Краткое содержание: Нам хотелось бы сформулировать понимание нечеткости в формате семантического свойства имен и предикатов. Согласно подобному семантическому представлению все какие бы то ни было сущности четкие, но и всякое нечеткое имя располагает в качестве приемлемых для его соотнесения кандидатов множеством порций действительности, и, равно каждый нечеткий предикат обладает в качестве приемлемых для его расширения кандидатов множеством классов объектов. Мы заново формулируем здесь подобные идеи в понятиях теории гранулированных долей. Мы хотим показать, что данная теория позволяет определить общие рамки, обеспечивающие появление возможности понимания отношения между нечеткими понятиями и концептами и соответствующими четкими порциями действительности. Кроме того, мы очерчиваем возможности такого формулирования в пределах именно конкретно данных ограничений теории нечеткости, обходящейся понятиями истинностно-значимостных пробелов и другими принадлежащими весьма известным методам средствами. Центральное место в нашем подходе занимает идея обязательной вовлеченности в суждение о действительности (1) выделения действительности посредством переднего и заднего планов внимания и (2) свойства гранулированности. На такой основе мы стремимся показать, что каждое нечеткое суждение строится в естественно порождаемом контексте, и оно не отмечено истинностно-значимостной неопределенностью. Мы различаем, в дополнение к четко гранулированным долям, еще и нечеткие и соотносимые доли, и объясняем роль последних в контексте включающих нечеткость суждений. В завершение мы показываем способность соотносимых долей поддерживать вынесение суждений эффективными значениями, умеряя свойственную таким суждениям нечеткость посредством приближений.

Огл.1.Введение

Рассмотрим собственное имя "гора Эверест". Оно соотносится с некоторым мереологически целым, определенным гигантским скальным массивом. Мереологическое целое представляет собой сумму собственных частей и гора Эверест определенно обладает в качестве части и собственной вершиной. Но в отношении других, лежащих в подножье горы Эверест частей нет полной очевидности в отношении их принадлежности к частям горы или к ее соседству. Неясно, какая же мереологическая сумма частей действительности на деле образует гору Эверест. Одно из решений заключается в признании множества кандидатур, ни одной из которых не предоставляется исключительных прав оказываться соотнесенным с данным именем нечто. Каждый в подобном множестве кандидатур обладает в качестве части вершиной высотой 29 028 футов. Различие же между этими кандидатурами обусловлено включением или исключением из состава горы Эверест частей, находящихся в пределах подножья (см. правую часть рис. 1).

Аналогично рассмотрим предикат "являться лысым". Конечно, Билл Клинтон не входит в область расширения подобного предиката, когда Юла Бреннера можно назвать явным его фигурантом. Но что можно сказать о Брюсе Уиллисе? Думается, что возможны некоторые включающие в себя Брюса Уиллиса кандидаты в расширения данного предиката, и некоторые не содержащие его другие.

Варзи фиксирует (2001) вышеназванное в статусе de dicto понимания нечеткости. Он истолковывает нечеткость не в виде свойства объектов, но скорее в виде семантического свойства имен и предикатов. Каждое нечеткое имя вызывает появление множество порций действительности, способных служить равно добротными кандидатами в возможные соотнесения, и каждый нечеткий предикат вызывает открытие множества классов объектов, оказывающихся равно добротными кандидатами на роль расширений. Другие, в частности Тай (1990), довольствуются включением нечетких объектов и сфер в выстраиваемую ими онтологию, и тем стараются защитить de re понимание нечеткости. В количественном формализме это воплощается в нечто, обозначенное Фишером (1996) под именем смазанных объектов и сфер. Важным местом подобного de re представления оказывается необходимость в расширении некоторой онтологии посредством включения новых, особых видов сфер и объектов в дополнение к уже однажды выделенным четким объектам и сферам. Последнее не только увеличивает онтологическую нарицательность, но и подразумевает необходимость исследования проблемы, - в действительности ли нечеткое размещение (нечеткие объекты в нечетких сферах) оказывается таким же или не таким отношением в сравнении с весьма похожим предшествующим четким размещением.

Открывающееся нам de dicto понимание не нуждается в расширении нашей онтологии. Скорее от нас требуется иная концептуализация отношения между, с одной стороны, концептами и понятиями, и, с другой, находящимися в мире четкими объектами и размещениями. Построению подобных связей скорее присущ не порядок "один к одному", но "один ко многим", и мы можем предположительно мыслить их предназначение в создании многообразия продуктов демаркации. Обычные субъекты в обычных (что означает: нефилософских) контекстах не осведомляются о существовании подобного рода возможности множественности предназначений. Скорее, казус одновременного установления множества четких соотнесений или расширений все же негласно остается за сценой. Мы в данном случае предлагаем теоретически проанализировать онтологию определенного рода частных связей когнитивного субъекта с определенной коррелирующей действительностью, строящихся на использовании нечетких понятий или предикатов. Но в то же время мы не ставим такой первостепенной цели как объяснение порядка мышления когнитивного субъекта при использовании подобного рода понятий или предикатов, сам факт, что множество существенностей, доступных для оперирования, лежат ниже порога ее внимания, и способен составить то нечто, сущность чего и раскрывает теория гранулированных долей.

De dicto понимание нечеткости рука об руку взаимодействует с теорией сверхзначимости, основанной на переопределении понятия истинности, вмещающей возможность множества кандидатов в уточнения, для которых согласно de dicto пониманию, допускается ассоциация с нечеткими именами или предикатами. Его основная идея заключается в возможности определения истинность утверждения, содержащего нечеткое имя или предикат, принимая во внимание все соответствующие последним кандидатуры соотносимостей или расширений. В порядке оценки семантического наполнения утверждения нам следует последовательно предпринять эффективный перебор и определить, в каждом частном случае, оказывается ли утверждение истинным или ложным. Такое утверждение как "Юл Бреннер лыс" сверхистинно, потому что оно истинно для каждого данного случая. Такое утверждение как "Билл Клинтон лыс" сверхложно, потому что оно ложно для каждого данного случая.

Рис. 1. Левая часть: доля с ячейками Эверест, Лхоцзе и Гималаи. Правая часть: видимая из космоса часть Гималаев с горой Лхоцзе (слева) и горой Эверест (справа).

Проблемы появляются в отношении предложений, выражающими неопределенность в том смысле, что они истинны для отдельных позиций и ложны для остальных. Ядро подобных проблем очерчивается так называемым парадоксом Сорите (Sorites) (Хайд, 1996). Рассмотрим Билла Клинтона. Он определенно не лыс и потеря одного волоса не делает его лысым. Это предполагает следующее общее выражение: если Клинтон не лыс и он теряет один волос, то он все еще не лысеет. Следование такого рода цепочкой умозаключений, если мы начинаем от не облысевшего Клинтона, показывает, что он все еще не лыс, даже если у него потеряно 10 волосинок. На интуитивном уровне, причина этого определяется невозможностью появления облысения при потере одного волоса. Подобную цепочку умозаключений можно построить и в случае горы Эверест. Вершина - очевидная часть горы. Если x представляет собой часть горы, то каждая связанная с x молекула вдобавок представляет собой и часть горы. Следуя подобной цепочкой умозаключений, мы в конце концов сможем заключить, что и Берлин является частью горы Эверест. В данной работе мы готовы обозначить рамки понимания того, как именно нормальный контекст утверждений разрушает такого рода цепочки рассуждений.

Мы собираемся сконцентрировать наше внимание на определяемом посредством случая конкретного соотнесения, т.е. соотнесения при помощи имен и определенных описаний таких конкретных порций действительности как горы и пустыни, иной раз допускающего выход за рамки задачи расширения представления о случае нечеткой предикации. В первую очередь, мы сосредоточимся на пространственных примерах. Однако, как станет понятно далее, защищаемым здесь принципам характерно то одно преимущество, что они автоматически позволяют обобщить и не только пространственные комбинации.

Огл.2. Суждения, сверхзначимость и контекст

2.1. Суждения и сверхзначимость

Как сказано выше, сверхзначимость основана на переопределении понятия истинности, приспосабливающем условие множественности возможных соотнесений. Однако пристальное рассмотрение обнаруживает весьма нередко встречающееся предназначение предложения служить определению истинностного значения вне зависимости от способностей соотнесения, относящихся к конституирующим его конкретным понятиям, подлежать более точному определению, или, другими словами, независимо от нашей способности ограничения подобного соотнесения именно одной (или именно несколькими) из множества уточняемых порций действительности. Предложение, с этой точки зрения, называется, для всех подобных уточнений, сверхистинным, если и только оно истинно, и сверхложным (если и только оно ложно). Если, с другой стороны, оно истинно для одних способов уточнения и ложно для других, оно выносится в пределы сверхзначимостной истинно-значимостной лакуны. Его истинностная значимость оказывается неопределенной.

Способ сверхзначимости можно понимать ответвлением стандартной модельно-теоретической семантики. Следовательно, в первую очередь он требует исследования в ситуации его приложения к воплощаемым в контекстно-независимом порядке формулам искусственных языков. Как указывали Смит и Брогаард (2003), степень и тип нечеткости, существенно меняющие конкретное понятие естественного языка, соответствуют фиксирующим его контекстам. Следовательно, они утверждают, что если сверхзначимостный метод распространяется на естественный язык, то нужна контекстуализация теории, проводимая посредством воплощения семантических оценок в качестве применяемых к суждениям, а не выражающим их предложениям. Последнее, помимо прочего, посредством суждений - предложений в качестве средств, позитивно используемых специфическими контекстами - определяет саму проецируемость понятий на действительность использующими их субъектами.

Тогда выясняется, что одно и то же предложение позволяет использовать его в различных контекстах для выражения различных суждений, даже если употребляемые конкретные понятия соотносятся с интуитивно видимой той же самой порцией действительности. Сверхзначимость подобного суждения может весьма отличаться, даже притом, что рассматриваемые предложения, как синтаксический объект, те же самые, поскольку воздействующие на соотносимые понятия степень и тип неопределенности будут зависеть от данного контекста. (Смит и Брогаард, 2003)

Условие контекстно-зависимости нечеткости привносит весьма важные последствия. При легкости образования примеров при помощи ни сверхистинных, ни сверхложных предложений, когда с этими предложениями работают вне контекста, - множество философских исследований нечеткости посвящены обсуждению предмета подобных примеров, - куда тяжелее искать примеры такого рода предложений в случае задаваемого нами ограничения утверждений естественным порядком порождения в актуально наполняющих человеческое существование специфического типа контекстах. Последнее обусловлено прагматическими причинами: подобные контексты усложняются свойствами, обозначаемыми как неопределенность, что делает их трудными если не невозможными для создания суждений в заданных ими пределах.

2.2. Контекстная зависимость

Обратимся к одной занимающей наши мысли идее, связанной с предложением:

[A] Эта лощина принадлежит к частям горы Эверест.

произнесенным некто, указывающим на маленькую расщелину на вершине горы. Конечно, другое дело овеществлять сущность исключительно в отрыве от всяких контекстов, но здесь у нас наличествуют некоторые педантично назначенные соотнесения "гора Эверест", придающие истинность высказыванию данного предложения, как и другие, придающие ему ложность. Предложение приобретает истинность если возможно пространственное определение точных признаков горы Эверест, например, посредством правила (R₁), заключающегося в проявлении достаточного условия для x принадлежать к частям горы Эверест так, что x занимает пространственную область, лежащую в пределах возвышающейся части горы, как это изображается на рельефных картах. С другой стороны, предложение становится ложным для всех иных точных признаков, сообразных с иным, не менее аттрактивным правилом (R₂), выражающимся в том, что если x представляет собой часть горы более определенного минимального размера, то, следовательно, материалом x оказывается камень.

Разного рода правила определения приемлемого выделения точных признаков теперь ограничиваются включением в различного рода контексты. Представим себе, например, произнесение предложения [A] спелеологом в начальный момент исследования впадины. Для нее впадина определенно представляет собой часть горы Эверест; она использует правило R₁ как нечто само собой разумеющееся. Более того, факт наполненности впадины воздухом для данного контекста критически значим: в случае заполнения камнями впадина будет отсутствовать. Использование ею [A] для выражения суждения в ее специфическом спелеологическом контексте придает итоговому суждению обоснованную оценку истинного для всех возможных в пределах данного контекста выделений точных признаков; и, следовательно, и сверхистинность.

С другой стороны, рассмотрим геолога, анализирующего пробы, собранные из просверленных в камне отверстий. Ему служит правило R₂: порции горы Эверест в каждом случае представляют собой каменную породу. Как мы видим, свое влияние здесь оказывает фактор прагматики: выстраивая суждение, геолог не употребляет ни [A], ни нечто подобное [A]. Даже отрицание [A], т.е. "данная впадина не является частью горы Эверест", не подлежит суждению в свойственном ему геологическом контексте.

Для некоторых предложений характерно свойство подлежать суждению только в определенных исключительных контекстах. Рассмотрим пример предложения:

[A'] Данная дыра принадлежит к частям моего жакета.

В большинстве повседневных контекстов [A'] просто не подлежит суждению. А если и подлежит суждению (в частности, в случае отнесения дыры к аксессуарам данного фасона), то становится сверхистинным.

Рассмотрим следующий пример:

[B] Данная бутылка пуста,

и несходство значимости этого предложения в двух различных контекстах. В первом, C₁, оно используется для выражения суждения любителем выпить в затюханном баре после поглощения последнего глотка пива из своей бутылки. Во втором, C₂, его отрицание предназначено для вынесения суждения санитарным инспектором, проверяющим эту же самую бутылку несколькими секундами спустя. Мы располагаем здесь двумя различными суждениями, которые позволим себе короче обозначить как: J₁ = (B, C₁ ) и J₂ = (не-B, C₂ ). J₁ оказывается сверхистинно, поскольку бутылка не содержит, для всех возможностей точного установления признаков, чего-либо пригодного для питья. Также сверхистинно и J₂: санитарный инспектор обнаруживает внутри бутылки бактерии и не существует такой возможности точного установления признаков, обеспечивающей для нее возможность оценивать предложение [B] как истинное.

Суждения, следует повторить, всегда строятся в контекстах. Однако, оценка суждения в соответствии с его истинностью (сверхистинностью) или ложностью (сверхложностью) является оцениванием замкнутости суждения в собственный контекст. Суждение представляет собой сверхистинное если и только если оно истинно при всех контекстуально соответствующих способах введения членов соответствующего "многого" в расширения соответствующих понятий; и аналогично в случае его сверхложности. Если предложение не подлежит суждению в данном контексте, то оно здесь даже не фиксируется в позиции, занимая которую, оно может представлять собой соответствующий объект сверхзначимости.

Способно ли предложение подлежать суждению в данном контексте и при этом оказаться неопределенным в его истинно-значимости? Это тот вопрос, по которому нам необходимо предпринять следующее. Понятие "контекста" конечно же знакомо своей известной проблематичностью. Первое преимущество нашего предположения тогда заключается в том факте, что предлагаемые нами рамки позволяют нам перефразировать подобный вопрос способом, не зависящим от употребления такого рода проблематичного представления.

Огл.3. Гранулированные доли

3.1 Передний план, фон и гранулированность

Наша главенствующая мысль сводится к тому, что любое употребление языка для построения суждения о действительности проявляется относительно некоей вмещающей гранулированную структуру доли. Уже каждое действие конкретного соотнесения и каждое действие восприятия вычленяют долю действительности в виде области переднего плана, в пределах чего расположен соотносимый объект, и в виде области фона, в связи с которой постигаются все находящиеся вне объекты. Когда некто переносит собственное внимание с того на это (например, с данного стула на этот стол), то он проявляет это относительно некоей онтологической перегруппировки переднего плана и фона: объекты в его окружении, ранее наполнявшие передний план, перешли в область фона, когда прежде принадлежавшие фону объекты ныне выдвинулись на передний план.

Определенный состав содержания не претерпевает здесь перегруппировки, однако мы можем выделить онтологическое изменение масштаба (zooming). Санитарный инспектор в первую очередь наблюдает бутылку, служащую фоном в смысле предмета её внимания; поскольку более тщательно она сосредотачивается на мелких частичках пены и пивного налета на стенках бутылки. Её видение мира первоначально востребует грубое и только затем тонкое разбиение.

Построение онтологической теории подобного способа членения, онтологического изменения масштаба и перегруппировки чревато определенным коварством. Его неизменной причиной оказывается расчлененность результатов гранулирования, означающая невозможность их понимания в соответствии с некоторой простой мереологической тенденцией. Если здесь наличествует некоторая объединенная, компактная (лишенная изъянов) порция действительности, могущая быть выдвинутой на передний план или быть подобным способом установленной в очертаниях в отношении ее окружения, то последнее - фон нашего когнитивного действия - допускает простую идентификацию не более чем в качестве мереологического дополнения находящегося на переднем плане. Если некий объект - скажем, Лидс, или мороженое у вас в руках, - включены в область переднего плана, то это не подразумевает, что, следовательно, сюда включены и все части этого объекта. Высказывание о гранулированности некоторых долей сводится к высказыванию о невозможности распознавания частей менее определенного размера. Отдельные улицы и здания в Лидсе не причисляются посредством созданной вами доли к переднему плану, когда вы, например, используете имя "Лидс" для планирования вашего путешествия по Англии в следующем месяце; отдельные молекулы мороженого не причисляются к переднему плану посредством созданной доли, когда вы сверху вниз рассматриваете мороженое у вас руках перед съедением. Это означает, что онтология структур переднего плана и фона более сложны, чем предполагалось до сих пор. Здесь недостаточно простой мереологии (Биттнер, 1997).

Сложность структур переднего плана/фона чревата известными последствиями и для проблемы нечеткости. В ее отношении существенно, что каждое разделение порции действительности на передний план и фон совместимо с целым диапазоном возможных представлений, служащих в качестве исходных составляющих объектов переднего плана. Присутствующая в нашей деятельности разделения гранулированность позволяет нам эффективно прослеживать низкоуровневые составляющие тех самых объектов, которые и устанавливаются в очертаниях. Это именно та гранулированность, что фактически просматривается в нечеткости наших понятий и концептов, позволяющая нам игнорировать существенные части и, следовательно, позволяющая игнорировать точные границы объектов, с которыми нам приходится работать.

К теории гранулированных долей обращены ряд наших предыдущих работ (Смит и Брогаард, 2003), (Смит и Биттнер, 2001), (Биттнер и Смит 2001) как значимой в смысле решения проблемы обращения с гранулированностью в рамках мереологии. Гранулированные доли могут определяться как системы ячеек, воплощаемые при помощи проецирования на действительность в чем-то подобно способу, которым проецируются на действительность наборы сигнальных огней, в темноте обрамляющие световые конусы. Например, рассмотрим простую долю Гималаев, показанную в левой части представленного выше рис. 1. Данная доля содержит ячейки, обозначенные "Эверест" и "Лхоцзе", совместно в составе некоей максимальной ячейки обозначаемой "Гималаи". Данные ячейки проецируются на различные части той порции действительности, что изображена на правой части рис. 1. Они выделяют горы из определенного скального массива. Происходит это скорее не физически, но посредством наложения на действительность назначенных границ, представленными черными линиями в правой части рисунка. (Смит, 1995), (Смит, 2001), (Биттнер и Смит, 2001). Назначенные границы образуются способом, сходным с выделением светового конуса, проецируемого на протяжении светового дня. Несмотря на существование назначенных границ, нам их вряд ли удастся увидеть. Поэтому для определения мест их пролегания нам приходиться пользоваться косвенными способами (например, картами, компасами и сложными вычислениями). В некоторых случаях мы располагаем неплохими основаниями для уверенности в их пересечении. Например, внезапно встречаемый откос может говорить нам, что мы уже пересекли границу горы Эверест. В некоторых случаях назначенные границы позволяют ассоциировать их с соответствующими реальными опорами, например, с системами кольев и ограждений на местности. Задачей геодезии является установление отношений между назначенными границами и подобного рода действительными физическими метками. (Моффит и Бушар, 1987), (Биттнер, 1999).

Проблематическая природа рассматриваемых нами здесь случаев, заключается в факте нелокализованности оказывающихся предметом нашего оперирования назначенных границ не в некотором определенном месте, но их существования скорее как проецируемой на действительность посредством разного рода когнитивных действий множественной системы границ. Нечеткость, в соответствии с de dicto пониманием окончательно обращается предметом назначаемой условности. Все, что существует в добротном физическом мире, - мире каков он есть перед нашим вторжением с нашими долями и назначаемыми нами бордюрами, - наделено четкостью. (Мы не затрагиваем проблем, проявляющихся в смысле данного тезиса в аспекте весьма малых шкал.)

3.2 Суждения, доли и контексты

Суждения и долевое членение весьма близко связаны. Рассмотрим упоминавшиеся выше суждения J₁ = (B, C₁) и J₂ = (не-B, C₂). Соответственно J₁ и J₂ имеются две доли Pt₁ и Pt₂ . Обе содержат ячейки "стекло" и "пиво", подобно ячейкам в доле в левой части рис. 1. Но Pt₂ вдобавок содержит ячейки, обозначенные "бактерия", "плесень", "хлор" и т.п. Более того, Pt₁ и Pt₂ отличаются не только собственной совокупностью ячеек; они отличаются и способами, которыми обычно содержащиеся в них ячейки проецируются на действительность. В доле любителя выпить ячейка обозначенная "пиво" проецируется (предназначается для проекции) на дозы пива, достаточные чтобы смочить горло. Соответствующие ячейки в доле санитарного инспектора проецируются даже на видимые только в микроскоп количества пива. Оценка подобных примеров раскрывает способы, благодаря которым доли, посредством свойственной им ячеистой структуры, оказываются промежуточными для контекстов, выстраиваемых теорией суждения, разработанной на основе конктекстно-зависимой модели нечеткости. Число и расположение ячеек в пределах доли и способы, посредством которых данные ячейки проецируются на действительность, - что помимо прочего означает гранулированность, посредством которой они сопрягаются с объектами действительности, - служат в качестве формально истолковываемых суррогатов свойств контекстов, соответствующих пониманию нечеткости как семантического (de dicto) феномена.

Давайте вновь обратимся к нашей доле Гималаев. Здесь наличествуют, как мы теперь можем сказать, множество равно добротных способов проецирования ячейки "гора Эверест" на соответствующие каменные образования. Каждому из них присуще собственное, несколько отличное расположение границ горы, проецируемых среди окружающих подножий. Каждая проекция подразумевает выделение именно одного возможного кандидата на точное выделение признаков. Другими словами, каждый наделен онтологическим коррелятом с полноценной четкостью. Нечеткость проявляется только в силу утраты единственности подобной приемлемой проекции.

Огл.4. Теория гранулированных долей: краткий обзор

4.1 Доли как системы ячеек

В теории гранулированных долей можно выделить две части: (A) теория отношений между ячейками и размещающими их долями и (B) теория отношений между ячейками и объектами действительности.

Теория (A) изучает свойства гранулированных долей, представленных в качестве отношений между, и действий, выполняемых над образующими эти отношения ячейками. Все такого рода доли включают ячейки, совместно расположенные в данной сетеобразной структуре. Подобная структура присуща доле как таковой; то есть справедливо понимать ее в статусе нечто, независящего от оказывающихся предметом ее проекции объектов. Как можно в связи с этим заметить, данная теория равно хорошо приложима к представленной в качестве нечеткой доли текстурности.

Ячейки в составе доли могут располагаться просто способом сторона-к-стороне, например, как в нашей доле Битлз в Джоне, Поле, Джордже и Ринго. Ячейки также могут гнездиться одна внутри другой способом, согласно которому, например, вид ворона помещается внутри класса птицы, помещающегося, в свою очередь, внутри класса позвоночных согласно принятой биологической таксономии. Проявляемая здесь возможность подобной поместительности более чем что-либо другое обособляет гранулированную долю в показанном здесь понимании от доли в более распространенном математическом смысле (доли образуемой отношениями эквивалентности).

Мы определяем структуру ячеек A в доле Pt как систему ячеек z₀, z₁, …,. Мы записываем Z(z, A_Pt ) как сокращение для выражения "z представляет собой ячейку в структуре ячеек A доли Pt". Мы говорим, что z₁ представляет собой субъячейку z₂, если две данные ячейки относятся к одной и той же структуре ячеек и первая относится к последней, и записываем z₁ НA z₂ в порядке обозначения подобных отношений. В дальнейшем, в случае очевидности контекста, мы опустим обозначения. Мы, таким образом, налагаем, как в следующем случае, на каждую долю четыре аксиомы (или "мастер-условия"):

MA1: субъячейка отношения Н обладает рефлексивностью, транзитивностью и антисимметричностью.

MA2: Структура ячеек доли всегда такова, что цепям помещающихся ячеек присуща конечная длина.

MA3: Если две ячейки налагаются, одна из них представляет собой субъячейку другой.

MA4: Каждая доля содержит уникальную максимальную ячейку.

В своей сумме подобные условия обеспечивают то, что каждая доля может быть задана посредством дерева (направленного графа, обладающего корнем и не содержащего циклов).

4.2 Доли в их проективном отношении к действительности

Появление теории (B) связано с отражением того факта, что доли представляют собой нечто большее, чем просто системы ячеек. Они и конструируются при помощи наложения проекции на действительность. Интуитивно подобная проекция соответствует способу проекции или соотнесения имен собственных с обозначаемыми ими объектами, в той же мере, как и способу связи наших действий восприятия с этими объектами. (Проекция близка к тому, что философия понимает как "интенциональность"). В случае успешности проекции мы говорим, что сопрягаемый посредством ячейки объект расположен в данной ячейке. Тогда мы можем записать "P(z,o)" в качестве сокращения для: ячейка z проецируется на объект o, и "L(o,z)" представляет собой сокращение для: объект o располагается в ячейке z. Интуитивно возможность расположения в ячейке подобна высвеченности посредством светового конуса. Подобное размещение не является простым превращением проекции, следующим из способности ячеек проецироваться без наличия чего-либо, на что они способны проецироваться (как и световой конус может испускать собственный пучок без столкновения с каким-либо объектом). Поскольку локация наступает именно в случае успешности проекции, то она предполагает проекцию. Объект никогда не располагается в ячейке доли не иначе как вследствие факта проецирования этой ячейки на данный объект. Определим это первым нашим мастер-условием теории (B):

MB1 L(o, z) → P(z, o).

Доли представляют собой когнитивные артефакты. Объекты могут предназначаться для размещения в ячейках наших долей только если мы конструируем соответствующего рода ячейки и правильным образом их сопрягаем. Следовательно, мы можем сказать, что рассматриваемая доля просвечиваема соответствующей порцией действительности. Подобному условию просвечиваемости мы придадим следующую формулировку:

MB2 P(z, o) → L(o, z).

Далее мы намерены представить условия MB1 и MB2 в качестве управляющих всеми долями мастер-условий. Следовательно, в строго ограниченном контексте данной работы MB1 и MB2 сводится к L(o, z) « P(z, o). MB2 гарантирует, что объекты действительно расположены в проецируемых на них ячейках. В смысле более общей теории гранулированных долей предназначением MB2 можно определить уменьшение допустимости ошибочной проекции, например, при неправильном обозначении или классифицировании объекта.

Для убеждения в способности проекции или локации удовлетворять интуициям, подчеркнутым нашей аналогией с освещенностью, мы далее потребуем вступления проекции и размещения в функциональные отношения, т.е. введения условия, обязывающего каждую ячейку проецироваться именно на один объект, и обязывающего каждый объект располагаться именно в одной ячейке:

MB3 P(z, o₁) и P(z, o₂) → o₁ = o₂

MB4 L(o, z₁) и L(o, z₂) → z₁ = z₂

Для долей, удовлетворяющих MB3, каждая ячейка проецируется только на один простой объект. (Скорее на один, чем на два; здесь не существует перенаселенности). Для удовлетворяющих MB4 долей объекты в каждом случае располагаются в простых ячейках. Заметим, что последнее исключает избыточность, появляющуюся в случае наличия в простой доле различных ячеек (например, обозначенных "гора Эверест" и "Джомолунгма"), обоюдно проецируемых на то, что оказывается (по модулю "фактор нечеткости") одним и тем же каменным образованием. Отметим, что используемый здесь в довольно многозначном смысле "объект", допускает еще и включение разрозненных целых. Так и доля животного царства, включающая в себя ячейку, обозначенную кошки, проецируется на объект, представляющий собой мереологическую сумму всех существующих кошек.

Прибегнем к предположению, определяющему завершенность доли через способность каждой ячейки проецироваться как минимум на один объект, т.е., в смысле исключения пустых ячеек (нет ячеек, проецируемых в пустоту за данные пределы):

MB5 Z(z, A) → ∃ o: L(o, z)

Следовательно, проекция представляет собой всеобщую функцию.

Однако в типическом случае размещение привычно исполняет функцию именно долевого членения. Причина этого кроется в невозможности просто человечески самодостаточного порядка долевого членения. Поэтому для всякой данной доли, сонаправленной с некоторым доменом конкретной действительности, всегда будут появляться объекты, не достижимые ее соотносительным высвечиванием. Даже если мы располагаем долей, чей объект представляет собой всего лишь простой объект, мы можем предположить наличие в этом объекте таких частей как атомы, субатомные частицы, - не располагающие проецируемыми на них ячейками. (Все это, опять-таки, способно обрести смысл при указании нами "гранулированности" доли.) В контексте данной работы мы позволим себе предположить, что условия MB1-5 всегда удовлетворительны, т.е. проекция и размещение всегда функциональны и пустые ячейки отсутствуют.

4.3 Выделение и стабилизация мереологических структур

Доли, уже просто посредством факта участия принадлежащих доле ячеек в отношении часть-целое, оказываются отражением базисной структуры действительности часть-целое. Это означает что доли, определяемые установленными в рамках названной выше теории (A) мастер-условиями, как минимум обладают способностями отображения восприемлющей их проекцию мереологической структуры домена. И подобные способности реализуются в условиях определенного рода успешных случаев. Мы записываем p(z), обозначая расположенный в ячейке z объект. Благодаря MB5 p(z) всегда определена. Говорить, что ячейки z₁ и z₂ отображают мереологические отношения между двумя объектами, на которые они проецируются, можно если и только если справедливо следующее:

DR1 RS(z₁, z₂) є z₁ М z₂ → p(z₁) < p(z₂)

Если z₁ представляет собой надлежащую субъячейку z₂ в данной доле, то, следовательно, объект, на который проецируется z₁, представляет собой надлежащую часть объекта, на который проецируется z₂. Доля отображает мереологическую структуру восприемлющего ее проекцию домена если и только если каждая пара ячеек удовлетворяет DR1 в качестве налагаемого на все доли условия, следующим образом:

MB6: Z(z₁, A) и Z(z₂, A) → RS(z₁, z₂)

Из MB6 следует что все, на что проецируется ячейка в доле, представляет собой часть того, на что проецируется корневая ячейка (root-cell).

Далее нам предстоит потребовать, чтобы гранулированная доля ограничивалась в смысле эффекта, не позволяющего при условии выделения в данной доле объектов, находящихся друг к другу в отношении часть к целому, и ячейкам, в которых расположены данные объекты, избегать друг по отношению к другу отношения субъячеек. Прежде всего, мы определим, что в отношении выделяемого в доле объекта:

DR2 R(o, A) є $ z: Z(z, A) и L(o, z),

и записываем "l(o)" для обозначения ячейки, в которой расположен выделенный в данной доле объект. Следовательно, мы определяем:

DR3 RS + (o₁ , o₂) є o₁ < o₂ → l(o₁) М l(o₂)

Теперь мы можем сформулировать условие:

MB6 ⁺ : R(A, o₁) и R(A, o₂) → RS + (o₁, o₂),

что доказывает, что все доли являются мереологически монтонными.

4.4 Домен доли

Каждая доля наделена определенным доменом, позволяющим определить его как порцию действительности, восприемлющую проекцию максимальной для данной доли ячейки. Он представляет собой определенную мереологическую сумму: оказываясь, по существу, всеобщим объемом вещества, на чем определяется функциональная предназначенность доли: это вещество, существует независимо от каких бы то ни было обуславливаемых самой долей, посредством ее составляющих ячеек, разделений или разграничений. Поскольку применимость теории долей настолько всеобща, то под доменом доли можно понимать не только конкретные частности и их составляющие (атомы, молекулы, члены, органы), но и группы и популяции индивидов (например, биологические виды или классы, батальоны или полки, архипелаги и диаспоры), и входящих в них членов. В некоторых случаях, например при построении координатных карт, требуется обдуманное проецирование ячеек наших долей на области пространства. (Для более общей, нежели чем мы можем определить в нашей работе, теории каждая такого рода доля может располагать пустыми ячейками. В частности, они могут заполняться только при проецировании на некий актуальной значимый регион, как в случае карты Среднего Востока.)

Мы определяем домен доли, D(Pt), просто в качестве объекта на который проецируется корневая ячейка. Функциональность проекции и размещения несет теперь единственно только данный объект. Свойство каждой доли располагать непустым доменом следует из MB5. Теперь гранулированную долю можно определить как триаду Pt = (A, P, L), где A представляет собой такую систему ячеек, что MA1-4 содержит как P, так и L в качестве таких отношений проекции или локации, что MB1-6+ будут содержать практику отношений между структурой ячеек A и порцией действительности, на которую она проецируется.

Огл.5. Суждения

Суждение представляет собой пару J = (S, Pt), где S представляет собой предложение и Pt гранулированную долю (позиционируемую в промежуточном положении по отношению обеспечивающего выполнение суждения контекста). Подобное построение открывает нам широкое поле всеобщего теоретически-долевого анализа истинности суждений (включая, например, сложные суждения и суждения, выраженные в предложениях, включающих несоотносимые конкретные понятия). Данных условий вполне достаточно в смысле преследуемых нами целей реализации ускоренной обработки простых выбранных с иллюстративными целями примеров.

5.1 Суждения о мереологической практике отношений

Рассмотрим левую часть Рис. 1 с его тремя долевыми ячейками, обозначенными "Гималаи", "Эверест" и "Лхоцзе". Данные ярлыки являются теоретически-долевыми (inter alia) составляющими употребляемых в суждениях имен. Рассмотрим предложение "Эверест представляет собой часть Гималаев" произнесенное в контексте, представленном посредством доли Pt. Данное суждение относится к форме "a состоит в R относящемся к b", где "a" замещает "Эверест", "b" замещает "Гималаи", и "R" замещает бинарный предикат "часть-из".

При высказывании суждения J = (S, Pt) порядок отношений между S и Pt обеспечивается указывающей функцией, назначаемой именам объектов соотносимым в S к ячейкам Pt = (A, P, L). Определим, что l представляет собой указатель относящийся к доле Pt в смысле предложения S если и только если наличествует следующее:

(1) l создает карту предложения S как целого на корневой ячейке доли Pt;

(2) l создает карту появляющихся в S имен собственных в принадлежащих A ячейках таким образом, что каждая ячейка приобретает уникальное обозначение и каждое имя наделяется соответствующей уникальной ячейкой;

(3) со-домен l исчерпывает ячеечную структуру Pt.

Условие (1) обеспечивает выражающее принцип целостности суждение хорошо определенными пределами, а именно доменом Pt. В особом случае J₁ = (S₁ , Pt), где S относится к предложению "Гора Эверест представляет собой часть Гималаев", и Pt представляет собой долю, показанную в левой части Рис. 1. Предложение S₁ как целое представлено картой с l, наложенной на корневую ячейку в данной доле. Условием (2) обеспечивается положение, в дополнение к постулату (MB5), исключающее наличие пустых ячеек, как и то, что каждая ячейка уникально обозначена содержащемся в S именем. Ассоциировать принадлежащие доле ячейки с имеющимися в соответствующих суждениях именами можно одновременно с обсуждавшейся нами выше онтологической перегруппировкой. Суждение J₁ выводит на передний план гору Эверест, Гималаи и возникающее между ними отношение часть-из; кроме того, оно принуждает нечто иное, включающее гору Лхоцзе, Лидс, Билла Клинтона, мороженое, которое вы держите, переместиться в фоновую область вашего внимания. Условие (3) обеспечивает наличие в соответствующей доле ячеек "Эверест" и "Гималаи", но не ячейки "Лхоцзе". В данном смысле указательная функция всегда представляет посредством доли нечто, оказывающееся минимальным в аспекте употребляемого предложением при построении соответствующего суждения.

Представим себе долю, подобную одной из представленных на Рис. 1, но не содержащую ячейки "Лхоцзе". Здесь мы можем установить указывающую функцию между S₁ и Pt, но нам необходимо допустить, что корневая ячейка наделена в следующем смысле специальным статусом: указывающее l одновременно показывает и целостность предложения S₁, и наложение на корневую ячейку данной доли имя "Гималаи". Поэтому инверсия l не представляет собой функции. Последнее, однако, не нарушает условия (2), поскольку оно требует только уникального соответствия между именами и ячейками. Формально мы потребовали: (i) l является всеобщей функцией имени собственного в S; и (ii) инверсия ограничения l в имя собственное в S (l |_S)^-1 представляет собой всеобщую функцию в (A - {r(A)}). Заметим, что часто корневая ячейка вообще не сопрягается с каким бы ни было именем.

Теперь мы можем сказать, что суждение вида "a является частью b" оказывается истинным в контексте, представленном посредством Pt если и только если:

(i) Pt так представляет порцию действительности, что это обеспечивает фиксацию MA1-4 и MB1-6+ ;

(ii) имеется указывающая функция l с обозначенными выше свойствами; и

(iii) обозначенная "a" ячейка представляет собой субъячейку ячейки, обозначенной "b" в доле Pt.

5.2 Суждения о пространственной практике отношений

Рассмотрим суждение J₂ = (S₂, Pt₂) , содержащее S₂ = "Лхоцзе лежит на запад от Эвереста", произносимое при обсуждении расположения гималайских гор. Последнее нам следует интерпретировать как суждение вида "a представляет собой F", где "F" идентифицируется посредством предиката "на запад от Эвереста". Тогда, следовательно, мы можем интерпретировать J₂ в качестве суждения, выражающего что "Лхоцзе" представляет собой часть мереологического целого, сформированного суммой всех вещей, находящихся на запад от горы Эверест.

Определим Pt₂ долей, показанной на Рис. 2, содержащей три вложенные ячейки. Указывающая функция l позиционирует S₂ в корневой ячейке, проецируемой на Гималаи. Данное отношение отражает факт произнесения суждения в контексте обсуждения относительного расположения гор в Гималаях. Показанный в средней ячейке предикат "западнее Эвереста", проецируется на мереологическую сумму всех в целом частей Гималаев, находящихся западнее горы Эверест. Наконец, имя "Лхоцзе", проставленное на центральной ячейке, проецируется на гору Лхоцзе.

Рис. 2 Доля, соответствующая суждению "Лхоцзе лежит на запад от Эвереста".

Теперь мы можем рассмотреть суждение "Лхоцзе лежит на запад от Эвереста" как обладающее более общим видом "a представляет собой F". Мы в смысле данного вида суждений определим указательность следующим образом. l представляет собой указательность, связывающую долю Pt с предложением S = "a представляет собой F" если и только если существует следующее:

(1) l позиционирует предложение S как целое на корневую ячейку доли Pt;

(2) l позиционирует предмет понятия S на уникальную ячейку z₁ в A;

(3) со-домен l исчерпывает ячеечную структуру Pt.

Суждение вида "a представляет собой F" следовательно оказывается истинным в представленном посредством Pt контексте если и только если:

(i) Pt так представляет порцию действительности, что здесь фиксируются MA1-4 и MB1-6+ ;

(ii)имеется указывающая функция l с обозначенными выше свойствами; и

(iii) обозначенная "a" ячейка представляет собой субъячейку ячейки, обозначенной "F" в доле Pt.

5.3 Перспективы, наблюдаемые теоретиками семантики
и судящими субъектамами

Обсуждая истинность суждений в долево-теоретических понятиях, нам следует принять во внимание две различные перспективы: перспективу, наблюдаемую теоретиком семантики и наблюдаемую судящим субъектом. Критически важно осторожно разделить эти два особенных видения.

Перспектива, наблюдаемая теоретиком семантики, учитывает истинность суждения в относительно абстрактном представлении как соответствие между языком и действительностью. (Мы, на протяжении всего сказанного выше, пытались следовать стандартному понятию истинности как соответствия.) Суждение J = (S, Pt) истинно если и только если присутствует соответствующего рода указывающая функция, связывающая S с ячейками доли Pt, и проекция функции, в свою очередь связывающей данные ячейки с соответствующей порцией действительности. Конечно, подобный анализ весьма приблизителен, и представленная здесь группа примеров в конечном счете скудна, но он так или иначе обосновывает тем не менее наступающие последствия.

Судящий субъект успешен в создании истинного суждения потому, что он способен разделять действительности на передний план и фон, и транслировать некую присущую действительности перспективу, обладающую некоторой соответствующей гранулированностью. Только посредством подобных избранных средств проявления внимания он способен строить отношение к подобного рода действительности, необходимое для выражения истинного суждения.

Огл.6. Нечеткие гранулированные доли

6.1 Нечеткость проекции

Базисные положения теории гранулированных долей представлены в (Смит и Брогаард, 2003). Наша работа (Биттнер и Смит, 2001) определяет формальные принципы концепции ячейки и проекции. Настоящая работа выстраивает формальное понимание феномена нечеткости в долево-теоретических понятиях.

При наличии нечетких условий проекции (следуя нашей предшествующей аналогии с высвечиваением) не только невозможно увидеть проведенные нашей проекцией назначенные границы, но можно лишь грубо представлять себе места их пролегания. Что подобное "грубо" ("нечетко") означает, следующим образом объясняется при помощи de dicto точки зрения. Оно представляет собой положение, как если бы имелось множество налагающихся порций действительности, оказывающихся равно хорошими кандидатами в замыкаемые пределами светового конуса вашего подсвечивания. Следовательно можно говорить о множестве альтернативных способов проведения назначенных границ в подножии Эвереста. Судящий субъект грубо представляет место их пролегания - кроме того он знает, что они должны вводить в ограничиваемый предел вершину, - но он не способен непосредственно наблюдать их или измерить. И это не просто некая эпистемологическая проблема: это вовсе не просто обстоятельство нашего незнания места пролегания границ горы. Просто положение вещей не позволяет выявить факты, способные специфицировать пролегание данной границы.

Теория доли позволяет нам, с помощью предлагаемых ею понятий и концепций, понимать как судящий субъект реализует соответствующую демаркацию на стороне объектов действительности. То, что нам необходимо теперь делать в качестве теоретиков долевой модели, показывает как употребление понятий и концепций способно реализовать не только топологически четкую (crisp) демаркацию действительности - как в случае почтовых районов и цензовых участков, - но еще и нечеткие демаркации как в случае гор и пустошей и непроходимых болот. Развитие теории гранулированных долей моделируется сверхзначимостным пониманием нечеткости, что уже следует из контекстуалистского варианта сверхзначимости, предложенным в (Смит и Брогаард, 2003). Здесь, в случае четкости каждая доля характеризуется посредством простой проекции отношения и простого закрепления отношения, в случае же нечеткости нам необходимо ввести ограничение, что каждая доля ассоциируется с простым отношением проекции/закрепления. Данное изменение не затрагивает теории (A), но нам необходимо изменить аксиомы теории (B) таким образом, что способность топологической многоплановости включалась бы именно на правах некоего особого казуса.

6.2. Нечеткие доли

Нечеткая гранулированная доля Pt^V = (A, P^V, L^V) представляет собой такую триаду, что A оказывается системой ячеек, для которой фиксируются MA1-4 и P^V и L^V представляют собой классы отношений проекции и закрепления, свойства которых будут анализироваться ниже. Рассмотрим Рис. 3, изображающий нечеткую долю Pt^V = (A, P^V, L^V) Гималаев. Она обладает ячеечной структурой A, как показано на левой части Рис. 3, фактически идентичной соответствующей части Рис. 1. Напротив, в правой части рисунка наличествует множество возможных кандидатов в проекции для находящегося в ячейках, показывающих район границы, изображенный посредством оттененных овалов. Границы реальных кандидатов, на которые проецируются ячейки "Лхоцзе" и "Эверест" в соответствии с различными P_i в P^V включаются в нечто в пределах изображенной на рисунке оттененной зоны.

Рис. 3 Нечеткая доля Гималаев

Проекция и закрепление отношений в данных классах образует такие пары (P_i, L_i), что каждая P_i обладает соответствующим уникальным L_i и, напротив, удовлетворяет следующим условиям (где знак "∃ " сокращает: "здесь существует одна и только одна"):

MB1^V "j: L_j(o, z) → ∃!i P_i(z, o)

MB2^V "i: P_i(z, o) → ∃!j: L_j(o, z)

В контексте данной работы MB1^V и MB2^V могут быть упрощены как: "i∃!j: Pi(z,o) «Lj(o,z).

Нам еще необходимо чтобы все P_i и все L_j оказывались функциональны в смысле, обсуждаемом в случае топологической многоплановости:

MB3^V P_i(z, o₁) и P_i(z, o₂) → o₁ = o₂

MB4^V L_j(o, z₁) и L_j(o, z₂) → z₁ = z₂

Нам далее необходимо, чтобы ячейки при всякой проекции проецировались на некоторый объект (являющийся непустым):

MB5^V Z(z, A) → "j ∃o: L_j(o, z)

Тогда модифицированный вариант аксиом, обеспечивающий сохранность мереологической структуры и мереологической монотонности для пар (P_i, L_i) удовлетворяющих MB1^V и MB2^V читается:

MB6^V Z(z₁, A) and Z(z₂, A) → "i RSi(z₁, z₂)

MB6^+V R_i(A, o₁) and R_i(A, o₂) → RS_i+(o₁, o₂),

при определениях

DR1^V RS_i (z₁, z₂) є z₁ М z₂ → p_i (z₁) < p_i (z₁)

DR2^V R_i (o, A) є ∃z: Z(z, A) and L_i (o, z)

DR3^V RS_{i +}( o₁, o₂) є o₁ < o₂ → l_i (o₁) М l_i (o₂)

Мы называем все доли Pt_ij = (A, P_i, L_j) с парами (P_i, L_j), удовлетворяющими MB1 - MB6⁺ относящимися к топологической многоплановости нечеткой доли Pt^V. Домен нечеткой доли представляет собой мереологическую сумму доменов всех топологических многоплановостей. Из MB5^V будет следовать что домен каждой топологической многоплановости непуст, т.е. "i, ∃o: o = D(Pt_i).

Рассмотрим долю, ячейки которой обозначены нечеткими именами собственными. Интуитивно отождествим каждую пару отношений проекции и закрепления (P_i, L_j) с в точности одним кандидатом в уточняемые соотносимости для каждой из ячеек. Между точно очерчиваемыми каждой (P_i, L_j) кандидатами возможны некоторые отличия. Несмотря на это, каждый кандидат представляет собой вполне состоявшуюся топологическую многоплановость и потому обладает всеми свойствами описываемой в предыдущем разделе топологически многоплановой доли. Это означает, что принципиальные свойства долей сохраняются даже для условий нечеткости. Отметим вдобавок, специфику нечеткой доли Pt^V наделенной, несмотря на множественность отношений проекции и закрепления, именно единственной системой ячеек. Для такой единственной системы ячеек возможно множество способов проецирования на действительность. Каждой проекции и каждому соответствующему отношению закрепления присущ порядок проявления посредством как бы стандартной, топологически многоплановой доли.

Теперь мы можем рассмотреть две пары отношений проекции и закрепления (P_i, L_j) и (P_m, L_n), обе удовлетворяющие MB1^V - MB6^+V и, как отсюда следует, у нас имеются две различные топологически множественные доли Pt_ij = (A, P_i, L_j) и Pt_mn = (A, P_m, L_n). Структура ячеек в обоих случаях идентична; обе доли наделены наиболее минимальными ячейками, "гора Эверест" и "гора Лхоцзе", содержащимися в предельно максимальной ячейке "Гималаи". В обоих случаях данные ячейки проецируются на соседние каменные формации, разделенные в том смысле, что Ш$x: x = Pi(‘Everest’) * Pi("Лхоцзе") и Ш$x: x = Pm("Эверест") * Pm("Лхоцзе"), где ‘*’ обозначает мереологическое перекрывание. (То, что подобная разделенность должна фиксироваться в каждом отношении проекции представляет собой в смысле Файна (1975) частично соответствующее условие.) И вновь, важно распознать, что наличие нечеткости не означает нарушения любого из наших управляющих долями условий. De dicto нечеткость определяется в статусе "уровня доли" посредством множества способов топологически многопланового проецирования. Каждый из подобных способов топологически многопланового проецирования должен удовлетворять представленным выше условиям доли.

6.3 Суждения и нечеткость

Теперь мы можем определить понятия сверхистинности, сверхложности и неопределенности для суждений J = (S, Pt^V) в отношении нечеткой доли Pt^V = (A, P^V, L^V). Мы предполагаем, что структура ячеек A удовлетворяет MA1-4 и что все их топологические многоплановости Pt_ij = (A, P_i, L_j) таковы, что не нарушают MB1^V-MB6^+V. Следовательно, суждение J оказывается сверхистинным в отношении нечеткой гранулированной доли Pt^V если и только если оно истинно в отношении всех топологически многоплановых долей Pt_ij = (A, P_i, L_j). Суждение J оказывается сверхложным в отношении нечеткой гранулированной доли Pt^V если и только если оно истинно в отношении ни одной топологически многоплановой доли Pt_ij = (A, P_i, L_j). В других случаях оно неопределенно.

Потому в случае топологической многоплановости нам необходимо принимать во внимание как перспективу, наблюдаемую теоретиком семантики, так и наблюдаемую судящим субъектом. Последнее будет отражать наше употребление контекстуализированной сверхзначимостной семантики, охватывающей группу свойств рассматриваемых предметов, находящихся за пределом осведомленности судящего субъекта. Относительно последней нам прежде всего хотелось бы отметить, как и в случае топологической многоплановости, что важным аспектом способности вынесения суждения оказывается разделение действительности на передний план и фон внимания, и факт принадлежности суждений о действительности определенному уровню гранулированности.

Огл.7. Сплоченность и нечеткость

7.1 Условия сплоченности

В случае определения самим построением суждения связи a представляет собой часть b, строящий его применяет условия сплоченности, приходящие к нему вместе с представлениями, определяющими способность неких частей действительности формировать некое целое. Мы намерены установить, что изучение нечеткости суждений вида J^V = ("a представляет собой часть b", Pt^V) тесно связано с вопросом нечеткости условий сплоченности.

Выделяя целые в виде суммы частей, судящие субъекты прилагают условия сплоченности, определяющие участвующие в них суммы частей. В случае горы Эверест соответствующие условия сплоченности могут формулироваться, в первом приближении, следующим образом:

U1 (1) Вершина представляет собой часть горы Эверест. (2) Если x представляет собой часть горы Эверест, и y воссоединяется с x, то y представляет собой часть горы Эверест.

Мы позволим себе заключить, не выходя за пределы определенных здесь целей, что условие (1) не является проблематичным. Однако последнее не относится к условию (2), для него создание условий сплоченности не приводит к определенности, оказывается ли именно эта часть действительности частью горы или нет. Причина неопределенности заключается в появлении парадоксов типа Сорите. U1 наделено структурой индуктивного определения. Оно устанавливает начальные условия и условия воссоединения с горой Эверест новых частей, но не устанавливает позицию остановки процесса включения частей. Это означает, что если мы используем входящие в U1 (1) и (2) в качестве истинных посылок, то это логически рождает заключение, приписывающее к частям горы Эверест даже порции действительности, очевидно находящиеся вне ее пределов.

Для нас невозможно просто так отвергнуть U1. Условие (2) охватывает континуальную структуру каменного образования, позволяющего прилагать к нему наличную концепцию горы, вбирающую в себя факт разотождествления горы с признаком рассеянного целого; условия таковы, что мы можем формировать цепочки воссоединяемых частей a₁, a₂, a₃, … Но что способно определить внешние пределы у подобных цепочек? Где останавливается горообразование? И, как это отсюда следует, невозможны и всеобще применимые и контекстно-независимые условия предельности, в принципе подразумеваемые в такой общей концепции как гора.

Рассмотрим теперь практику отношений между условием сплоченности U1 и суждением вида J^V = ("a представляет собой часть b", Pt^V). Они весьма тесно связаны в следующем смысле: U1 определяет способ проецирования Pt^V на действительность в смысле, что ячейка "Эверест" проецируется на топологически воссоединяемое целое (условие (2) из состава U1), содержащее вершину (условие (1) из состава U1). С другой стороны, в представленном контексте суждение J^V еще устанавливает и пределы диапазона допустимого уточнения, фиксируя проецируемость на действительность границ, обеспечивающих требуемую возможность обрыва бесконечных цепочек. Проблема в том, что подобные пределы, т.е. проецируемые границы, сами по себе оказываются неопределенными, и все это предвещает возможность истинностно-значимостной неопределенности. Мы видим нашу задачу в попытке предотвращения актуализации подобной возможности в естественных контекстах, и показа способности каждого суждения, выраженного посредством содержащих неопределенные понятия предложений, определять истинностно-значимость.

Чтобы добиться этого, мы обсудим диапазон соответствующих видов контекстов. В частности, важными следует признать два случая, выделяемые посредством видов границ, обеспечивающих необходимого рода условия предельности:

1. Контексты, в которых употребление нами соответствующих понятий дополняет действительность простой топологически многоплановой границей.

2. Контексты, в которых употребление нами соответствующих понятий дополняет действительность нечеткой границей (т.е. множеством кандидатов в топологически многоплановые границы).

7.2 Случай простой (топологически многоплановой) границы

Контексты первого типа иллюстрируются теми случаями, когда сами судящие субъекты располагают полномочиями (средствами долевого членения) дополнить действительность топологически многоплановой границей. Предположим, что вы обязали некое правительственное учреждение определить границы горы Эверест с целью регулирования альпинизма. Ваша доля - мы предположим, что ее определение содержит некоторый документ D, - оказывается поэтому довольно близка к состоянию полностью топологически многоплановой, т.е. здесь участвует только одно простое отношение проекции, и в соответствующем контексте граница горы Эверест совпадает с наложенной вами. Тогда для данного контекста последствием совпадения становится незавершенность условия сплоченности, появляющегося как следующим образом контекстуально дополняющего данную общую концепцию:

U2 (1) Вершина представляет собой часть горы Эверест. (2) x представляет собой часть горы Эверест если и только если: (i) имеется некоторый y, представляющий собой часть горы Эверест и x соединяется с y, и (ii) x представляет собой часть указываемой как "Эверест" проекции ячейки в составе доли, определенной документом D.

U2 располагает преимуществом в блокировании позволенности бесконечных цепочек соединяющихся частей. Более того, U2 даже усиливает сообщество частей горы в смысле U1. Использование U2 истинностно-значимости суждения вида J = ("a представляет собой часть b", Pt) определенным образом фиксируется для каждого a, и истинностно-значимостная неопределенность не проявляется.

7.3 Случай множественной (нечеткой) границы

Контексты, в которых у судящих субъектов наличествуют как полномочия, так и необходимость дополнить действительность точной границей, по общему признанию, весьма нечасты. По счастливой случайности, большинство контекстов не нуждаются в высокой степени точности, фиксируемой подобными особыми контекстами. Можно сказать, что в большинстве контекстов мы можем обойтись определением границы, отличающейся именно достаточной точностью. Последнее означает установление точности границы в соответствии с требованиями, заданными местом пролегания, и, следовательно, проводимого только до уровня способности судящего субъекта к вынесению определенного суждения. Поэтому в большинстве случаев такое определение показывает определенную степень нечеткости и актуально значимая степень нечеткости (или степень точности) зависит от контекста. Там же, где присутствует нечеткость, существует и угроза увеличения неопределенности. Ради этого нам следует показать, следуя (Смит и Брогаард, 2003), что в естественно возникающих контекстах, где границы характеризует именно достаточная точность, обладающие истинностно-значимостной неопределенностью предложения не подлежат суждению.

Ежевечерне инструктируя персонал вашего ресторана как накрыть столики, вы устанавливаете линию раздела между местами для курящих и некурящих употребляя предложения наподобие:

[C] Граница мест для курящих проходит здесь,

одновременно показывая пальцем и таким образом деля зал ресторана пополам. Одновременно вы же еще и определяете, на каких столиках следует поставить пепельницы. Так вы нечетко характеризуете месторасположение границы. Последнее означает что, посредством вашего нечеткого жеста, вы дополняете действительность целым множеством равно добротных границеподобных кандидатов.

Помимо чего-то иного, наша концепция отведенной курящим части зала составляет собой представление о некоем целом, не имеющем точного определения в отчетливых линиях, ограждениях или стенах. Она отражается в единстве условий в соответствии с принципами U3:

U3 (1) x представляет собой часть отведенной курящим части помещения если и только если x представляет собой множество равно добротных кандидатов в отведенную курящим часть помещения, дополняющую действительность при помощи вашей начальной спецификации расположения границ.

U3 подобно U2 располагает преимуществом блокирования бесконечных цепочек соединяющихся частей. Но здесь появляется вопрос о возможности для суждения вида J = ("Данный стол представляет собой часть мест для курящих", Pt^V) оказаться обладателем неопределенной истинностно-значимости. Проверка оказывает, что очевидная нечеткость характеристики граничности не меняет определенности суждений, имеющих актуальную значимость для таких построителей суждений как персонал ресторана либо его посетители. Более того, они служат определенным предметом различения условия нахождения или нет на столе пепельницы. Охватывая прагматические ограничения судительности в данном контексте, U3 нуждается в таком пересмотре, что оно не должно допускать произвольных частей, содержа лишь части, соответствующие размеру:

U4 (1) x представляет собой часть отведенной курящим части помещения если и только если: (1) x представляет собой по размеру нечто большее или равное одному столу; и (2) x представляет собой одно из множества равно добротных кандидатов в отведенную курящим часть помещения, дополняющую действительность при помощи вашей начальной спецификации расположения границ.

В дополнение, U4 вносит парность, определяющую аналогичные условия частичности в отношении части зала для некурящих, оказывающейся (долево-теоретически) соответствующей:

U4¢ (1) x представляет собой часть отведенной некурящим части помещения если и только если: (1) x представляет собой по размеру нечто большее или равное одному столу; и (2) x представляет собой одно из множества равно добротных кандидатов в отведенную некурящим часть помещения, дополняющую действительность при помощи вашей начальной спецификации расположения границ.

Неопределенность вашей спецификации расположения границы мест для курящих не влияет на определенность истинностно-значимости суждений, выстраиваемых в результирующем контексте. U4 определяет, что суждения вида J были бы либо сверхистинными, либо сверхложными. Оно еще определяет, что суждения вида "Данная молекула никотина представляет собой часть части мест для курящих" не может произноситься в данном контексте, поскольку условия сплоченности U4 не допускают молекулам представлять собой части частей мест для курящих (или для некурящих). Подобного рода суждения отражают недопустимое смешение гранулированностей. Если данного рода суждения судительно приемлемы, то в таком случае требуется включение сюда более точных спецификаций соответствующих границ, что будет означать создание нового контекста.

Огл.8. Степени нечеткости и топологической многоплановости

Можно отметить, что достижение надлежащей степени нечеткости или топологической многоплановости в пределах данных естественно возникающих контекстов сказывается на скрытой истинностно-значимостной неопределенности. В данном разделе будет обсуждаться группа примеров, еще более расширяющих данную проблему.

Представим себе две соседние страны, одну разрешающую смертную казнь, а другую - нет. Если разделяющей эти две страны границе характерна назначенная природа (отсутствие стен или изгородей), то, если вы убиваете кого-либо по одну сторону условной линии, то вам угрожает смерть, а если вы преступаете закон по другую сторону, вас ожидает тюремное заключение. Как кажется, здесь нельзя заподозрить никакой неопределенности. Но она появляется в случае совершения преступления в момент охвата вашим телом условной линии раздела двух стран (одномерный назначенный пространственный объект, чье расположение может быть определено в настоящий момент с необходимой аккуратностью). Причина ее появления в самой возможности некоторого рода случаев, в которых существенное в смысле судопроизводства ваше точное расположение по отношению к границе вынуждает суды в их суждениях самим вырабатывать механизмы устранения неопределенности посредством назначающих определений, учитывающих обстоятельства, что одно и то же лицо за одно и то же преступление не может быть одновременно казнено и не казнено.

Вообразите случай вашего блуждания где-либо в пустыне в зоне границы между Египтом и Ливией, где указывая на лежащие на поверхности земли песчинки вы произносите предложение:

[D] Эта песчинка принадлежит Египту.

В соответствии с защищаемой нами позицией оно не позволяет построить соответствующего суждения. Причина этого вовсе не в нечеткости характеристики границы между Ливией и Египтом. Скорее ее нужно искать в склонности и говорящего, и слушающих не принимать всерьёз способности этого предложения выразить суждение, поскольку оно демонстрирует некорректное смешение видов гранулированности.

Если, с другой стороны, появляется необходимость определения собственника каждой песчинки (например, потому, что цена песка превысила цену золота), то следует придумать значение - и создать новый род контекста, -позволяющее построить соответствующие суждения и, как минимум, в принципе недвусмысленно определить их истинность. Сейчас же, поскольку дело обстоит чуть иначе, не существует возможности определения истинностного суждения подобного [D]. Также очевидно, что не удастся никакая попытка построения такого рода суждения и на прагматической почве.

Вообразите, что вы с группой альпинистов находитесь где-то в подножии горы Эверест, и один среди вас, указывая на некую воображаемую линию на земле, произносит предложение:

[E] Это граница горы Эверест

в порядке выражения суждения. Мы утверждаем, что в подобном контексте (в контексте, в котором очевидно, что в отношении всех находящихся здесь частей отсутствуют закон или процедура устанавливающие где, на или вокруг подножья гор пролегает их граница) некто использует [E] не с намерением построения суждения. Для него это скорее означает возможность пошутить. Причина в том, что суждения вида J = (D, Pt) реализуют топологически многоплановую долю Pt = (A, P, L), для которой невозможна прагматическая реализация в контексте, где как говорящему, так и слушающим известно, что нечеткая доля оказывается лучшим среди возможного. Соответствующие попытки построения суждения здесь всерьёз не воспринимаются.

Тем не менее, возможно представить себе контексты, в которых необходимо соотноситься с границей горы Эверест, какой бы она не отличалась нечеткостью. Положим, вам необходимо построить суждение вида:

[F] В следующем часу мы пересечем границу горы Эверест.

Здесь вы можете указать допустимые кандидаты на роль границы горы Эверест в качестве лежащих в пределах определенного диапазона, а именно как проецирующиеся на предстоящий путь и определяющиеся как функция времени в пути (в рамках предположения об истинности рассматриваемого суждения).

В таком случае вас как судящего субъекта не отличает тщательность в точном определении места пересечения линии разделения, поскольку вам самому очевидно свое положение создателя данной линии. Суждения, связанные с приблизительным положением границы, не обладают правовым или другим формальным статусом сверх назначаемого вами в данном контексте. Способ, которым характеризуется положение границы, вновь отличает лишь достаточная точность: оно характеризуется лишь возможностью пересечения на протяжении следующего часа. Отсюда, следовательно, легко судить о способности вашего суждения становиться сверхистинным или сверхложным. Оно оказывается свехистинным если, по истечении нескольких минут, вы начинаете крутой подъем, непрерывно продолжающийся вплоть до вершины. Оно оказывается сверхложно если двумя часами позже создания вами суждения вы обнаруживаете (или способны обнаружить), что были излишне оптимистичны: между вами и горой неожиданно появляется новая, широкая долина.

Критически значима такая проблема: согласно каким условиям данному суждению может быть свойственна неопределенность истинностно-значимости? Мы подразумеваем, что здесь отсутствует топологически многоплановая предустановленная граница; вы просто оказываетесь в положении некто судящего, грубо определяющего место пролегания этой границы. Могли бы вы определить, что имеющаяся здесь в качестве разделителя семейства допустимых уточнений граница ассоциируется с выраженным вами посредством [F] суждением в двух разъединенных суб-семействах, первое пересекаемое в течение часа, а второе - нет? Мы думаем, не можете. Здесь имеет место именно достаточная точность. При этом увеличивающей неопределенность необходимой степени точности здесь не существует.

Огл.9. Границы, лимитирующие нечеткость

Мы утверждали, что содержащие нечеткие имена предложения необходимо рассматривать как транспорты суждений, понимая их обладающими способностью семантического рассмотрения в контекстах, в которых они находят актуальное употребление. Предложенное нами перекрывание позволяет показать, что для случаев рассмотрения суждений в присущих им контекстах проявление истинностно-значимостной неопределенности встречается куда реже, чем это обычно предполагается. Теперь следует рассмотреть другое более обширное семейство контекстов, а именно контексты, содержащие спецификации ограничений, определяющих диапазоны возможных кандидатов. Ими оказываются контексты, предполагающие судящих, налагающих на действительность границы, что как минимум устанавливают пределы нечеткости их собственных поступков соотнесения. Поэтому в данном разделе мы сконцентрируемся на судящем субъекте, и на его роли в установлении степени нечеткости в его суждениях, налагающих на действительность назначенные границы.

9.1 Нечеткость и приближение

Как действует судящий субъект при нечетком наложении границ? Рассмотрим суждение [F]: В следующем часу мы пересечем границу горы Эверест. Данное суждение выделяет диапазон допустимых кандидатов посредством употребления фразы: "в следующем часу … пересечем". Следовательно, судящий субъект определяет диапазон допустимых кандидатов. Рассмотрим левую часть Рис. 4. Границы, разделяющие допустимых кандидатов, налагаются посредством выделения временного интервала, косвенно отождествляющего дистанции прохождения маршрута, и потому время используется здесь в качестве рамки соотнесения. Границы определяются текущим положением судящих субъектов (обозначенные "теперь"), и их положением по завершении выделенного промежутка времени (обозначаемым "в течение одного часа"). Границы допустимых кандидатов в соотнесение перемещаются вдоль пути между данными двумя границами. Обобщенно мы могли бы обозначить первую границу внешней границей и вторую внутренней границей. Внутренняя и внешняя граница налагаются судящими субъектами на действительность в ходе процесса, который мы назовем приближением.

Судящий субъект в порядке процесса приближения проецирует на действительность гранулированную долю. Гранулированная доля служит рамкой соотносимости в смысле понятий, при помощи которых судящий субъект способен одновременно характеризовать и ограничивать диапазон возможных кандидатов в нечеткие соотнесения. Будучи спроецированными на действительность подобные гранулированные доли налагают назначенные границы, ограничивающие нечеткость соотнесения в обсуждавшемся выше смысле контекста суждения [F]. На показанных на рис.4 примерах ячеечная структура доли, служащая рамкой соотнесения (соотносящейся долей) содержит три ячейки, обозначенные "внешнее", "ядро", (проецируемое на путь слева "в течение часа" в левой части, и "место-расположения-возможных-кандидатов-в-границы". В таком случае ячейка внешнее проецируется на путь западнее от "теперь" в левой части рисунка, ячейка ядро проецируется на путь восточнее "в течение одного часа" и ячейка место-расположения-возможных-кандидатов-в-границы проецируется на пространство между двумя границами.

Рассмотрим предложения "Мы пересечем границу горы Эверест в последующие 10 секунд" и "Мы пересечем границу горы Эверест в последующие 10 часов". Оба предложения определенно не подлежат суждению в большинстве естественно порождаемых контекстов. В первом случае причина в том, что назначенный диапазон возможных кандидатов избыточно тонок, во втором случае потому, что он слишком широк. Мы намерены ниже более детально проанализировать практику отношений между степенью нечеткости (высшей степенью нечеткости, выходящей за пределы диапазона, в котором могут образоваться допустимые кандидаты) и характеристикой ограничений диапазона, где способны состояться акты образования возможных кандидатов. Но в данном случае достаточно, чтобы степень нечеткости и характеристика ограничений диапазона возможных кандидатов всего лишь представляла бы собой шкалу совместимости в обрисованном выше смысле. Далее мы рассмотрим ограничения диапазона допустимых кандидатов, совместимые для данных контекстов, если явно не определено иначе, с имеющимися степенями нечеткости.

Рис. 4 Лимитированные нечеткостью границы

9.2 Высокопорядковая нечеткость

В несколько более сложном случае границы, налагаемые судящим субъектом с целью разграничения нечеткости, приобретают вид, иллюстрируемый следующим предложением:

[G] Мы будем пересекать границу горы Эверест не ранее чем через 60 минут и не позднее чем через 90 минут.

Здесь, таким образом, образуется область, в пределах которой могут лежать различные допустимые кандидаты в границы.

Подобный пример многократно обсужден в литературе (Кон и Готтс, 1996), (Клементини и Фелици, 1996), (Рой и Стил в печати), но здесь появляется проблема высокопорядковой нечеткости. Для анализа контекстно-независимым способом внешние и внутренние границы сами способны представлять собой предмет нечеткости. Мы, однако, предполагаем, что если принимать во внимание контекст, и основываться на условии ограничения нашего предмета естественно возникающими контекстами, то подобная высокопорядковая нечеткость оказывается не безусловно устраняемой, но, как минимум, так ограничиваемой, что здесь невозможно появление истинностно-значимостной неопределенности суждений.

С целью подкрепления нашего предположения нам еще следует рассмотреть группу случаев, в которых судящий субъект устанавливает при помощи метки объектно-границу, определяя ограничения на возможное размещение границ допустимых кандидатов. Сделать это можно двумя фундаментально различными способами:

(1) Повторно использовать существующие добросовестные или назначенные границы, как, например, в том случае, где некто заключает "Огайо находится севернее реки Огайо".

(2) Наложением новых назначенных границ, как, например, в случае, где некто заключает "На протяжении следующего часа мы будем пересекать границу горы Эверест".

Мы по очереди обсудим каждую такую возможность.

9.3 Повторное использование существующих границ

Существует некая топологически многоплановая гранулированная доля, с которой все мы хорошо знакомы. Она располагает в точности 50 ячейками, проецирующимися на 50 составляющих Соединенные Штаты Америки штатов. Фрагмент данной доли представлен в левой и в правой части Рис. 5. На переднем плане рисунка мы дополнительно видим область плохой погоды, представленную при помощи зоны, закрываемой массой черных точек и представляющей собой предмет в обсуждавшемся выше смысле de dicto нечеткости. Пролегание границ подобного объекта, если только они позволяют их установить, определенно нарушает границы соответствующих штатов. Но помимо этого рисунок показывает (посредством подобающего обозначения) наличие неких частей зоны плохой погоды, одновременно оказывающихся частями Вайоминга, других - частями Монтаны, еще одних - частями Юты, и остающихся - частями Айдахо.

Для обычно населяемых человеком видов контекстов (представленных более или менее грубозернистой долей) невозможно при построении суждения о расположении описанного типа области плохой погоды соотнесение с какой-либо топологически многоплановой границей. Однако (текущее) положение области можно описать относительно выделенной доли в виде территории США. Тогда мы в качестве судящих субъектов применяем, следовательно, данную долю как рамку нашего соотнесения, описывая этим практику отношений, проявляющихся между всеми допустимыми соотнесениями нечеткого понятия "область плохой погоды" и ячейками данной доли. В понятиях пространственных отношений в данном случае это означает, что все допустимые кандидаты частично перекрывают штаты Вайоминг, Монтана, Юта и Айдахо, и они не перекрывают никакой другой штат. Отсюда следует, что если судящий субъект способен характеризовать каждую ячейку доли уникальным отношением, содержащим все допустимые кандидаты в соотнесения нечеткого понятия, то этим он определяет способ построения нечеткого соотнесения. Метеоролог может воспользоваться и более тонким приближением, означающим применение ею в качестве рамки соотнесения в порядке построения предметно более выверенного суждения о текущем положении зоны плохой погоды более тонко-структурированной доли. Следовательно, она может употребить ячейки, обозначенные Восточное Айдахо, Южная Монтана, Западный Вайоминг и Северная Юта и т.п. Последнее порождает того рода назначенные границы, что изображены в правой части Рис. 5.

Отметим, что все подобные границы существуют уже до момента построения суждений, использующих их в качестве рамок соотнесения. Они предназначены только для повторного использования в порядке определения ограничений возможного расположения допустимых кандидатов в соответственно нечетко соотносимые понятия. Судящие субъекты повторно используют существующие границы в данном случае в порядке создания определяющих суждений о приблизительном расположении. Прибегать к подобному использованию им позволяет сознание закономерности и определенности последней в качестве способа построения нечеткого соотнесения, даже более полезного, нежели, как в данном случае, однократно используемая рамка соотнесения. Но, опять-таки, важно принимать во внимание, что рамки соотнесения выделяются в естественных (природных) контекстах как устраняющие истинностно-значимостную неопределенность выражающих нечеткое соотнесение суждений.

Рис. 5 Ряд штатов США с образованием плохой погоды

Теперь рассмотрим проблему высокопорядковой нечеткости, т.е. вопрос о возможности повторного использования границ в порядке установления нечеткого соотнесения, представляющего собой само по себе предмет нечеткости. Если повторно используемые судящим субъектом границы относятся к типу добросовестных, и, если, потому, они представляют собой границы в среде физической действительности, - то они оказываются, по определению, топологически многоплановыми как минимум соответствующего повседневной человеческой жизни уровня гранулированности.

Первая же предпринятая проверка примера с возможностью демонстрации заключенных в рамки соотнесения границ, подобных тем, в том числе, что определены и посредством штатов США, показало их топологическую многоплановость. Можно легко убедиться в существовании множества рамок соотнесения, налагающих в данном смысле топологически многоплановые границы, и в пригодности подобных границ для повторного использования судящими субъектами обсуждаемым выше способом в суждениях.

Тем не менее, встречаются и случаи, в которых повторно используемые границы не оказываются топологически многоплановыми (т.е. где рассматриваемого рода границы оказываются множеством топологически многоплановых границ). Рассмотрим суждение:

[H] Избранный китами путь пролегает по Гольфстриму.

Очевидно, что как "избранный китами путь", так и "Гольфстрим" представляют собой нечеткие понятия, и не менее очевидно, что нечеткое ограничение последних ограничивает для них самих, - и если бы только нечетко, - диапазон допустимых кандидатов в соотнесения. Но могут ли быть выделены контексты, в которых [H] выражает суждения с неопределенной истинностно-значимостью? Мы вновь думаем, что нет. Именно потому, что в случае стремления судящего субъекта избежать наложения нечетких границ невозможно построение казусов истинностно-значимостной неопределенности, или - следует повториться: в данном методе требуемая степень точности недоступна на уровне семантической оценки.

9.4 Наложение назначенных границ

Если судящий субъект свободен наложить назначенные границы в порядке разграничения нечеткости соотнесения некоторого понятия, то подобные проведенные границы как могут, так и не могут топологически многопланово налагаться на действительность. Рассмотрим основывающийся на приближении подход, представляющий подчеркнутую при нашем оперировании с предложением [F] ("В следующем часу мы пересечем границу горы Эверест") нечеткость. В подобном случае судящий субъект вправе наложить (новую, промежуточную) границу, лимитирующую продление нечеткости понятия "Эверест". Рассмотрим левую часть Рис. 4, представляющим границу, наложенную субъектом, выстраивающим суждение с помощью предложения [F]. Поскольку вынесение [F] связано со специфическим пространственно-временным размещением, здесь невозможна нечеткость соотнесения с наложенными внешними назначенными границами. Здесь пространственно-временное положение судящего субъекта оказывается очевидно четким.

Однако в большинстве нормальных случаев границу окончания временного интервала невозможно применить для наложения четкой границы. Скорее, как в большинстве контекстов, так и для большинства судящих субъектов предназначаемое значение [F] лучше выражается следующим суждением:

[I] Мы пересечем границу горы Эверест в следующем часу или близко к этому.

Данное суждение очевидно представляет собой предмет высокопорядковой нечеткости в том смысле, что оно выявляет множество допустимых кандидатов в соотнесение "в следующем часу или близко к этому". Тем не менее, в данном суждении определяется истинностно-значимость. Причина этому, как нам хотелось бы отметить, в невозможности неопределенности собственно приближения формировать случаи, приводящие к истинностно-значимостной неопределенности.

Высокопорядковая нечеткость, представленная в таких, как [I], случаях, ограничена в смысле, что степень нечеткости границ интервала не превышает степень нечеткости границ выделенных объектов. Например, [I] не может быть использовано судящим субъектом в порядке такого проецирования на действительность, что в число допустимых границ-кандидатов могут быть включены и такие, которые могут быть пересечены только по истечении еще нескольких часов пути. Это означает, что соотносимо-рамочно-граничное ограничение нечеткости может оказаться (значительно) четче, чем ограничиваемая им неопределенность, т.е. степень нечеткости соотносимо-рамочного ограничения границ ("в следующем часу или близко к этому") может оказаться (значимо) меньше, чем степень нечеткости тех границ объекта (в случае границ горы), в отношении которых и создается соотнесение. Отсюда следует, что если мы предполагаем, что если в естественно возникающих контекстах получаемое посредством использования четких границ ограничение нечеткости границ объекта не порождает истинностно-значимостной неопределенности, то в этих же самых контекстах высокопорядковая нечеткость и тем более ее не порождает.

Огл.10. Суждения, нечеткость и приближения

Если допустить, что судящему субъекту (в определенных контекстах) дается возможность наложения границ на действительность (посредством повторного использования уже наличествующих в действительности границ) в порядке ограничения нечеткости его собственных актов соотнесения, тогда нам необходимо формально определить, как подобное будет наблюдать теоретик семантики, использующий сверхзначимостную структуру представлений. В порядке поиска такого решения нам, прежде всего, необходимо определить понятие приблизительных суждений, особенным примером которых оказывается и суждение типа [F] "В следующем часу мы пересечем границу горы Эверест". Второе, нам следует обсудить практику отношений между подчеркнуто сверхзначимостной семантикой подобных "Эверест" нечетких имен, и ограничивающих нечеткость границ, налагаемых подобными [F] суждениями. Третье, нам же следует определить условия истинности для приблизительных суждений.

10.1 Приблизительные суждения

Приблизительные суждения представляют собой подобные [F] суждения, например, "В следующем часу мы пересечем границу горы Эверест", [G] "Мы будем пересекать границу горы Эверест не ранее чем через 60 минут и не позднее чем через 90 минут", [H] "Избранный китами путь пролегает по Гольфстриму", [I] "Мы пересечем границу горы Эверест в следующем часу или близко к этому".

Приблизительные суждения представляют собой, далее, особый класс содержащих нечеткие имена суждений, вдобавок содержащих четкие соотнесения с фиксирующими эту нечеткость границами. Рассмотрим приблизительные суждения [F] и [G]. Нечеткость данных суждений определяется присутствием в них нечеткого имени "Эверест". Их приблизительность обнаруживается уже тогда, как только они начинают включать в себя соотнесение к ограничивающим нечеткость имени "Эверест" границам посредством соотносимости с границами, очерчивающих пределы для допустимых кандидатов в соотнесения для "Эверест": "[обладающим границей, чьё пересечение ожидается] не ранее чем через 60 минут и не позднее чем через 90 минут" в [G] или "в пределах следующего часа" (т.е. между настоящим и отсчитанными от него 60 минутами) в [F]. Мы далее подвергнем анализу приблизительные суждения, содержащие простое нечеткое имя и некоторое соотнесение с ограничивающими нечеткость данного имени границами. Возможны и более сложные случаи, - например, присутствия определенной степени нечеткости в самих рамках соотнесения, но рассмотрение подобной связи мы опустим в силу того, что ее реализация основывается на той же самой исходной картине.

С точки зрения теоретика долевой модели приблизительное суждение J^A, в случае его успешного выражения, налагается на две доли действительности: нечеткую долю Pt^V, выражающую сверхзначимостную семантику нечеткого имени N и соотнесенную долю Pt^R, ограничивающую нечеткость соотнесения N.

Мы говорим, что приблизительное суждение представляет собой триаду J^A₁= (S, Pt^V, Pt^R), составляя, вместе с двумя гранулированными долями Pt^V и Pt^R, предложение S.

Например, рассмотрим приблизительное суждение J^A₁= (S, Pt^V, Pt^R), выраженное посредством предложения [F] и содержащее нечеткое имя "Эверест", наложенное на допустимые границы допустимых кандидатов в "Эверест" и выраженное посредством "[обладание пересекаемой границей] в течение следующего часа". Нечеткое имя "Эверест", наложенное на нечеткую долю Pt^V совместно с обозначенной "Эверест" ячейкой, проецируется на множество допустимых кандидатов в соотнесения имени "Эверест", как показано на Рис. 3.

Суждение [F] (посредством его части "в течение следующего часа") налагает на действительность еще и соотнесенную долю Pt^R, как показано в левой части Рис. 4. Интуитивно представляется, что подобного рода соотнесенная доля проецируется на действительность способом, ограничивающим допустимые кандидаты в соотнесения для "Эвереста", т.е. это ограничивает допустимые проекции ячейки "Эверест" в Pt^V. Последние должны быть таковы, что они будут пересечены судящим субъектом в период между "теперь" и часом вперед.

Иной пример приблизительного суждения J^A₂= ([K], Pt^V, Pt^R) представлен посредством предложения:

[K] Область плохой погоды закрывает часть Вайоминга, часть Монтаны, часть Юты и часть Айдахо.

Соответствующая нечеткая доля Pt^V содержит ячейку, обозначенную "область плохой погоды", проецируемую на множество допустимых кандидатов. Суждение J^A₂ вновь использует изображенную в правой части Рис. 5 долю в качестве соотнесения доли P^R. Последняя тогда так ограничивает допустимые проекции ячейки, обозначенной в Pt^V, что каждый кандидат в соотнесение, намечаемый для проецирования P_i, относящегося к Pt^V, обязан закрывать части действительности, намечаемые посредством ячеек "Вайоминг", "Юта", "Монтана" и "Айдахо" в Pt^R. Более того, Pt^R имплицитно так ограничивает допустимые проекции ячейки "область плохой погоды", что отсутствуют кандидаты в соотнесения, намечаемые посредством проекции P_i, относящейся к Pt^V, способной закрывать части действительности, намечаемые посредством ячеек Pt^R, чьи обозначения не упоминаются в [K].

Мы продолжим, сосредоточив внимание на теоретически-долевом определении соотносимых долей представленного здесь типа.

10.2 Теория доли и приближение

Предшествующая теории приближения идея заключается в возможности использования (четкой) гранулированной доли в качестве рамочного соотнесения (обобщающей координатной рамки (Биттнер, 1997)), позволяющей нам описать приблизительное положение объектов. Теоретически-долевое представление приближения довольно близко связано с представлением о приближении, использующем грубые установки (Павляк, 1982). Рассмотрим в качестве примера нечеткого множества "Гору Эверест" и соответствующее множество допустимых кандидатов, сформированных посредством четких порций действительности в районе Гималаев. Рассмотрим и другую структурирующую ту же самую область четкую долю, но без распознавания какого бы то ни было кандидата, прямо соотносимого посредством имени "Эверест". Это может быть доля, оперирующая с границами Индии, Тибета, Непала и входящих в них провинций, или доля, сформированная растром ячеек, выровненных по меридианам и параллелям (как в правой части Рис. 6). Подобная соотносимая доля наделена способностью непрямого распознавания всех допустимых кандидатов, то есть не нуждается в явном проецировании на них.

Чтобы показать, как это может быть, мы введем три представления - полного наложения (fo), частичного наложения (po) и отсутствия наложения (no), используемые нами для обобщения понятий проекции и локации, зафиксировав их следующим образом. Пусть o представляет собой объект, прямо не распознаваемый посредством данной доли, и пусть x представляет собой объект, расположенный в ячейке z нашей доли (ячейка z проецируется на x). x представляет собой, в упомянутом случае, часть массива поверхности Земли. Константы fo, po, no не могут быть использованы для определения степени покрытия объектом o объекта x.

Мы обозначим отношение L^R(o, z, w ) грубым размещением объекта o в отношении ячейки z и отношение P^R(o, z, w ) грубой проекцией ячейки z на o. В обоих отношения величина w характеризует степень перекрытия намеченных посредством ячейки z объектов, т.е. способных принимать значения fo, po или no. Рассмотрим левую часть Рис. 5. Здесь отношение po присутствует между всеми допустимыми кандидатами в соотнесения (BWA_i) "области плохой погоды" и Монтаны, т.е. " i:L^R(BWA_i, Монтана, po). Отношение no присутствует между всеми BWA_i и Орегоном, т.е. " i:L^R(BWA_i, Орегон, no).

Мы можем таким образом характеризовать порядок отношения между точным и грубым размещением и точной и грубой проекциями:

L^R (o, z, fo) є "x: L(x, z) → x Ј o

P^R (z, o, fo) є "x: P(z, x) → x Ј o

L^R (o, z, po) є "x: L(x, z) → ∃ y: y < x and y Ј o

P^R (z, o, po) є "x: P(z, x) → ∃ y: y < x and y Ј o

L^R (o, z, no) є "x: L(x, z) → Ш ∃ y: y Ј x and y Ј o

P^R (z, o, no) є "x: P(z, z) → Ш ∃ y: y Ј x and y Ј o

Понятие грубого расположения может преобразиться в некоторое эквивалентное отношение в данной объектной области в части данной соотносимой доли Pt в следующей форме:

o₁ »_R o2 º " z: LR(o, z₁, w ) « LR(o, z₂, w ).

Последнее может быть интерпретировано как представляющее то, что два объекта эквивалентны в отношении гранулированной доли Pt^R если и только если они идентичны грубому расположению в отношении всех входящих в данную долю ячеек. »_R, следовательно, может интерпретироваться как означающее неразличимость в отношении предоставляемых долей Pt^R рамок соотнесения.

Рассмотрим левый фрагмент Рис. 6, показывающий посредством прямоугольной рамки с двумя ячейками приближение некоторой прозрачной эллипсоидной области и некоторой окрашенной в серый цвет области, содержащей две отдельные части. В отношении именно этой четкой доли, выраженной посредством двух растровых ячеек, эквивалентны обе данные области: L^R (z₁ , o₁ , po), L^R (z₁ , o₂ , po), L^R (z₂ , o₁ , po), L^R (z₂ , o₂ , po). В порядке привлечения сюда топологических свойств подвергаемых приближению объектов можно использовать более изощренные методы приближения (Биттнер и Стил, 2000), или можно обратиться к топологической структуре подвергаемых приближению объектов (Ранделл, Кью и др., 1992). В иных случаях может, в большей мере, чем просто мереотопология, потребоваться определенная мереотопологическая теория (Варзи, 1994). Содержание обоих данных методов выходит за пределы предмета настоящей работы.

Отношение эквивалентности »_R налагает относящиеся к Pt^R эквивалентные классы неразличимых объектов. Мы записываем [o₁] в порядке обозначения класса объектов оказывающихся »_R - эквивалентными o₁. До этого мы показываем, что приблизительные суждения типа ([F], Pt^V, Pt^R) так проецируются на действительность, что все допустимые кандидаты в соотнесения (т.е. p^V_i (Эверест)) оказываются эквивалентными в смысле некоторого »_R (т.е. доли наложенной посредством ‘[нечто, граница которого будет пересечена] в течение следующего часа’. Это означает, что все допустимые кандидаты в соотнесения обладают одинаковыми отношениями с порцией действительности, на которую проецируются ячейки соотносимой доли. Подобным способом, хотя и непрямо, могут определенно распознаваться все допустимые кандидаты.

Мы определяем соотносимую долю как некую четверку, Pt^R = (A, P^R, L^R, Ω), где A ячеечная структура, P^R и L^R - грубые проекции и отношения расположения, и (fo, po, no) множество значений, показывающих различимые степени наложения. Отношение эквивалентности »_R непрямо задается посредством L^R и Ω). Нам необходимо чтобы в соотносимых долях содержались следующие составляющие MB1^R - 4^R:

MB1^R L^R (o, z, w ) → P^R (z, o, w )

MB2^R P^R (z, o, w ) → L^R (o, z, w )

MB3^{R "} o: (L^R (o, z₁, w ) и L^R (o, z₂, w )) → z₁ = z₂

MB4^{R "} z: (P^R (z₁, o, w ) и P^R (z₁, o₂, w )) → o₁ » _Pt o₂

MB3^R показывает нам, что если две ячейки таковы, что в результате их установки тем же самым способом накрываются все объекты, то эти две ячейки должны быть идентичны. MB3^R показывает нам, что если два объекта наделены теми же самыми отношениями (fo, po, no) ко всем ячейкам в гранулированной доле Pt, то два объекта неразличимы в отношении данной доли.

Рис. 6 Грубое приближение

Каждая соотносимая доля Pt^R наделена четким скелетом Pt^S= (A, P^S, L^S). Здесь Pt^S представляет собой четкую гранулированную долю, наделенную следующими свойствами: (1) A идентично ячеечной структуре Pt^R; (2) Pt^S представляет собой, для объектов o, прямо распознаваемых посредством простых ячеек z в A, ограничение Pt^R в форме триады (o, z, fo); (3) L^S представляет собой, для объектов o, прямо распознаваемых посредством простых ячеек z в A, ограничение L^R в форме триады (o, z, fo); (4) Pt^S удовлетворяет MA1-4, MB1-6⁺. Все это образует четкий скелет соотнесенной доли, актуально устанавливаемый рамками соответствующего приближению соотнесения, т.е. проецирования на фиксирующие нечеткость границы.

Рассмотрим суждение "зона плохой погоды простирается на части Вайоминга, части Монтаны, части Юты и части Айдахо", и соответствующую формальную структуру J^A = ([K], Pt^V, Pt^R). Четкий скелет соотносимой доли Pt^R представляет собой долю Pt^S, определяемую входящими в США штатами (Рис. 5) и устанавливающую соотнесение, соответствующее приближению. Рассмотрим Рис.4. Четкий скелет соотносимой доли содержит ячейки "ядро", "внешнее окружение" и "местонахождение-кандидатов-в-границы" (подобная структура ячеек, посредством соотносимой доли Pt^R, присутствует в обоих случаях). Четкая проекция Pt^S образует (внутренние и внешние) границы, ограничивающие анализируемую выше нечеткость. С другой стороны, в обоих случаях соотносимая доля (Pt^S) непрямо определяет допустимые кандидаты в соотнесения. Следовательно, связь между ячейкой структуры A в соотнесенной доле, Pt^R, и действительностью полностью определяется четкой проекцией и отношениями расположения в рассматриваемом четком скелете Pt^S. Соотносимая доля строится посредством четкого скелета, т.е. благодаря предоставляемой Pt^S рамке соотнесения.

10.3 Истинность приблизительных суждений

Приблизительные суждения J^A определяются предложением S, содержащим нечеткое имя N и рамки соотнесения, ограничивающие кандидаты-в-границы соотносимостей с N. Это выражается в структуре J^A = (S, Pt^V, Pt^R), где Pt^V представляет нечеткость нечеткого имени N и Pt^R рамки соотнесения. В порядке достижения истинности долям Pt^V и Pt^R следует располагать конкретным, хорошо определенным отношением друг к другу.

Условия истинности представляют собой обеспечивающие истинность суждения необходимые и достаточные условия. Определение условий истинности для приблизительного суждения основано на условиях истинности для гранулированных или же нечетких долей в определенном выше смысле. Если некоторое приблизительное суждение может быть построено (что означает: построено таким образом, что его истинность как минимум позволяет возможность принципиальной оценки говорящим и слушающими), то это означает что соответствующие доли Pt^V и Pt^R могут успешно вызываться совершающим суждение субъектом. Подобный принцип может использоваться на уровне семантической оценки для определения условий истинности соответствующих суждений.

Вновь обратимся к приблизительному суждению J^A = ([K], Pt^V, Pt^R), где [K] = "зона плохой погоды простирается на части Вайоминга …". Пусть Pt^V является четкой долей Pt^V = (A, P^V, L^V), представляющей четкое соотнесение имени "зона плохой погоды", и пусть Pt^R является соотнесенной долей Pt^R = (A¢ , P^R, L^R, W ), изображенной на правой части Рис. 5. Согласно грубой оценке обоим долям соответствует одна и та же область, однако ячейки структур A и A¢ полностью различны. Мы можем сказать, что Pt^R является приблизительно нечетким соотнесением имени "зона плохой погоды" если и только если все допустимые кандидаты в соотнесения, т.е. все доли действительности, очерченные посредством множества проекций ячеек, обозначенных в Pt^V "зона плохой погоды", оказываются эквивалентны посредством отношения » _R.

В более общем виде мы можем рассматривать такие, как [K], [G], [F] приблизительные суждения в качестве экземпляров одной общей формы:

J^A = (S = ‘N стоящим в отношении R₁ к N₁ ,…, R_n к N_n’, Pt^V, Pt^R).

Рассмотрим суждение [K]: здесь ‘N’ переводится как ‘зона плохой погоды’, R₁ переводится как po (распространяющееся на части), N₁ переводится как Вайоминг и т.п. В случае суждения [F] ‘N’ переводится как ‘Эверест’, N₁ переводится как путь проходимый судящий субъектом ‘за следующий час’, и R₁ переводится как po.

С общих позиций можно сказать, что N представляет собой нечеткое имя, N₁,…, N_n представляют собой четкие имена, и R_i диапазон, перекрывающий практику отношений fo, po, no. Приблизительное суждение вида J^A обладает соотнесенной долей Pt^R, приблизительно фиксирующей множество допустимых соотнесений нечеткого имени N в S в соответствии с нечеткой долей Pt^V, если и только если соблюдается следующее:

I. Обозначение l^R показывает имена N₁,…, N_n на ячейках z₁,…, z_n в Pt^R, т.е. (l^R (N_i )) = z_i, обозначение l^R показывает имя N на ячейке z в Pt^V , т.е. N = (l^V-1)(z)

II. имеются отношения R_i(p^V (z), p^R(z)).

Приблизительное суждение J^A = (S, Pt^V, Pt^R) является истинным если и только если:

(a) Pt^R приблизительно фиксирует кандидатов в соотнесения, на которые нечетко проецируются ячейка l^V(N);

(b) Pt^V так представляет свою область, что соблюдаются MA1-4 и MB1^V -6^{V +};

(c) Pt^R так представляет свою область, что соблюдаются MA1-4 и MB1^R -6^{R +}.

Из этого следует, что в истинном приблизительном суждении все допустимые кандидаты в соотнесения нечеткого имени N в S оказываются эквивалентны посредством отношения »_R.

Следовательно, суждение J^A = ([F], Pt^V, Pt^R) является истинным если и только если все кандидаты в границы пересекаются в течение определенного интервала. Однако подобное представление о приближении вынуждает судящего субъекта достаточно обобщенно выбирать интервал, чтобы быть уверенным в возможности пересечения всех допустимых кандидатов в границы. Однако следует отметить, что судящий субъект несвободен в создании внутренней границы как произвольно малой и внешней, так и как произвольно большой, что обсуждалось у нас в предшествующем разделе, посвященном порядку отношений между нечеткостью и приближением. Рассмотрим суждение J^A = ([G], Pt^V, Pt^R). Можно легко удостовериться, что подобное суждение приобретает истинность в понятиях истинности указанных условий.

Важно подчеркнуть, что Pt^V и Pt^R представляют собой различные доли с различными ячеечными структурами, проекциями и т.п. Отметим, что выбор растра, оказывающийся в такой степени тонким, в какой это возможно для приблизительной доли, не обязан обеспечивать лучшее приближение, поскольку формирующие граничное приближение ячейки обязаны частично налагаться на общность размещения границ в нечеткой доле. Однако в большинстве случаев довольно тяжело выделить долю, усваивающую нечеткость в анализируемом выше смысле. Очевидно, что поиск тонкого приближения куда более труден, нежели грубого.

Огл.11. Судящий субъект и приближение

Исследователю в области долевой теории, прежде чем приступать к анализу приблизительных суждений, необходимо понять особенности собственно семантической постановки проблемы. Для этого он должен учитывать понимание перспективы, определяемой судящим субъектом. В настоящем разделе мы рассмотрим порядок отношений между судящими субъектами и используемыми ими соотносительными долями. Прежде всего, мы обратимся к обсуждению свойств соотносимых долей и их использование в качестве рамок соотнесения. Второе, при произнесении судящим субъектом приблизительного суждения часто появляется возможность выбора между альтернативными соотносимыми долями, более грубыми, более тонкими, что порождает новую возможность упомянутого выше онтологического масштабирования. Выбор определенной соотносимой доли определяет как ее последующее употребление в качестве рамки соотнесения, так и точность окончательного приближения. Ниже мы покажем, что судящие субъекты часто придают приблизительным суждениям способность приближения необходимой точности, скорее чем стремясь к исчерпанию потенциально возможной. В-третьих, мы покажем, что судящие субъекты располагают более эффективными средствами определения истинности приблизительных суждений, чем могут иметь место в случае перебора потенциально неопределенного числа кандидатов в соотнесения согласно сверхзначимостному способу.

11.1 Соотносимые доли

Типы гранулированных долей, используемых в качестве рамок соотнесения, т.е. четкий скелет соотносимой доли, характерно обладают следующими свойствами: (1) они относительно стабильны, т.е. они не изменяются во времени (следовательно, можно требовать, чтобы они специфицировались с помощью легкого способа коммуницирования); (2) они мереологически монотонны; (3) они не содержат пустых ячеек; (4) мереологическая сумма соответствующих минимальных ячеек идентична корневой ячейке и (5) мереологическая сумма подверженностей (targets) всех ячеек доли идентична области доли. Соотносимые доли часто по природе пространственные или временные.

Первое характеристическое свойство соотносимой доли заключается в ее относительной статичности по отношению к соотносящимся с ней объектам. Это означает что, (a) ячеечная структура фиксирована, и что (b) объекты, на которые она проецируется, не изменяются (они, к примеру, представляют собой свойственные земной поверхности пространственные области). Рассмотрим примеры, показанные на Рис. 5. Проецируемая на Соединенные Штаты гранулированная доля существует более тысячи лет без ощутимых изменений, притом, что область плохой погоды постоянно изменяется в течение своего (короткого) существования. Фактически Рис. 5 сам по себе нуждается в понимании в качестве моментального среза. (Смит и Брогаард, 2003) В подобного рода случаях в силу относительной стабильности соотносимой доли появляется полезная информация, говорящую, что область плохой погоды, как таковая, расположена на частях Монтаны, Айдахо, Вайоминга и Юты, и что в наличии некий период времени. Такое соотнесение представляет собой элемент, известный уже из школьной программы и, потому может употребляться в любых предназначениях (Стевенс и Коуп, 1978).

Второе, четкому скелету соотносимой доли должна быть присуща, ради обеспечения сохранности мереологической структуры рассматриваемой области, мереологическая монотонность (MB6⁺).

Третье, соотносимая доля не должна содержать пустых ячеек, т.е. должно соблюдаться условие проецирования всякой ячейки на некоторый объект. Четвертое, соотносимые доли не должны содержать "пустого пространства" (в противоположность, например, периодической таблице элементов, сохраняющей резервные ячейки для проецирования на еще не открытые элементы). Это означает, что мереологическая сумма всех минимальных ячеек суммируется корневой ячейкой. Формально можно записать:

CF ∃ z, z₁,…,z_n: Max(z) z = + Min(z_i) z_i ,

где предикаты Min и Max содержат, соответственно, корневую и минимальные ячейки нашей соотносимой доли и + в качестве операции получения мереологических сумм. (См. подробнее Биттнер и Смит, 2001).

Пятое, соотносимая доля такова, что мереологическая сумма всех расположенных в минимальных ячейках объектов идентична тому, на что проецируется корневая ячейка. Формально можно записать:

CE ∃ z, z₁,…,z_n: Max(z) и p(z) = + Min(z_i) p(z_i) ,

где p(z) возвращает объект, на который проецируется z.

Условия (3)-(5) требуют, чтобы четкая соотносимая доля представляла собой полную, исчерпывающую и завершенную в смысле (Смит и Биттнер, 2001). В данный класс входят все пространственные доли с минимальными ячейками, общая сумма которых исчерпывает некоторое пространство. Важную группу соотносимых долей составляют доли, налагаемые всякого рода количествами (Джоханнсон, 1989, глава 4); подобные календарям темпоральные доли (Биттнер, в печати), и пространственные доли наподобие политической карты Земли или ячейки, образованные линиями широтной и меридиональной сетки.

11.2 Точность приближения

При анализе приблизительных суждений часто недостаточно определения только истинности и ложности, но и необходима оценка обнаруживаемой ими степени точности. Мы начнем с заимствования перспективы, открытой перед теоретиком семантики, и классифицируем порции действительности в понятиях их отношений к допустимым кандидатам в соотнесения нечеткого имени. Далее мы сопоставим данные доли с долями, налагаемыми судящим субъектом.

Рассмотрим нечеткую проекцию ячейки "Эверест", как она изображается на Рис. 3. Согласно видимой теоретиком семантики перспективы, нам следует принять во внимание соответствующие условия общности, близкие, например, к таким:

U5 (1) Вершина представляет собой часть горы Эверест; если x представляет собой часть Горы Эверест и y соединяется с x, то y является частью горы Эверест если и только если y оказывается частью проекции P_i ячейки "Эверест".

Для каждой ячейки z в нечеткой доле Pt^V теперь мы можем классифицировать соответствующие порции действительности, разместив их в три класса: части ядра по отношению ячейки z, граничные части в отношении z, и внешние части в отношении z.

Мы определяем, что x относится к частям ядра объекта, на который проецируется ячейка z если и только если для всех проекций P в P^V x оказывается частью всех допустимых кандидатов в соотнесения соответствующего z нечеткого имени. В символической форме:

ядро_V(x, z) є " p О P^V: x Ј p(z)

Например, рассмотрим ячейку, обозначенную в Pt^V как "Эверест". Здесь присутствует порция действительности, составляющая часть горы Эверест для всех проекций в Pt_V, например, вершина. Следовательно, ядро_V(вершина, "Эверест").

x представляет собой граничную часть объекта, на который проецируется ячейка z если и только если имеют место некоторые проекции в P^V, согласно которым x удовлетворяет ассоциированной общности условий, и что существуют другие проекции в P^V, согласно которым x полноценно в смысле удовлетворения ассоциированной общности условий:

граница_V(x, z) є $ p О P^V: x Ј p(z) и ∃ p О P^V: Ø (x Ј p(z))

Например, существуют порции действительности, составляющие часть горы Эверест в одних проекциях и не составляющие в других.

x представляет собой внешнюю часть объекта, на который проецируется ячейка z если и только если x недостижим посредством любой проекции ячейки z.

внешняя среда_V(x, z) є " p О P^V: Ø (x Ј p(z))

Например, встречаются такие части действительности, Берлин в частности, недостижимые с помощью каких бы то ни было проекций ячейки "Эверест" в любом естественном контексте.

Следовательно, для семантической перспективы всякое нечеткое имя создает долю действительности в составе ядра, границы и внешней среды. Мы определим семантическое членение действительности в отношении нечеткого имени N представляющим собой такого рода членением, возникновение которого обусловлено отражением нечеткости N.

В порядке оценки точности истинно приблизительного суждения теперь нам необходимо рассмотреть отклонение положения двух пар границ: (a) внешних и внутренних границ, наложенных судящим субъектом в качестве рамок соотнесения для ее приближения; и (b) границ, наложенных посредством семантического членения.

Вновь обратимся к приблизительному суждению J^A = ([F], Pt^V, Pt^R). Соотносимая доля Pt^R (показанная в левой части Рис. 4) представляет собой особый экземпляр класса соотносимых долей, налагающих на действительность две назначенные границы: внешнюю и внутреннюю границу приближения. Как это анализировалось выше, подобное часто обусловлено наличием долевой структуры, сходной с изображенной в правой части Рис. 4. Проекция (геометрическая) подобной доли на относящийся к составу путешествия судящего субъекта проходимый ею путь в сторону вершины горы Эверест формирует соотносимую долю, показанную в левой части Рис. 4.

В случае более сложных соотносимых долей, подобно использованным в суждении [K] элементам политического деления территории США (Рис. 5), внутренняя граница приближения совпадает с внутренней границей мереологической суммы предметных назначений долевых ячеек, для которых существует отношение fo (т.е. граница ячейки K в центре Рис. 6). Внешняя граница приближения совпадает с границей мереологической суммы предметных назначений долевых ячеек, для которых существует отношение po (т.е. внешняя граница мереологической суммы ячеек [A,…, P] минус ячейки A и M в середине рисунка). Это ассоциируется с границами мереологических сумм нижнего и верхнего приближений в смысле теории грубых установок (Павлак, 1982).

Мы утверждаем, что некоторому приближению, для некоторого имени N, присуща точность если и только если (1) внутренняя граница приближения совпадает с границей, отделяющей ядро от окружающих частей семантического членения; и (2) внешняя граница приближения совпадает с границей, отделяющей внешние части от лежащего в их пределах. В ином случае истинно приблизительное суждение утрачивает точность.

По сути самой природы нечеткости большинство приближений неточны. Более того, как об этом говорилось в разделе, в котором мы обращались к степеням нечеткости и четкости, судящие субъекты обращаются к произнесению приблизительных суждений в случае если они в настоящем контексте точны как требуется. Это означает, что пределы, налагаемые на нечеткость для класса объектов на переднем для выносящих суждения плане, таковы, что могут строиться лишь определяющие истинностно-значимость суждения, например, суждения о столах и пепельницах в зоне для курящих, как происходило в приводимом нами примере [C].

11.3 Определение истинности суждений

Теоретики долевой модели представляют, что судящие субъекты пользуются приближением в порядке формулирования суждений, чья истинностно-значимость более просто подлежит определению, нежели это возможно при помощи всех (потенциально неопределенных) кандидатов в нечеткие соотнесения при сверхзначимостном способе. Понимая это, рассмотрим нечеткое соотнесение имени "Эверест". В пределах определенного диапазона здесь присутствует произвольное множество, оно же необходимо неопределенное множество, допустимых кандидатов в соотнесения. При построении суждения о горе Эверест конечный уподобленный человеческому судящий субъект не может действовать при помощи подобных неопределенных кандидатов в соотнесения в порядке определения истинностно-значимости суждения сверхзначимостным способом. Следовательно, требуется употребить более эффективные когнитивные средства.

Стараясь понять, как приближение способно удовлетворить обрисованному положению, рассмотрим определение истинности приблизительного суждения: некоторое приблизительное суждение J^A = (S, Pt^V, Pt^R), обладающее нечетким именем N в S, истинно если и только если доли Pt^V и Pt^R проецируются на действительность в структурно защищенной форме (содержа MA1-4, MB1^V-6^V и MB1^R-4^R), и все допустимые кандидаты в соотнесения N (проецируемые на действительность посредством Pt^V) эквивалентны в отношении приблизительности, диктуемой Pt^R.

Неким важным моментом представленного выше определения следует понимать то, что оно не вносит в приближение условие его точности. С другой стороны, подчеркнутая концептуальная структура таких имен как "Эверест" или "область плохой погоды" такова, что она обеспечивает (нечеткие) условия единства, согласно которым допустимые кандидаты в соотнесения не представляют собой произвольно налагаемые мереологические целые. Два данных аспекта обеспечивают судящему субъекту возможности такой разметки нечетко-определенных границ, что ей не потребуется перебор всех допустимых кандидатов в порядке определения истинности некоего приблизительного суждения. Каждый судящий субъект может определить истинность своего суждения в отношении устанавливающих пределы границ, и ей дана свобода выбора степени точности, более удовлетворяющей ее востребованию. Следовательно, она может помещать границы в "сохранных" позициях, т.е. в таких, что истинность и ложность суждения легко может определяться для таких границ и без неопределенности.

Рассмотрим приблизительное суждение [G]: "Мы пересечем границу Эвереста в течение следующего часа". [G] может серьезно произноситься только в контекстах, где судящий субъект указывает определяемую границу горы Эверест как еще не пересеченную. По прошествии одного часа судящий субъект вновь обращается к проверке, и может зафиксировать итог, истинным оказалось суждение или ложным. На протяжении же этого часа судящий субъект может случайным образом проверять произошло или нет пересечение границы, но она определенным образом не обращается к перебору неопределенного множества кандидатов в соотнесения когда достигнута вершина.

Огл.12. Заключение

В данной работе мы предложили некоторое приложение теории гранулированных долей к явлению нечеткости, явлению, которое само собой способно принять вид семантического свойства имен и предикатов. Мы защищали сверхзначимостную теорию выделяемой семантики, утверждая, что она недостаточна для контекстно-независимого способа рассмотрения нечеткости имен и предикатов. Скорее нечеткие имена и предикаты могут оцениваться как появляющиеся в актуально выстраиваемых в естественных контекстах. Отсюда мы определили, что суждения дополняют контекст предложений способом, помогающим разрешению вносимой нечеткостью дилеммы. Отметим, что подобное не означает какого бы то ни было устранения нечеткости. Нечеткие имена и предикаты предстают именно в качестве нечетких, так и сохраняясь в подобном качестве. Скорее мы показываем, что рамки гранулированных долей открывают перспективу понимания, позволяющего, в контекстах действительного мира, суждениям с неопределенной истинностно-значимостью представать уклоняющимися от систематизирования. Мы также показываем, что использование рамок соотнесения превращает приблизительные суждения в весьма естественно формулируемые в долево-теоретических понятиях, и потому рамки гранулированных долей помогают нам понимать порядок отношений между нечеткостью и приближением.

Благодарности

Частично данная работа поддерживалась DARPA как проводимая в рамках Штаба Программ будущего и Национального исследовательского фонда в рамках Программы исследований по обучению и образованию в соответствии с исследовательским грантом BCS-9975557: "Географические категории: Онтологическое изучение".

Литература

Bittner, T. (1997). A Qualitative Coordinate Language of Location of Figures within the Ground. Spatial Information Theory - A Theoretical Basis for GIS, COSIT'97. S. Hirtle and A. U. Frank. Laurel Highlands, PA., 223-240.
Bittner, T. (1999). On Ontology and Epistemology of Rough Location. Spatial Information Theory - A Theoretical Basis for GIS, COSIT'99. Hamburg, Germany.
Bittner, T. (to appear). «Approximate Temporal Reasoning.» Annals of Mathematics and Artificial Intelligence.
Bittner, T. and B. Smith (2001). A Taxonomy of Granular Partitions. Spatial Information Theory - A Theoretical Basis for GIS, COSIT'01.
Bittner, T. and J. Stell (2000). Rough Sets in Approximate Spatial Reasoning. Proceedings of the Second International Conference on Rough Sets and Current Trends in Computing (RSCTC'2000).
Clementini, E. and P. D. Felice (1996). An Algebraic Model for Spatial Objects with Undetermined Boundaries. Geographic Objects with Indeterminate Boundaries. P. Burrough and A. U. Frank. London.
Cohn, A. G. and N. M. Gotts (1996). The 'Egg-Yolk' Representation of Regions with Indeterminate Boundaries. Geographic Objects with Indeterminate Boundaries. P. Burrough and A. U. Frank. London.
Fine, K. (1975). «Vagueness, Truth and Logic.» Synthese 30: 265-300.
Fisher, P. (1996). Boolean and Fuzzy Regions. Geographic Objects with Indeterminate Boundaries. P. Burrough and A. U. Frank.
Hyde, D. (1996). Sorites Paradox. Stanford Encyclopedia of Philosophy.
Johansson, I. (1989). Ontological Investigations : An Inquiry into the Categories of Nature, Man, and Society. New York, Routledge.
Moffitt, F. H. and H. Bouchard (1987). Surveying. New York, Harper and Row Publishers. Pawlak, Z. (1982). «Rough Sets.» International Journal of Computation Information. 11: 341-356.
Randell, D. A., Z. Cui, et al. (1992). A Spatial Logic based on Regions and Connection. 3^rd Int. Conference on Knowledge Representation and Reasoning. Boston.
Roy, A. J. and J. G. Stell (to appear). «Spatial Relations between Indeterminate Regions.» Journal of Approximate Reasoning.
Smith, B. (1995). On Drawing Lines on a Map. Spatial Information Theory - A Theoretical Basis for GIS, COSIT ў95. A. U. Frank and W. Kuhn. Semmering, Austria.
Smith, B. (2001). «Fiat Objects.» Topoi 20(2).
Smith, B. and T. Bittner (2001). «A Theory of Granular Partitions.».
Smith, B. and B. Brogaard (2001). ''A Unified Theory of Truth and Reference". Logique et Analyse.
- русский перевод на нашем сайте
Smith, B. and B. Brogaard (to appear). "Quantum Mereotopology". Annals of Mathematics and Artificial Intelligence.
Stevens, A. and P. Coupe (1978). «Distortions in Judged Spatial Relations.» Cognitive Psychology 10: 422-437.
Tye, M. (1990). «Vague Objects.» Mind.
Varzi, A. (2001). «Vagueness in Geography.» Philosophy and Geography 4(1): 49-65.
Varzi, A. C. (1994). "On the Boundary between Mereology and Topology". Philosophy and the Cognitive Science. R. Casati, B. Smith, and G. White: 423-442.

перевод - А.Шухов, 03.2008 г.