Огл. Схемы: психология математического образования.

Инициатива введения в психологию понятий "схема" и "схематизм" принадлежит Ф. Ч. Бартлетту (1932), впервые использовавшего их в своем исследовании памяти. Этот термин Бартлетт заимствовал у нейрофизиолога Генри Хида, использовавшего его для отображения присущего человеческому сознанию представления о собственном теле или для представления отношения тела к миру. Бартлетт использовал понятие схемы тем же самым образом, что и после него Скемп, показывавший: как можно построить некоторую организованную структуру знания, которой способны соответствовать новое знание и новый опыт. Использование выработанного Хидом понятия схемы в психологии описали Олдфилд и Зангвилл (1942a, 1942b, 1943). Бартлеттовское понимание схемы рассматривалось Скемпом (1962, 1971), и далее Румельхартом (1975), также способствовавшего возрождению в исследованиях памяти Бартлеттовского подхода и терминологии. Мински (1975) предложил свой принцип "рамки" и Шэнк (1975) идею "сценариев", обе в достаточной степени напоминающие Бартлеттовский "схематизм". Оказавший значительное влияние труд Дэвиса (1984) на тему когнитивных методов в области математического образования в значительной мере склоняется к идеям концепции схемы. Справедливо сказать, что на протяжении всего времени использования понятия схемы в математическом образовании (см., например, Стифф, 1983, 1988; Дэвис, 1984; Дубински, 1992; Коттрил и др., 1996) не предпринималось сколько бы значительного числа попыток более точного объяснения того, что же составляет схему. Есть, однако, и малочисленные исключения, в частности, собственные работы Скемпа, а также статьи Дубински (1992) и Коттрила с соавт. (1996), первая из которых, по меньшей мере, подтверждает, что некоторое определение способно помочь работающим в данной сфере исследователям, а вторая - просто представляет собой попытку сформулировать рекурсивное определение схемы.

Скемп (1986) объясняет, что схемы играют ведущую роль в функционировании относительного понимания:

Вторая глава "Психологии изучения математики" озаглавлена "Идея схемы". Здесь Скемп поясняет, что его понимание схемы представляет ее взаимосвязанной коллекцией иерархических отношений. И цель нашей настоящей работы как раз и заключается в анализе подобного представления.

Огл. Структурирование мира: категории

Необходимое условие умственной деятельности более высокого порядка - способность сознания выполнить категоризацию отношений мира. Для ведения счета, например, нам необходимо выделить подсчитываемые вещи. Эти вещи, с целью подсчета, категоризуются нами как образцы взаимозаменяемых экземпляров вещей. Вы подготовили несколько чистых рубашек для праздничной поездки? Достаточно ли стульев, чтобы рассадить всех гостей? Подбирая ответы на такого рода вопросы, мы обращаемся к различным вещам, подобным на непохожие друг на друга рубашки и стулья, представляя их, в пределах задачи подсчета, образцами, относящимися к одной категории.

Возможность категоризации присуща многим животным (Эдельман, 1989) и представляет собой фундаментальный способ, посредством которого человеческое существование структурирует собственный мир. Последнее критически важно для математического образования, поскольку подсчет, та начальная математика, что употребляет большинство из нас, очевидно основывается на способности категоризации.

Используемая нами в математической практике шаблонная фиксация действий сама представляет собой предмет категоризации. Категоризация, участвующая в формировании схем, это не что иное, как мозг, категоризующий собственные действия. Если первичная категоризация обращена на события восприятия, то вторичная категоризация - как раз та, в которой и формируются схемы, это сфера, в которой категоризуются уже сами проявляемые мозгом реакции восприятийной категоризации. Присущий мозгу потенциал рефлексии представляет собой важный элемент принадлежащей Пиаже теории развития логико-математических структур. Совсем недавно благодаря Эдельману (1989, 1992) она обрела большую функциональную и структурную детализацию:

Огл. Высокоуровневые схемы и схемы действия

Кроме способности фиксации величин в соответственно конфигурированных множествах, число участвует в счете, представляющем собой схему действия - последовательность действий, выполняемых ради достижения результата. Сложение, основанное на подсчете, представляет собой расширенную схему действия, формирующую общность двух коллекций. Дети, до того, как они начинают понимать избыточность некоторых стадий подобного процесса, пользуются начальной схемой "полного счета". Дальше они уже строят новые связи, позволяющие отказаться от начального метода счета. Подобная реконструированная схема отсутствует в начальной организации счета и представляет собой "счет-надстройку". Если они достаточно хорошо могут управлять "счетом-надстройкой", позволяя нейронному соединению перебрасывать входящие данные на выход (или если у них вос-соединение результатов показывает характер связей), то они могут формировать связь входящих и исходящих данных как выражающуюся в определенном факте.

Существенным аспектом понимания схем следует назвать проблему фокусирования внимания обучающегося. Что такое человеческое фокусирование на некоторой схеме действия, определяющее для него последующую структуру подобной схемы? Первой попыткой использования систем внимания как основы для развития математических способностей следует назвать созданную Глазерфельдом (1981) внимательностную модель операций создания однородностей. Подобные операции весьма важны в его теоретической модели операций человеческого сознания, создающих единичный элемент ощущения. Ощущения - это единственная возможная для нас модель, посредством которых люди формируют однородности и многообразия. С подобной точки зрения внимание следует понимать основой, позволяющей понять феномен нумеруемости. Фон Глазерфельд довольно ясно определил, какую же роль здесь играет проблема внимания:

и он цитирует нейрофизиологические эксперименты, подтверждающие его оценку:

Модель фон Глазерсфельда послужила основанием для теории Стиффа-Кобба-фон Глазерсфельда-Ричардса детских способов счета и выполнения арифметических действий (Стифф, фон Глазерсфельд, Ричардс и Кобб, 1983; Стифф, Кобб и фон Глазерсфельд, 1988). Фон Глазерсфельд смоделировал, как отображения опыта получаются посредством фокусирования внимания на потоке данных восприятия. Данный принцип следует рассматривать как базовый для конструктивистской теории обучения, и, как мы понимаем, подобные отображения опыта - отложения в памяти - являются относительно достоверными отображениями всякой вещи мира, внешней по отношению к запоминающему. Скорее всего, они представляют собой химические следы нейронной активности, вызываемой действиями восприятия мира. Для рассматриваемой нами проблемы важно и то, что сами по себе такие следы способны служить первичным материалом опыта:

Для нас подобное рассуждение служит моделью реализуемости схемы, и на основании его мы можем определить следующее:

Наш мозг использует в качестве базисных данных рефлексии отображения нашего предыдущего опыта, и как мы категоризуем зрительные ощущения чашеподобных вещей в категорию "чаш", то также мы категоризуем и картины действий, таких как направленное движение, наделенное синхронизированным стандартным объявлением, в категорию счета.

Огл. Примеры формирования схемы

Пример хорошо изученной схемы действия представляет собой детский способ, или распределенное вычисление, раздавать справедливые доли (Миллер, 1984; Дэвис и Пикетли, 1990; Дэвис и Хантинг, 1990; Дэвис и Пеппер, 1992). Это способ действия, посредством которого дети во многих, если не во всех культурах, могут осуществлять раздачу справедливых долей, но который они, если им исполнилось всего лишь по 4-5 лет, обычно не усваивают как схему 1-го порядка. Однако взросление до 8-ми летнего возраста вводит в их привычку отношение к такому оперированию как к "такому же, как и при игре в карты". Последнее, как мы полагаем, говорит о том, что они уже способны концептуально категоризовать различные схемы действия, и, с такой помощью, выделять схему оперирования 1-го порядка.

Пример формирования схемы высокого порядка можно показать на образце мышления учащейся Стефани, описанном Махер и Спейсер (1997). Каролин Махер из Университета Рутгерс и ее коллега Роберт Спейсер из Бригхамского молодежного университета представили превосходную серию примеров, в которых описано поведение Стефани, юной учащейся старших классов. Она нашла формулу вычисления биноминальных коэффициентов, сведя эту проблему только лишь к подсчету элементов башенок, - к той самой проблеме, которую она, в числе своих сверстников, изучала в начальной школе.

В 1989 года Махер и ее коллега Аль Мартино начали работу с небольшой группой первоклассников, поощряя детей изучать и объяснять присущие им отличия в мышлении, используемом ими для решения проблем. Стефани входила в группу и в 4-ом классе она работала над проблемой: какое количество башенок фиксированной высоты можно построить из блоков всего лишь двух цветов? (Махер и Мартино; 1996, 1997) В конце 1995 года, по странному совпадению, как раз вслед за кончиной Ричарда Скемпа, Стефани перешла в другую школу и училась в 8-м классе. Махер и Спейсер работали со Стефани на предмет получения от нее объяснений математических проблем, относившихся теперь к области алгебры. Стефани вычисляла биноминальные коэффициенты выражений (a+b)² и (a+b)³. Один из исследователей спрашивал ее о таких значениях для (a+b)³, и Стефани ответила: "Здесь есть a в кубе. … И здесь есть три a в квадрате перемноженных на b, и здесь есть три a перемноженных на b в квадрате, и b в кубе". И затем она спросила: "Это одно и то же?" Исследователь спросил, что она имеет в виду, и Стефани ответила: "Как башенки".

Справедливо отметить, что исследователи удивились таким внезапным, необъяснимым появлением башенок в алгебраической задаче. Стефани не использовала башенки в расчетных задачах со времени учебы в начальной школе. Догадка Махер и Спейсера говорила о том, что Стефани визуализировала башенки высотой 3 элемента в порядке, позволяющем воспроизводить степенной ряд aⁱb^j для переменных a и b. Они нашли подтверждение своей догадки в дальнейшем, получив от Стефани такой ответ о порядке выражения (a+b)³: "Я не хотела думать об a. Я хотела думать о красном". На этом же самом занятии Стефани спросила: "Что такое b в квадрате?", и затем ответила: "Ага. Два желтых".

Как представляется, Стефани интерпретировала переменные a и b в выражении (a+b)³ как цвета элементов башенок - красных или желтых - и число "3" как высоту башни из красных и желтых элементов. Она могла затем группировать эти башенки, откуда получала необходимую величину красных (и, то же самое, желтых) блоков. Это происходило потому, что, по ее интерпретации, порядок красного и желтого в составе башенок не имел значения: башенки имели смысл производных a и b так же, как отдельные красные и желтые блоки замещали отдельные a и b.

Образы способны стимулировать математическое мышление, когда образные представления изменяют загрузку рабочей памяти. Это и происходило со Стефани, когда она формировала образы выражения (a+b)³ как последовательности башенок красного и желтого цвета. Образы далеко не лежали мертвым грузом, заполняя рабочую память несоответствующими деталями, а действовали как приводные ремни ее мысли, давая ей значительное ускорение и способ легкого нахождения ответа в некоторых сложных счетных задачах.

Двумя неделями позже описанного выше эпизода другой исследователь, ранее не проводивший этого эксперимента, попросил Стефани дать такое же объяснение биноминальным коэффициентам и башенкам. Стефани, описала, прибегая к живым деталям, как у нее возникло подобное объяснение, воспроизведя эпизоды учебы в 4-м классе, в котором она с двумя своими одноклассниками изображали, как построить башенки данной высоты из таких же другой высоты. Стефани могла писать рекурсивные формулы биноминальных коэффициентов, используя запомненные образы башенок из блоков.

То, что Стефани сформировала схему первого порядка концептуальной категоризации схем действия посредством образа сложения блоков, выяснилось еще в ходе первого ее опроса. При первом ее интервью, как представляется, не было установлено, что она точно таким же образом схематизировала и схемы действия расширения возможностей для суммы двух значений. Однако у Стефани проскользнула реплика: "Это одно и то же?" и "Как и башенки" в ее объяснении собственных алгебраических вычислений. Это позволяет нам предположить, что она, по аналогии, сформировала схему первого порядка и для биноминальных выражений. Когда же, двумя неделями позже, она, посредством соотнесения со сложением башенок, сумела записать рекуррентное отношение биноминальных коэффициентов, мы предположили, что Стефани способна ясно выразить, что она по существу видит тот же самый происходящий процесс и в двух данных схемах первого порядка. Другими словами, она смогла сформировать схему концептуальной категоризации 2-го порядка через концептуальную категоризацию схемы первого порядка.

Огл. Схемы и символы

Операции арифметического представления действительности записываются посредством знаков. Подобные знаки допускают немедленно не проявляющийся тонкий способ сжатия. Для множества учащихся знаки представляют собой простые индикаторы, например, обозначение "2+3" показывает многим учащимся, что всего лишь происходит действие, в то же время когда для других это же обозначение функционирует в роли символа. Для последней группы учащихся существует и символическое отношение с другими знаками и гибкая интерпретация рамок соответствия знакам. Это сочетание настолько существенно, что Грей и Талл (1994) ввели для него специальное понятие просепт (procept). Стифф (1988) писал о символах следующее:

В ответе на вопрос, ссылается ли его использование слова "символы" на конвенциональные математические обозначения, или существовала ли более глубокая интерпретация, согласно которой символы фиксировали процесс взаимодействия между студентами и преподавателями, Стифф (индивидуальная коммуникация) ответил:

Критически важный для развития математических схем принцип, что операции представляют собой внешнюю осознаваемую осведомленность, предшествующую умственному "подходящему положению" или символу, разработан с учетом возможности мысленного выполнения операций. Для него подобные символы следует рассматривать как схемы первого уровня: не только потому, что сами возможности подобных операций простираются, как говорит Стифф, но потому, что эти операции направляются на то, что превращается в мысленный объект - схему первого порядка.

Когда Боб Спейсер рассказал на Конференции по психологии математического образования в Лахти об использованной Стефани схеме мысленного представления биноминальных коэффициентов, мы удивились тому, в какой же степени была сильна у нее связь между башенками и биноминальными коэффициентами. Мы спросили его, а что могло бы быть, если Стефани оценивала бы более сложную ситуацию, например (a+b+c)ⁿ, в понятиях башенок из тех цветов. Он подтвердил, что она и эти представления строила тем же образом; при более длинных выражениях Стефани умела фиксировать рекурсивные определения результатов вычислений любого числа переменных a, b, c, d , … пользуясь образами башенок с элементами с числом цветов, равных числу переменных.

Для учащегося 8-го класса это представляет собой довольно значимое достижение, иллюстрирующее удивительную творческую потенциальность ярких образов, образующих сильную связь с осмысляемой проблемой. Сложно представленная символика: (a+b)ⁿ = сумме значений C(p,q)a^pb^q где p + q = n, и C(p+1, q+1) = C(p, q) + C(p, q+1) при C(n, 0) = 1 и C(n, n) = 1 вряд ли сможет быть осмыслена ребенком, строящим свои модели посредством понятий о башенках с цветными элементами. Подобного рода знаки просто отражают рекурсивный способ строительства башенок. То же, что отождествлено со сложными математическими построениями, просто представляет собой фиксацию подобного рода рекурсивных отношений. Письменная математика - маркеры - это тот самый предмет, на чем концентрируется внимание многих учащихся. Они настолько привыкают работать именно с ними, что часто теряют из виду, какую же фундаментально простую идею подобные знаки собственно и выражают. Хуже, что единственное знакомое им понятие о соответствии подобных знаков относится лишь к индексной функции - условному указанию. Это и свидетельство о том, какое же большое число учащихся видят в математике лишь формулы: как нечто, над чем выполняются некие действия, такие как перестановка, замена, отмена или другие подобные операции. Вот во что обращаются знаки для тех учащихся, кто мыслит их как именно им самим выполняемые действия. И это все, с чем соотносится для них математическая символика. Те же учащиеся, кто способен к символическому пониманию математических символов, кроме того, способны выполнять действия подобные перестановке, замене и отмене. Однако, именно они способны и к более широкому их использованию. Они способны сосредоточиться и на других аспектах математического символизма, подобно Стефани, сосредоточившейся на рекурсивной формуле для биноминальных коэффициентов при помощи понятий рекурсивной процедуры строительства башенок из цветных элементов. Последнее представляет собой существенный элемент Пирсовского представления (см. Дикон, 1997) о иконографически-индексно-символической ирерархии. Способность применять некий уровень подобной иерархии подразумевает способность применения и более низкого уровня, но не наоборот. Эта картина совершенно иная, нежели игнорирование детьми, изучающими употребление математического метода символической записи, отношений знаков как с конкретными объектами, так и с процессом запоминания, - и говорящая о том, что в определенном контексте голое символическое представление может и не принести ожидаемой пользы. И действительно, оно, заполняя весь доступный объем памяти, может вносить туда известный беспорядок. Символические формулы полезны для программирования компьютеров или для вычисления биноминальных или мультиноминальных коэффициентов, но эти же математические символы служат и весьма компактным символическим выражением представляемых ими отношений. Отсюда учащийся, имеющий возможность прибегнуть к их символической интерпретации, может выбирать, мыслить ли ему в понятиях моделей, типа башенок из блоков, или нет, зная, что при необходимости ему в любой момент можно воспользоваться подобными средствами. Их мышление превращается в процептуальное (Грей и Талл, 1994), обретая благодаря этому повышенную гибкость и рациональность.

Это ведет к курьезной и критической ситуации, известной из схемы "курица и яйцо". Учащиеся могут и не уметь выстраивать ту схему, которую могут воспроизводить, но недостаток их осведомленности в характере используемых в данной процедуре операций тормозит их способность обсуждать основанные на данном знании следующие процедуры. Рассказ преподавателя о подобной процедуре оказывается недостаточен для формирования схемы, поскольку многие учащиеся недостаточно осведомлены в операциях, образующих процедуру, на чем строит свой рассказ учитель. Они не располагают никакой символической основой для соотнесения слов учителя. Даже повторение не гарантирует успеха обучения, поскольку не существует потребности интерпретировать в процедуре то, что осуществляет ее на практике. Краткая формула данной дилеммы дана фон Глазенфельдом (1990), писавшим:

Но если продление разговора и повторение не обеспечивают образование схем, и студентам не остается ничего другого, кроме абстрагирования их на материале собственного опыта, то как они могут исходить от преподавателя? Множество учащихся в процессе счета и выполнения элементарных операций над числами, сосредотачивают свое внимание на том, что мы, как сторонние наблюдатели, признаем малозначимыми свойствами объектов, такими как, например, цвет или размер (Грей, 1991; Грей и Питта, 1996; Грей и Питта, 1997a, b; Грей, Питта, и Талл; 1997). Подобное сосредоточение внимания обязательно расходует рабочую область памяти учащегося на отображение деталей, не имеющих никакого отношения к формированию математических схем высшего порядка. Обычно же мы не обращаем внимания на то, какой цвет отличает стулья, на которые мы будем рассаживать пришедших, синий или красный. Подобное наполнение рабочей области памяти неважными деталями приносит два рода эффектов. Первое это существенное сокращение скорости мышления: таким учащимся удается рассматривать куда меньшее число объектов в сравнении с остальными, чье внимание не сосредоточено на таких отвлекающих деталях. Следовательно, у таких учащихся уменьшается и количество экземпляров объектов, пригодных для категоризации. Второе, каждая такая особенность сокращает свободную рабочую область памяти, которая иначе бы использовалась для формирования схем более высокого уровня. В результате такие учащиеся знакомятся как с меньшим количеством примеров, так и в каждом из них выделяют меньший объем полезного содержания. Рассмотрим, в частности, пример учащегося старших классов, вычисляющего значения выражений алгебраических квадратов сумм или разностей переменных. Примеры, подобные (a+b)², (c+d)², (e-f)², (s+3t)², (x-y+z)², учащийся может рассматривать как действия свободного порядка - то есть как несвязанные действия, не категоризуемые в статусе похожих экземпляров одного и того же явления. Наиболее очевидная цель упражнений, подобных тем, что учащиеся проходят при изучении курса алгебраических преобразований, и состоит в ознакомлении их с образцами различных алгебраических выражений и в привитии им практического навыка в части возведения в квадрат разностей и сумм. Если учащиеся продолжают фокусироваться на фактической символике, будь она суммой или разностью или коэффициентом "3", то они вряд ли способны усвоить ту категоризацию, о которой именно им и рассказывает учитель. Они, вместо формирования схем, застревают на уровне индивидуальных операций. Алгебра, в таком случае, превращается для таких учащихся в сложный предмет с множеством деталей и несвязанных вычислений. Что нужно учащемуся, чтобы прорваться через множество доступных ему чувственных данных? Ему нужно научиться фокусировать внимание на различных аспектах алгебраических выражений.

Огл. Схемы как умственные объекты

Восприятийная категоризация формирует наше чувствование прототипически обозначенных объектов мира. Нам присуща, благодаря восприятийной категоризации, способность обсуждения стула или стульев, не адресующегося к указаниям определенно укорененной вещи мира. Концепция "стула" представляет собой только умственную концепцию, а не присущую миру материальную вещь. Несмотря на все это, именно такое представление "стула" как объекта обеспечивает нам немалые удобства. У нас даже теряется возможность подсчета числа стульев, если мы не отождествим некоторые присущие миру вещи как "стулья". Другими словами, мы овеществляем наши концепции, выработанные в нас восприятийной категоризацией. Последнее должно заставить нас заподозрить, что концепция схемы, которую мы понимаем как категоризацию, основанную на схемах действия, также адресует нас к умственным объектам. Подобные умственные объекты основываются не на присущих миру вещах, как в случае восприятийной категоризации, но на присущих миру действиях.

Тезисы Дорфлера (1993) подвергают сомнению природу математических объектов. Он утверждает:

Последнее, однако, исключает существование точки категоризации. Где это в нашем сознании просматривается объект "стул"? Как заявляет Дорфлер, мы способны видеть образы определенных стульев, и даже способны формировать представление о стульях, которые мы никогда не видели. Дело в том, что "стул" является именем категории, с которой мы соглашаемся соотносить определенные присутствующие в мире объекты. В таком качестве он приобретает объектный статус: это умственный объект, концепция, обозначающая восприятийную категоризацию. Подобно нему, слово "деятельность" соотносится с категорией свойственных миру действий, и в таком качестве представляет собой умственный объект, следующий из концептуальной категоризации.

Огл. Восприятийная, социальная и концептуальная категоризация

Восприятийная категоризация является, как уже отмечалось, не только общей чертой разных народов, но и общей же чертой разных видов животных. Социальная категоризация - это довольно распространенное свойство млекопитающих животных. Подобная форма категоризации экземплифицируется посредством синдрома "мы и они": деление группы пополам на основе найденных восприятием отличий, таких как цвет кожи, произношение, поведение, речь, и, на деле, практически любое воспринимаемое отличие (Харрис, 1998). Подобные типы категоризации настолько общи, почти обязательно проявляемы в человеческом обществе, что мы часто рассматриваем их как нечто большее, чем умственные модели и используем их для обозначения существенных различий, относящихся уже ко всему миру феноменов.

Почему же тогда тот тип категоризации, который мы назначаем в качестве основания принципа схемы, отпугивает индивидуума сложностью его установления? Почему он требует сложного аппарата культурной преемственности - школ, учителей и учебников, не говоря уже о психологах, и ученых, изучающих проблемы математического образования? Ответ, как можно предположить, кроется в повседневной природе восприятийной и концептуальной категоризации. Восприятийная категоризация жизненно важна животным, постоянно занятым поиском пропитания, убежища и полового партнера в потенциально опасном мире. Социальная категоризация неизбежна среди людей, наделенных первичной социальной враждебностью (Харрис, 1998). Концептуальная категоризация, как можно было бы думать, появляется как возможность, и не более чем возможность, в силу развития языка. Однако, новизна, с эволюционной точки зрения, концептуального развития не способна создать причину, в силу которой концептуальная категоризация, по крайней мере, в области математического знания, обретала бы столь существенную трудность.

Как представляется на основании эмпирического опыта, более существенной причиной трудностей, наблюдаемых нами в математическом приложении принципа схемы, оказывается общая неосведомленность людей в предмете схем действия. Под "неосведомленностью" мы понимаем неумение сочетать сами схемы действия при умении строить сочетания только лишь их результатов. На эту же, названную нами, неосведомленность о предмете схем действия указывает и Стифф. Существование подобного недостатка должно ясно говорить о том, что мы встречаем трудности в категоризации схем действия: мы не понимаем их как схемы. Вместо этого мы пользуемся представлением о результатах использования схем: вычисленные значения, результаты последовательного счета, алгебраические выражения. В какой мере все это связано с нашей способностью к познанию, неизвестно. Однако сама возможность того, что все это имеет место, создает существенные препятствия для категоризации схем действия. Как отметил по другому поводу Стифф, это подчеркивает значимость роли учителя математики в оказании помощи учащимся при овладении ими артикулированием собственных схем действия в части числа, пространства и расположения - базисных элементов математического опыта.

Вопрос о том, почему же у человека отсутствует прямой порядок реализации собственной осведомленности в части схем действия, приобретает в силу этого весьма важное для изучения способности получения математического знания значение. Наиболее простым ответом здесь может стать то, что строение мозга не предполагает совпадения моторного и языкового центров. Невролог Рамачандран (1998) интерпретировал проблему размещения действий в словесные модели как проблему трансляции. Как он писал:

Эффект трансляционного барьера особенно отчетливо проявляется у взрослых, страдающих повреждением правого полушария или нарушением связи между полушариями. Такое случается, к примеру, тогда, когда повреждается или уменьшается corpus callosum, мост, соединяющий два полушария (такое может произойти при некоторых видах эпилепсии). Применимо ли данное объяснение к трудностям, с которыми сталкиваются дети младшего возраста в своих попытках артикулировать схемы действия? Возможно, но лишь в тех случаях, когда и ребенок страдает той же самой болезнью нарушения связи полушарий. Но известен факт, что corpus callosum плохо развит в детском возрасте, нервные волокна, соединяющие полушария, еще слабо миелинизированы, что мешает нервным импульсам у детей так же хорошо проходить между полушариями, как это свойственно взрослым и детям более старшего возраста (Джозеф, 1993, с. 353 и далее). Данную гипотезу можно еще использовать для объяснения относительной неспособности детей младшего возраста артикулировать осведомленность в используемых ими схемах действия, но такое толкование непригодно для объяснения той же самой неспособности у молодых взрослых и детей старшего возраста. Нет ничего необычного в том, что даже в отношении математики университетского уровня, для студентов, умеющих использовать преподаваемые методы - такие, как решение систем линейных уравнений посредством Гауссова исключения, - характерна полная неспособность к артикуляции процесса выполнения процедуры. Часто большее, на что они способны, это попросить дать им следующий пример для вычисления.

Другой ключ к объяснению относительной трудности артикуляции схем действия можно найти в работе Ульмана с соавт. (1997) о затруднении речевой функции, присущей больным с болезнью Альцгеймера с одной стороны, и больным с болезнью Хантингтона и Паркинсона, с другой. Их работа говорит о том, что запоминание слов происходит в областях мозга, осуществляющих декларативную память - память на факты и события. Эти области находятся в височной и париетальной зонах неокортекса. С другой стороны, предполагается, что выполнение правил грамматики обеспечивает та же область мозга, что управляет и процедурной памятью, базальная ганглия, вовлеченная также и в управление моторной активностью. То, что процедурная и декларативная память относятся к двум различным областям мозга, внушает нам определенные подозрения. В области математики, по крайней мере, для зоны, выделенной под декларативную память, могут возникнуть трудности - недостаточное развитие механизмов для ее использования в качестве базисного материала активности другой области, ответственной за процедурную память. В таком случае более очевидна роль преподавателя: он служит внешним каналом, способствующим формированию декларативной памяти из сырья содержимого процедурной памяти.

В свете этого вновь следует посмотреть на категоризацию Стефани, ребенка, показавшего способность строить небанальные категоризации высшего порядка. Первое, Стефани обладала мотивацией на математический поиск причинности вещей (Махер и Спенсер, 1997). Именно последнее оказалось важнейшей причиной сосредоточения Каролин Махер и Боба Спейсера именно на Стефани. Однако если справедлив сформулированный нами тезис о необходимости экстернализации процедурной памяти для того, чтобы она трансформировалась в декларативную, то и Стефани должна испытать некое внешнее влияние на формирование той части ее декларативной памяти, где отобразилось выстраивание башенок. Испытала ли она подобное влияние? Да, так и оказалось в действительности: Махер и Спейсер описали занятия Стефани в период ее обучения в начальной школе, когда она складывала башенки вместе с другими детьми и подбирала аргументы и объясняла эти действия. Контрагентом Стефани в таком случае оказалась группа ее одноклассников, не обязательно вместе с ней складывавших башенки, но, безусловно, совместно выбиравших нужные аргументы. Что можно сказать о выработанной Стефани 2-х порядковой категоризации, связывающей для нее существенные детали перекладываемых башенок и биноминальные и мультиноминальные теоремы? Записи интервью позволяют заподозрить, что ее контрагентом в операции утилизации процедурной памяти в декларативную оказалась именно сама пара интервьюеров. Их вопросы как раз и помогли Стефани обратить свою процедурную память в объекты рефлексии, создавшие для нее материал декларативной памяти.

Решающим условием создания высокоуровненвых схем, следовательно, может оказаться только лишь соответствующий контрагент, способный экстернализовать и, сознательно или бессознательно, так утилизировать процедурную память, чтобы ребенок смог образовать с подобной помощью материал декларативной памяти. Причина этого, как мы предполагаем, кроется в том, что париетальному и темпоральному неокортексу свойственно, для случая детей и взрослых людей молодого возраста несколько механизмов использования запоминающей активности базальной ганглии как исходного материала для формирования нового материала декларативной памяти. Последнее может произойти с помощью того, что некоторому контрагенту удастся экстернализовать хранящиеся в базальной ганглии материалы памяти на моторную активность и выкристаллизовать ее таким, отвечающим нормам париетального и темпорального неокортекса образом, чтобы реализовать ее как материал декларативной памяти.

Огл. Связь с APOS-теорией

Дубински и его сотрудники (Дубински, 1996; Коттрил с соавт., 1992) предложили концепцию, названную ими Действие-Процесс-Объект-Схема (Action-Process-Object-Schema), в которой свойство схемы представляет собой конечный результат процесса структуризации. Согласно принципам APOS, действие представляет собой физическую или умственную трансформацию объектов для получения других объектов. Процесс выкристаллизовывается из действия в таком случае, когда человек проявляет способность отображать и вводить сознательный контроль действий. Процесс обретается как объект в таком случае, если "индивид обретает осведомленность о всеобщности процесса, осознает, что преобразования способны обеспечить некий результат, и способен планировать такие преобразования" (Коттрил с соавт., 1992). Схемы интегрируются в данную теорию как структурные организации действий, процессов и объектов.

Мы предполагаем, что подобного рода "структурная организация" образуется посредством концептуальной категоризации в смысле Эдельмана (1989). Важным, с нашей точки зрения, является тот момент, что должен постулироваться соответствующий механизм, облегчающий центральную для APOS-теории структурную организацию. В соответствии с выраженным Скемпом пониманием, подчеркивающим мозговую активность и мозговые модели математического мышления, мы предполагаем, что процесс концептуальной категоризации как раз и обеспечивается подобным механизмом. Скемп исследовал связи между категоризацией и схемой в областях интеллекта, обучения и действия: и, на самом деле, он оценил их как практически синонимические. Единственное дополнение, которое мы хотели бы высказать в связи с предложенным Скемпом упором на интеллектуальном, целесообразно управляемом действии (эти представления он разделил со многими другими исследователями в области математического образования), это то, что фокус принципа схемы в математике приходится на категоризацию, исходящую от схем действия.

Огл. Посвящение

Мы отдаем свой долг Ричарду Скемпу. Кроме его новаторских работ, касающихся предмета схемы, им начинается и отсчет времени истории моделирования математического мышления как вида мозговой активности. Скемп сосредотачивался на фундаментальных проблемах описания математического мышления как мозговой деятельности, и интеллекта как такового. Недавние достижения психологии и неврологии только украсили те принципы, которые он сумел с такой ясности объяснить. Он сформулировал определенные принципы связи между интеллектуальным человеческим действием и операциями нашего мозга, и представил исследования в области математического образования как способ развития моделей высокопорядкового интеллекта в целом. Как написала (в данном издании) Анна Сфард: "Скемп … прибыл на пустое поле и оставил его обогащенным столь великолепным сооружением". Как написал сам Скемп:

Этот благородный человек понимал человеческое бытие именно как интеллектуальную деятельность, способную отражать собственные действия и учиться на собственном опыте. И продвигаясь в данном направлении, он изучал модели функционирования мозга, позволяющие нам руководствоваться подобными принципами. Его обращение к моделированию мозга оказалось интеллектуально необходимой частью его поисков понимания того, что позволяет людям осмысливать свои собственные действия и каким-то образом использовать то понимание, которое они обнаруживают в себе. Мы всегда будем благодарны Ричарду Скемпу за этот новаторский поиск. Этот поиск заложил твердую почву под все более укрепляющееся в настоящее время представление о природе математического мозга, его отношении к математическому интеллекту и интеллекту в целом.

Выражаем признательность Лесли Скифу за обсуждение с ним его понимания символизма, Кас Пеарн за дискуссию на тему, почему же некоторая часть детей менее активна и менее наблюдательна и Каролин Махер за исправление некоторых наших ошибок.

перевод - А.Шухов, 12.2004 г.

Bartlett, F.C. (1932) Remembering. Cambridge: Cambridge University Press.
Cottrill, J., Dubinsky, E., Nichols, D., Schwingendorf, K., Thomas, K. & Vidakovic, D. (1996). Understanding the limit concept: beginning with a coordinated process schema. Journal of Mathematical Behavior, 15. 167-192.
Davis, G.E. & Hunting, R.P. (1990) Spontaneous partitioning: pre-schoolers and discrete items. Educational Studies in Mathematics, 21,367-374.
Davis, G. and Pepper, K.(1992) Mathematical problem solving by pre-school children. Educational Studies in Mathematics, 23, 397-415.
Davis, G. and Pitkethly, A.(1990) Cognitive aspects of sharing. Journal for Research in Mathematics Education, 21(2), 145-153.
Davis, R. B. (1984). Learning Mathematics: The Cognitive Science Approach to Mathematics Education. Norwood, NJ: Ablex.
Deacon, T (1997) The Symbolic Species. The co-evolution of language and the human brain. London: Penguin.
Dцrfler, W. (1993). Fluency in a discourse or manipulation of mental objects? Proceedings of PME 17, Tsukuba, Japan, II, 145-152.
Dubinsky, E. (1992). Reflective Abstraction in Advanced Mathematical Thinking. In D. Tall (Ed.) Advanced Mathematical Thinking, Kluwer: Dordrecht, pp. 95-126.
Edelman, G. M.(1989) Neural Darwinism: The Theory of Neuronal Group Selection. New York: Basic Books.
Edelman, G. M. (1992) Bright Air, Brilliant Fire. New York: Basic Books.
Gray, E. M. (1991) An analysis of diverging approaches to simple arithmetic: Preference and its consequences. Educational Studies in Mathematics, 22(6) 551 - 574.
Gray. E. & Pitta, D. (1996) Number Processing: Qualitative differences in thinking and the role of imagery. In L. Puig and A Guitiйrrez (Eds.), Proceedings of 20th International Conference for the Psychology of Mathematics Education, Vol.IV, 155­162.
Gray, E. & Pitta, D. (1997a). In the Mind…What can imagery tell us about success and failure in arithmetic? In G.A. Makrides (Ed.), Proceedings of the First Mediterranean Conference on Mathematics, 29­41. Nicosia: Cyprus.
Gray, E. & Pitta, D. (1997b) Evaluating children’s mental structures in elementary arithmetic. In M. Hejeny and J. Novotnб (Eds.), Proceedings of the Third International Symposium on Elementary Math Teaching.
Gray, E., Pitta, D. & Tall, D.O. (1997). The nature of the object as an integral component of Numerical processes. In E. Pehkonen (Ed.), Proceedings of 21st International Conference for the Psychology of Mathematics Education, Vol.1, 115­130. Lahti: Finland.
Gray, E. M. & Tall, D. O. (1994). Duality, Ambiguity and Flexibility: A Proceptual View of Simple Arithmetic, Journalfor Research in Mathematics Education, 26 2, 115-141.
Harris, J.R. (1998) The Nurture Assumption. Why Children Turn Out the Way They Do. New York: The Free Press, Simon & Schuster.
Joseph, R. (1993) The Naked Neuron. Evolution and the Languages of the Body and the Brain. New York: Plenum.
Maher, C. A. & Martino, A. M. (1996). The development of the idea of proof. A five-year case study. Journal for Research in Mathematics Education, 27(2), 194-219.
Maher, C. A. & Martino, A. M. (1997). Conditions for conceptual change: From Pattern recognition to theory posing. In H. Mansfield & N. H. Pateman (Eds.), Young children and mathematics: Concepts and their representations. Sydney, Australia: Australian Association of Mathematics Teachers.
Maher, C.A. & Speiser, R. (1997) How far can you go with tower blocks?. In E. Pehkonen (Ed.), Proceedings of the 21st conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, vol. 4, pp. 174-181. Helsinki: University of Helsinki.
Miller, K. (1984) Child as the measurer of all things: Measurement procedures and the developmet of quantitative concepts. In C. Sophian (Ed.) Origins of Cognitive Skills. Hillsdale NJ: Erlabaum.
Minsky, M. L. (1975) A framework for representing knowledge. In P.H. Winston (Ed.), The Psychology of Computer Vision, pp. 211-277. New York: McGraw Hill.
Oldfield, R.C. & Zangwill, O.L. (1942a) Head’s concept of the schema and its application in contemporary British psychology. British Journal of Psychology, 32, 267-86.
Oldfield, R.C. & Zangwill, O.L. (1942b) Head’s concept of the schema and its application in contemporary British psychology. British Journal of Psychology, 33, 58-64.
Oldfield, R.C. & Zangwill, O.L. (1943) Head’s concept of the schema and its application in contemporary British psychology. British Journal of Psychology, 33, 143-149.
Ramachandran, V.S. (1998) Phantoms in the Brain. London: Fourth Estate.
Rumelhart, D. E. (1975) Notes on a schema for stories. In D.G. Bobrow & A. Collins (Eds.), Representation and Understanding, pp. 211-236. New York: Academic Press.
Schank, R.C. (1975) Conceptual Information Processing. Amsterdam: North Holland.
Skermp, R.R. (1962) The need for a schematic learning theory. British Journal of Educational Psychology, 32, 133-142.
Skemp, R. R. (1971) The Psychology of Mathematics Learning. Middlesex, England: Penguin.
Skemp, R. R. (1979) Intelligence, Learning and Action. Chichester: Wiley.
Skemp, R. R. (1986) The Psychology of Learning Mathematics. Second Edition. Middlesex, England: Penguin.
Steffe, L.P. (1983) Children’s algorithms as schemes. Educational Studies in Mathematics, 14, 109-125.
Steffe, L.P. (1988) Children’s construction of number sequences and mutliplying schemes. In J. Hiebert & M. Behr (Eds.) Number Concepts and Operations in the Middle Grades, Volume 2, pp. 119-140. Reston, VA: The National Council of Teachers of Mathematics.
Steffe, L.P., von Glasersfeld, E., Richards, J. & Cobb, P. (1983) Children’s Counting Types: Philosophy, Theory and Application. New York: Praeger.
Steffe, L.P. Cobb, P. and von Glasersfeld, E. (1988) Construction of Arithmetical Meanings and Strategies. New York: Springer Verlag.
Ullman, M.T., Corkin, S., Coppola, M. Hickok, G., Growdon, J. H., Koroschetz, W. J. and Pinker, S. (1997) A neural dissociation within language: Evidence that the mental dictionary is part of declarative memory, and that grammatical rules are processed by the procedural system. Journal of Cognitive Neuroscience, 9(2), 266-276.
von Glasersfeld, E. (1981) An attentional model for the construction of units and number. Journal for Research in Mathematics Education, 12(2), 33-??
von Glasersfeld, E. (1990) Environment and communication. In L.P. Steffe and T. Wood (Eds.) Transforming Children’s Mathematics Education: International Perspectives. New Jersey: Lawrence Erlbaum.