Около 5 тыс. лет отделяют первые цивилизации, первые памятники письменности, «пробуждающуюся науку» (Ван дер Варден, 1959), от палеолитических стойбищ с остатками геометрических орнаментов и счетных «бирок»; шумерскую математику с двумя системами счисления, алгебраическими и геометрическими задачами, математической терминологией, вычислительными таблицами, системой мер и весов и пр. (Вайман, 1961) - от рассмотренных выше подобий счетных инструментов, разнообразных попыток систематического счета с использованием опорных чисел-совокупностей и, компактной записи единиц едва ли намного далее числа их, соответствующего числу дней в году, геометрических форм, фигур, и соизмерений для орудий, строений, изображений; построения подобных фигур в «масштабе» от 2 : 1 до 1 : 400.

Но 25 тысячелетий предыстории математики, связанной с числами в графике палеолита в конце ледниковой эпохи, кажутся выдающимся достижением, если заглянуть в предшествующие им эпохи, исчисляемые сотнями тысячелетий. С материальной достоверностью частично сохранившихся до нашего времени следов раннего палеолита можно представить некоторые этапы операций, а возможно также представлений и понятий, которые лягут в основания математики. Таковыми были:

разделение целого на части (первая стадия обработки орудий, раздел добычи);

составление нового целого из частей (составные орудия, жилища); установление однозначного соответствия (орудие - тип, шаблон); единообразное повторение сходных элементов в пространстве и времени (симметрия и ритм в орудиях);

замена конкретного множества другим, более абстрагированным от качественных особенностей (прямые параллельные нарезки); простейшие парные соотношения (2 руки, день и ночь, тепло и холод, восток и запад и т. п.).

Простое сопоставление документов показывает, что эти новые возможности деятельности открывались долго и трудно при освоении новых источников пищи, энергии, минерального сырья, т. е. и объектов, и процессов окружающего мира, с усложнением технических возможностей общества. С этими первыми шагами естествознания и техники начиналась предыстория математики, математических понятий формы, величины, числа.

Перед лицом прямых данных иначе выглядят некоторые попытки предвосхитить косвенными путями процесс возникновения понятия числа и других математических понятий. Эффектная фраза Кронекера лишена смысла: числа оказываются делом рук человеческих, появляясь в ходе долгого постепенного процесса; вмешательства Господа Бога не видно ни на одной из стадий этого процесса. Миф о титане, «изобретшем число», справедлив лишь в том смысле, что понятие числа ставится в один ряд с достаточным уровнем памяти, пользованием огнем, техникой ремесел, искусством, процедурой «соединения букв» (предпосылки которой складывались в палеолите; см. стр. 30, 35 нашей работы) - с основными чертами материального контекста, в котором мы действительно можем наблюдать процесс выделения числа в самостоятельное понятие. За этим процессом на территории всей освоенной людьми ойкумены видны творческие усилия тысяч поколений - ясно, что «изобретение числа» не под силу одной гениальной личности.

Нет здесь заслуги и какой-то одной, «выдающейся» расы, вопреки мнению Кэджори (1917). Даже по известным пока материалам, одни и те же закономерности в графике палеолита характерны н для Европы и для Восточной Сибири, т. е. для зоны сложения и европеоидов и монголоидов; более ранние, дографические стадии операций с количеством сходны на всех заселенных людьми территориях, включая зоны сложения негроидов (см. Герасимов, 1964; Окладников, 1967; Алексеев, 1969).

В археологических материалах нет данных, указывавших бы на какой-то один центр появления и распространения операций с количеством и способов фиксации числовых значений, как это предполагали умозрительно Зайденберг (Seidenberg, 1962 а, б) и другие авторы. Напротив, все говорит в пользу конвергентного развития для разных группировок палеолитического населения по одинаковым в целом стадиям освоения категории количества.

Основной тезис Зайденберга - о происхождении чисел из названий участников ритуала в честь Сотворения - показывает слабое знакомство его автора с современными данными археологии, а в значительной степени и этнографии. Тезис Зайденберга - лишь частный вариант широко распространенной у зарубежных историков математики концепции, согласно которой «духовная деятельность низших обществ характеризуется прежде всего мистицизмом» (Boll, 1961, с. 12); далее следует ссылка на Леви-Брюля, обосновавшего будто бы эту концепцию (а на деле - отказавшегося от своей «рабочей гипотезы» из-за многих противоречащих ей фактов, включая и «первобытные» представления о числах). Эту концепцию разделял и Н. Я. Марр (1927), видевший в числах «изобретения магов», специально предназначенные для магических обрядов; ее поддерживал К. Абсолон, считавший свои материалы либо «мистикой чисел», либо декоративными штрихами без счетного значения (когда они не кратны 5). На деле же, как показывает экскурс к истокам важнейшего из «магических» чисел всех религий, они лежали в практическом освоении одного из циклических процессов природы (14-, 7-дневные фазы месячного цикла Луны). Сейчас мы не знаем вполне, когда и какие именно ритуалы возникли на этой практической основе, не знаем степени их насыщенности магическими и мистическими иллюзиями первобытных людей. Известно, однако, что последние полвека характеризовались резким завышением роли магических обрядов, колдовских ритуалов в появлении всего палеолитического искусства. Теперь же, как особенно наглядно обнаруживает это графика палеолита, становится ясно другое: на общей и довольно сложной социально-производственной почве еще в палеолите на обширных пространствах вырастают в тесной связи прообразы счетных бирок, первых календарей и геометрических орнаментов; в палеолите не ощущается противоречий между утилитарным, рациональным и эстетическим началом, между зачатками технического, природоведческого и художественного творчества. Не исключено, что «красота», «гармония», «изящество» математических структур, о которых часто говорят современные математики, напоминают о том далеком времени, когда, имея общие истоки, искусство и математика еще не разделялись в единой творческой деятельности человека. Очевидно, у этой деятельности было и второе, иллюзорное отражение, окрашенное религиозной мистикой; его значение гораздо труднее расшифровать; с точки зрения будущих достижений искусства и науки, оно осталось, по меткому выражению Ленина, «пустоцветом» на древе познания. Ведь какие бы ни совершались магические ритуалы над графикой палеолита за 150 последних веков, они не помогли перейти к символической записи не единиц, но разрядов чисел, к твердой системе счета, к расширению числового ряда за пределы первых десятков и сотен. Сдвиг этот произошел лишь с усиленным развитием земледелия, с выходом из замкнутого мира маленьких охотничьих общин к широким межплеменным связям и другими достижениями человечества в неолите и в начале века металла. Общественное производство, система социальных связей, преобразующая роль человеческого труда оказываются главными стимулами математики с самых ее начал.

Навыки трудовой деятельности, накопленный тысячелетиями творческий опыт палеолитических людей позволили им со временем, говоря словами К. Маркса, найти собственную, человеческую меру для оценки предметов и явлений окружающего мира, для формирования и изменения действительности «по законам красоты» ( Маркс и Энгельс, 1956, с. 566). Памятники палеолита позволяют проследить, как в общем русле творческой деятельности со специфически человеческой мерой, в деятельности «по законам красоты», в первых шагах техники, естествознания, искусства складывались предпосылки древнейшей науки - математики.

В заключение вернемся к вопросу, с которого начата эта работа,- возможность сближения историко-археологического и психологического планов формирования математических понятий. Как можно было убедиться, история оставила соответствующие документы «доисторического человека». Первоначальные результаты знакомства с ними показывают несколько иную картину, чем можно было предполагать по опыту экспериментальной психологии. И все же есть, как нам кажется, возможность найти точки соприкосновения, представляющие интерес для обеих научных дисциплин, особенно с точки зрения закономерностей творческой деятельности. Последние можно рассматривать и в операционном, и в мотивационном аспектах.

Прежде всего нельзя не отметить выводов Пиаже о едином процессе первоначального познания у ребенка, в котором представления о числе формируются в неразрывной связи, во взаимозависимости с представлениями о количестве, пространстве, времени и т. д. Те же обстоятельства отчетливо выступают при анализе археологических документов древнекаменного века, особенно наиболее ранних из них. Дальнейшее сходство пока не выявляется. По-видимому, отсюда линии развития расходятся соответственно резкому различию социальных норм, общественных традиций, всего практического опыта по освоению количественных соотношений реального мира и его категориального выражения в первобытном и современном обществе (ср. Валлон, 1956). Дети тех же австралийцев или бакаири, обучаясь в одних школах с европейцами, не хуже их усваивали современную арифметику (см. Штейнен, 1930, с. 9). На множестве аналогичных примеров мы убеждаемся, что нет структурных различий «первобытного мышления» и «логического мышления цивилизованных народов», которые искал Леви-Брюль, но есть разные стадии и формы общественной практики, общественного развития, которые отражаются в едином по структуре мышлении Гомо сапиенс.

На первых, архаичных стадиях общества его творческие достижения кажутся делом богов, титанов, вообще чем-то сверхъестественным, данным «свыше», непосильным человеку,- фантастически отражая тот факт, что эти достижения несоизмеримы возможностям индивида, появляются как продукт коллективных усилий сотен и тысяч поколений (Meyerson, 1948, с. 179-184). Особенно долго эта традиция видеть в новации «наитие», сверхъестественный акт удерживалась в математике, прежде всего применительно к математической интуиции. Но, как убедительно показывает, в частности, И. Мейерсон, математика развивается по присущим ей законам, непосредственно не зависящим от воли отдельных индивидов. Ее достижения объективируют во все более абстрактной форме те соотношения, которые человечество обнаруживает в реальном мире при взаимодействии с ним на протяжении всей своей истории. Индивид, создающий приращение на одном из участков математических знаний своего времени, в большей мере побуждается к этому структурой этого участка, ее несовершенством в сравнении с теми идеальными возможностями, которыми она может обладать в общей системе математического знания. Объекты, мотивирующие творческое движение мысли в математике, наиболее абстрактно выражены в сравнении с объектами других наук и сами по себе заключают возможности большого разнообразия вариантов этого движения, например, несколько типов интуитивных решений (Meyerson, 1948). Предрасположенность к тому или иному варианту пути, к тому или иному типу интуитивного решения в значительной мере не зависит от личности исследователя, она складывается в самой логике движения математического знания. Сможет ли данный исследователь «попасть» в такт этого движения, сможет ли выбрать лучший, наиболее адекватный для данного участка тип интуитивного решения _ зависит уже от его индивидуальных психических особенностей. Примечательно, что Мейерсон в более широком общественном масштабе пользуется для характеристики общественного источника интуитивного математического акта тем же по существу понятием побочного продукта, дополняющего прямой, осознаваемый продукт практической деятельности, которое выработал Я. А. Пономарев в экспериментах с интуитивным нахождением решения задач.

Возможно, расширение этого принципа «в глубь времен» позволит лучше понять важнейшие сдвиги в предыстории математики: открытие точки, линии, симметрии и ритма как побочных продуктов технологии и производственных функций орудий нижнего палеолита; открытие значений групп ритмических нарезок как способа фиксировать единицы совокупности и т. п. Даже появляясь как «озарение» в мыслях одного человека, такие открытия были побочным продуктом определенной системы производства, применявшейся задолго до этого. Более того, «счастливая находка», подготовленная предыдущим эмпирическим опытом общества, могла на тысячелетия оставаться незамеченной (мустьерские нарезки на костях; элементы «римских цифр» в графике палеолита и т. п.), пока не складывались более развитые общественные потребности и новые нормы мышления.

Вместе с тем, эти факторы нужно учесть при переносе этнографических аналогий на палеолит. Ведь «эксперимент» постороннего человека - этнографа - с решением практически не интересующей «дикаря» счетной задачи вызывал (если вызывал) довольно слабую мотивацию у этого испытуемого. Тем более, если те же бакаири, по Штейнену (1930, с. 53), имели более «ограниченную потребность» в практическом использовании чисел, чем открывавшие «принц 1-ны счета и абстракцию числа» их предки. Очевидно, гораздо более сильная мотивация была у создававших подступы к математическим представлениям охотников палеолита, для которых правильные результаты счета могли быть вопросом жизни или смерти. Здесь безусловно различие в психологической установке, уровне мотивации (ср. Фролов, 1971б).

Приведем хотя бы два примера в пояснение последней мысли. Юный австралиец-абориген Ваджири-Ваджири рос в племени, где знали лишь два слова-числительных -«один» и «два», считали повторениями их до «4», а дальнейший счет показывали на пальцах. В школе Ваджири быстро выучил числительные до 20, но никто в племени не проявил интереса к такому «бесполезному» знанию. В его пользе стал сомневаться и Ваджири. «Зачем надо было знать, что 8 + 9 = 17, когда у меня нет столько пальцев?»- думал он. В его глазах числа предстали как «пустяки белых людей», не нужные аборигену, -которому «читать надо следы, а не книги» (Локвуд, 1971, с. 59-69). Мотивация к изучению абстрактной арифметики угасает у Ваджири, а учителя легко могут принять равнодушие его к учебе за неспособность к абстрактным знаниям, за некий дефект интеллекта. На легкость такой иллюзии у преподавателя или этнографа-исследователя указала Т. Крёбер (1970, с. 122): индеец Ищи по просьбе ученых сосчитал до 10, внезапно остановился, сказав, что «больше ничзго нет». «…Он просто не привык считать абстрактно. Попытавшись это сделать, он решил, что это совершенно бесполезно. Можно пересчитать нечто реальное и осязаемое… Абстрактные числа сами по себе не интересовали Иши… Уотермен и Крёбер знали это и все-таки были введены в заблуждение. Их постигла судьба многих исследователей, неосторожно пользовавшихся формой вопросов, когда предпосылки, из которых исходит ученый, чаще всего остаются неизвестными и чуждыми его собеседнику». Прошло немного времени, и Крёберы убедились, что Иши прекрасно владеет двадцатиричной системой счета, на родном языке называет числа «40», «60», «80», когда в этом есть практическая необходимость. В чуждых ему условиях эксперимента Иши не показывал своих знаний (там же). О подобных фактах невольной «примитивизации» познаний коренных жителей Америки их исследователями-этнографами писал еще Ф. Боас (1926).

Не менее важна другая сторона дела. По Башмаковой и Юшкевичу (1951, с. 74), «всякая система нумерации фиксирует уже существующий устный счет. Счет продолжает совершенствоваться и развиваться вместе с дальнейшим прогрессом общества. При этом зафиксированная в символах система счисления часто отстает от фактически существующих способов счета». Рассматривая в археологических документах лишь зафиксированные в символах способы счета, мы вправе предполагать их «отставание» от уровня фактически существовавшего, практически использовавшегося тогда счета.

В свою очередь, археология может подсказать ответ на загадку «магического числа 7», весьма существенную для современной инженерной психологии (Миллер, 1964; Бобнева, 1966, Ломов, 1970). с)то не «злое пифагорейское совпадение», как думает Миллер, а один из примеров того, что историю творят люди с определенными, довольно мало различающимися (в пределах типа Гомо сапиенс) свойствами психики (ср. Леонтьев, 1965; Пономарев, 1967). Одно из таких свойств связано с предельными значениями объема оперативной памяти, внимания, абсолютных оценок (Фролов, 1969). Очевидно, оперативная память, оперативное внимание на первых этапах культуры более непосредственно были вплетены в сам процесс производства, от него в большей степени зависели жизнь и благополучие человека, его рода, общины. Слабость долговременной памяти (в сравнении с кратковременной) пережиточно сохранялась еще во времена «7 мудрецов» Древней Греции (Vernant, 1965). Возможно, здесь стоит напомнить, что в структуре волшебных сказок обычно не более 7 типов персонажей (Пропп, 1969, с. 73 136) В этой связи интересно вспомнить, что еще в опытах А. Бинэ испытуемые запоминали за одно монотонное прочтение не более 6 цифр, при ритмическом произношении эта величина возрастала вдвое при группировке попарно - в 4 раза. Если этот факт существен для устного счета (Taton, 1961), то тем более интересна его аналогия с ритмичностью и группировками первобытной графики. Графика значительно облегчила процесс счета, сохранение результата (вспомним пример с Имтеургином), и в этом смысле выступила как типично человеческий (общественный) способ расширения естественных границ памяти и внимания, «уплотнения» знаний в каждой запоминаемой единице. Это «уплотнение» характерно и для последующего развития математической символики (Meyerson, 1948), однако сам ход этого процесса, как говорилось выше, определялся не побуждениями индивида, а потребностями общества, структурой общественного производства еще на заре человечества.

Эти замечания имеют сугубо гипотетический характер, каждое из них требует более тщательного детального рассмотрения. Но если перспективы подобных точек соприкосновения исторических и психологических исследований творческой деятельности могут быть обоюдно плодотворными, то успех этого взаимодействия зависит не только от дальнейшего накопления порознь историко-археологического и психологического материала, но, может быть, в большей степени от разработки принципов его эффективного использования «на стыках» наук (о поисках в этом направлении подробнее см., например, Иоффе, Фролов, 1967; Фролов, 1974). Несомненно, от успехов науковедения в разработке общих закономерностей развития системы научного знания и форм научной деятельности в значительной мере будет зависеть дальнейший прогресс исторических и психологических аспектов изучения творческих начал математики.