парменид, 135 в-с. Перевод Н. Н. Томасова.

^[9] Парменид 137 с. Здесь, видимо, следовало бы перевести вопрос так: «Если единое едино, то может ли оно быть многим?» Хотя этот перевод звучит и не очень хорошо, но связку «есть» употреблять здесь не следовало бы, и ниже мы увидим, почему.

^[10] Парменид, 139 в.

^[11] Парменид, 139 а.

^[12] Парменид, 141 е.

^[13] Парменид, 141 е.

^[14] Там же, 142.

^[15] Впоследствии неоплатоники увидели в этом рассуждении Платона первую форму негативной теологии: единому, как оно есть само по себе, безотносительно к чему бы то ни было, невозможно приписать никаких предикатов: оно может быть определено только через отрицание. Это неоплатоническое понимание оказало влияние на средневековую теологию, ранневозрожденческую метафизику и немецкую мистику Мейстера Экхарта и Якова Беме.

^[16] Вот почему нельзя первое допущение формулировать так, как было сделано в переводе; ведь первое допущение гласит: если единое едино, то что? И вывод: если единое едино, то оно - ничто, его нет. Второе же допущение гласит: если единое существует, то что?

^[17] Парменид, 142 в.

^[18] Второе рассуждение гораздо глубже связано с первым, чем это может показаться на первый взгляд: а именно в первом рассуждении доказывается, что единое как таковое еще не имеет предиката бытия, что оно, будучи единым, не есть, а значит, бытие приходит к единому не из него самого. Второе рассуждение как раз и начинается с приписывания единому предиката бытия, т. е. с соединения единого с бытием.

^[19] Что бытие - предикат, и притом первый из предикатов, основа и источник предикации вообще, в этом утверждении заключен корень всей системы Платона; развертывание данного положения и составляет содержание платоновского идеализма.

^[20] Можно также сказать, что если в первом круге рассуждения «есть» в выражении «единое есть» понимать только в смысле тождества единого самому себе (почему мы и предпочли сформулировать это выражение как «единое едино»), то в этом втором круге рассуждения «есть» употребляется в экзистенциальном смысле, в смысле «единое существует». Но это различение связки «есть» в смысле формального тождества (тавтологии) и в экзистенциальном смысле, различение, которым пользуется современная логика, не во всех отношениях совпадает со способом мышления Платона, почему мы и предпочитаем излагать ход его мысли не на этом языке.

^[21] Парменид, 142 в-с (курсив мой.- П. Г.).

^[22] Парменид 143 в.

^[23] Парменид 142 е - 143.

^[24] Парменид 144 е (курсив мой.- П. Г.).

^[25] Парменид 155 d.

^[26] Парменид 157 в.

^[27] Там же.

^[28] Там же.

^[29] Парменид 158 с.

^[30] Там же.

^[31] Там же, 158 d.

^[32] Там же, 158 е.

^[33] Здесь опять-таки для большей точности надо бы перевести: «Если единое - едино, что должно испытывать другое?»

^[34] Парменид 159 в.

^[35] Парменид 159 с.

^[36] Парменид 164 в.

^[37] Там же.

^[38] Можно сказать, что здесь Платон в качестве предпосылки вводит наличие отношения (иное - отнесено, а потому о нем можно говорить, оно предицируемо), но то, к чему иное отнесено, не существует, а потому оно отнесено неопределенно и оказывается в конце концов отнесенным к самому себе.

^[39] Парменид 164 c-d.

^[40] Это рассуждение Платона, однако, показывает, что даже для того, чтобы мыслить множество как беспредельное, текучее, неуловимое, все же нужно соотносить его с единым, хотя и несуществующим. Эту мысль Платона хорошо усвоила античная философия, прежде всего Аристотель. Последний пишет по поводу «беспредельного»: «…ничто беспредельное не может иметь бытия, а если и не так, во всяком случае существо беспредельного (как такое) не беспредельно» (Метафизика, II, 2). Аристотель здесь говорит о том же, что и Платон: чтобы мыслить беспредельное, нужно как-то ухватить его, определить с помощью чего-то, что само не может быть беспредельным.

^[41] Парменид 165 е.

^[42] Там же, 166 а - b.

^[43] Там же, 166 b-c.

^[44] Другими словами, существует только единое, а многого нет, истинно только сверхчувственное, а чувственное - сфера мнения.

^[45] Другими словами, существует только многое, а единого нет. Познаваемое - только чувственное; сверхчувственное познание субъекту недоступно.

^[46] Государство 511 b-x. Перевод А. Н. Егунова.

^[47] Метафизика I 5.

^[48] Филеб 24 a-b.

^[49] Филеб 25 b.

^[50] Филеб 25 d-e.

^[51] Филеб 18 a-b.

^[52] Метафизика 16.

^[53] Государство VII, 526 (курсив мой.-П. Г.).

^[54] Государство VII, 525 d-e.

^[55] Парменид 166 c.

^[56] Государство 510 d (курсив мой.-П. Г.).

^[57] Варден Б. Л. ван дер. Пробуждающаяся наука. М., 1962, с. 201

^[58] «Платон,- пишет Аристотель,- считает числами вещи и причины вещей, но причинами он считает числа умопостигаемые, а те, которые отождествляются с вещами, воспринимаются чувствами» (Метафизика I, 8).

^[59] Это обстоятельство, видимо, не принял во внимание Д. Д. Мордухай-Болтовский, когда он писал: «Евклид вовсе не приписывал идеального существования геометрическим объектам, как это делал Платон» (Мордухай-Болтовскнй Д. Д. Комментарии к «Началам» Евклида.-В кн.: Начала Евклида, кн. I-VI, с. 238).

^[60] Тимей 52 a - b. Перевод С. С. Аверинцева.

^[61] Тимей 52 b.

^[62] Здесь возникает неясность в переводе, поскольку выражение «этому бытию» читатель, естественно, относит к пространству: ведь о нем сейчас ведет речь Платон. И получается, что пространству надо быть где-то, в каком-то месте и занимать какое-то пространство. А в оригинале говорится: «Мы видим (пространство) как бы во сне и утверждаем, что всякому сущему (to on apon) необходимо где-то находиться, быть в каком-то месте и занимать какое-то пространство, а то, что не находится ни на земле, ни на небе, как бы нигде не существует».

^[63] Тимей 52 b.

^[64] Государство 533 b-c.

^[65] Метафизика XIV, 3.

^[66] Метафизика XIII, 8.

^[67] Эти замечания Прокла цитируются по книге: Лосев А. Ф. Античный космос и современная наука. М., 1929, с. 413.

^[68] «Концы» - это границы, пределы, а определить - значит указать предел, ограничить.

^[69] В этой связи понятно, что плоскость мыслилась античными математиками не так, как ее мыслят математики современные: если для современного математика плоскость неограниченно протяженна во все стороны и это составляет существенный момент самого определения понятия «плоскость», то для Евклида плоскость - это «тройка», т. е. плоскостная фигура, прежде всего треугольник. По поводу евклидова определения плоскости в этом смысле характерно замечание Д. Д. Мордухай-Болтовского. Рассматривая определение пирамиды в XI книге «Начал», Мордухай-Болтовский пишет: «Евклидово определение пирамиды как телесной фигуры, ограниченной плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке, не удовлетворяет в настоящее время математиков. К тому же наше ухо режет и евклидов термин «плоскость», употребляемый не в смысле евклидовой плоской фигуры. Мы же пользуемся теперь специальным термином «грань» (Мордухай-Болтовский Д. Д. Комментарии к XI-XV книг «Начал» Евклида, кн. XI-XV. М,- Л., 1950, с. 170).

^[70] Тимей 52 d.

^[71] Парменид 155е.

^[72] Парменид, 156 c - d.

^[73] Там же, 156 d - e (курсив мой.- П. Г.).

^[74] Там же, 156e-157.

^[75] См.: Becker O. Grundlagen der Mathematik in geschitlicher Entwicklung. Freiburg-Munchen, 1964, S. 104.

^[76] Ibid., S. 100-102.

^[77] Ibid., S. 102.

^[78] См.: Becker O. Grundlagen der Mathematik in geschitlicher Entwicklung. Freiburg-Munchen,, 1964, 3. 101.

^[79] Цит. по кн.: Becker O. Grundlagen der Mathematik…, 5. 101.

^[80] Отрывок из Прокла цит. по кн.: Szabo A. Anfange der griechishen Mathematik, S. 374. Перевод с греч. Л. Шенбергера.

^[81] Цит. по кн.: Szabo A. Anfange der griechishen Mathematik, S. 375-376.