Вообразим себя читающими текст, по сложности содержания вряд ли выходящий за пределы тривиального нарратива, и лишь тем непохожий на другие подобные же тексты, что здесь каждому предложению указан номер предложения. Тем не менее, помимо нумерации предложений такой текст отличает и особенность в виде характерного заглавия «Аксиомы Пеано». Если углубиться в смысл этого текста, то можно узнать, что для собственно автора эта последовательность предложений и предполагала обращение вовсе не текстом, но нечто коллекцией указателей, определяющих своего рода «правила» распространенной практики комбинационной (комбинирующей, комбинаторной) деятельности, обозначаемой посредством имени ее системного и группового начала натуральный ряд чисел. Далее сообщаемые данным текстом «указатели», а именно изложенные там утверждения, также предполагали осознание не как само собой значимые, но уже как наделенные известной ценностью именно в силу существенности функционала собственно и определяемых ими производных, непосредственно и составляющих собой ряд последствий, задаваемых этими утверждениями.

Как бы то ни было, но если проявить настойчивость, и не отказаться от возможности понимания означенного текста в отрыве от признаваемой за ним большинством читателей существенной специфики, то он явно позволит признание и тем же просто «повествованием». И здесь мы, хотя и признавая правомерность квалификации такого текста как нечто выходящего «за рамки» повествования, и позволим себе определение, что и текст под именем «Аксиомы Пеано» также, в одном ряду с любыми другими текстами, позволяет понимание системой, группой, комбинацией некоторых употребляемых автором понятий. Иными словами и текст по имени «Аксиомы Пеано» также позволяет определение в качестве комплекса понятий, организованных посредством наложения на первичные вербальные понятия и понятий о специфике организации понятий, например, синтаксиса. Во всяком случае, именно подобная специфика и отличает любой текст на условии непременного обозначения им прямо выраженных смыслов, а не смыслов, принадлежащих той смысловой форме, что и предполагает образование по условиям совместной проекции разных комплексов смыслов, что и имеет место в случае тропов. Или, если допустить использование специальной «формулы», то и «герменевтической характеристикой» всякого текста собственно «в качестве текста» и следует понимать возможность такого синтеза ассоциации, что и предполагает воспроизводство не более чем по условиям явно сообщаемого текстом содержания. Таким образом, сколь далеко идущая моделирующая функция не возлагалась бы на подобного рода прямо построенный текст, на уровне собственно и составляющего такой текст комплекса содержания он все же сохраняет специфику текстуально организованного нарратива или комплекса содержания, позволяющего приложение к нему приемов словарного анализа используемых понятий.

Отсюда и задачей следующего ниже анализа мы и определим задачу раскрытия существа понятийной структуры, заключенной в тексте по имени «Аксиомы Пеано», где способом решения подобной задачи и следует понимать отождествление содержания исходного «сочинения» как завершенного и не предполагающего продолжение в какие-либо «последующие» проекции. То есть этим мы и позволим себе подчеркнуть, что в предстоящем ниже анализе мы и признаем возможным наделение «Аксиом Пеано» спецификой формы насколько только возможно элементарной герменевтики.

Огл. Истоки условной «возможности аксиоматизации» математики

Математические аксиомы вряд ли предполагают понимание именно продуктом внезапного «озарения» или «откровения», но явно допускают понимание комплексом содержания, располагающим и его собственной историей становления. Существом же «процесса становления» математической аксиоматизации и следует определять тенденцию последовательного становления опыта теоретизации, в свою очередь, обобщающего процесс накопления опыта тех же практического, интуитивного или слабо рационализированного приемов вычисления. Однако и любая рождающаяся в человеческом познании теория, что не составляло бы собой предмет подобной теории, и какие бы не избирай она способы обобщения, продолжает сохранять за собой специфику того инструмента человеческой абстракции, что и допускает обретение непременно посредством доступных человеку способов манипулирования возникающими в его сознании представлениями и пониманием. Сами же собой человеческие представления и человеческое понимание явно ограничены в части отличающей их природы именно спецификой продуктов некоего достаточно продвинутого усовершенствования биологической потребности в выделении стимуляции, собственно и обозначающей в глазах биологической особи условие действительности мира. Именно в силу нашей приверженности подобному пониманию мы и сформулируем здесь, в форме некоторого набора тезисов некое обобщенное представление, собственно и отражающее наше понимание действительности комплекса средств, представляющих биологически состоявшемуся существу важную для него возможность построения модели математической абстракции. Тогда и следует начать тем, что

1. Аксиомы математики, поскольку человек не располагает никакой иной возможностью построения другого рода средств интерпретации, и допускают построение исключительно посредством категориального обобщения (или, положим, если такое необходимо, феноменологического обособления) чувственного опыта, то есть посредством некоей картины физических событий.

Высказанный нами тезис непременно предполагает и следующее пояснение: человек явно лишен возможности выбора каких-либо иных инструментов и воссоздания изображения и реализации воображения, что не восходили бы к порядку разложения «было - стало», исключительно и наследующих его способности контакта с физической действительностью. Если это так, то и аксиомы математики допускают единственную возможность выражения посредством принципов, отражающих порядок событийной организации действительности. Тогда -

2. Отсюда для нас уже явно отсутствует любая возможность пренебрежения принципом: событие определенно не предполагает фиксации в настоящем времени, то есть посредством свидетельства о протекании, только лишь вероятно ведущим к его становлению в качестве завершенного события.

Данный тезис также нуждается в пояснении: если имел место факт завершения события «суп сварен», то даже если суп был оставлен на огне, это не имеет никакого отношения к собственно факту выделения момента времени, на который состояние супа и определялось как «сварен». Если же подобное состояние не предполагало установления, то не имело места и завершение события под именем «варка супа». Если предложенная в нашем втором тезисе дифференциация возможна, тогда -

3. Формулы, выражающие собой положение в мире, необходимое для построения аксиом математики, в случае отсылки к картине событий и будут допускать признание корректными лишь в случае, если в качестве средств идентификации событий и будут избраны следующие маркеры: f - завершившихся событий и c - продолжающихся. Если описания событий, используемых при построении аксиом математики, не соответствуют этим требованиям, то подобные описания будут предполагать признание бессмысленными.

Далее, поскольку, практически без приложения особенных усилий мы уже преуспели в задании метакатегорий «f-событие» и «c-событие» притом, что естественный язык странным образом небрежен в его функции различения категорий чувственного опыта и определяющих их метакатегорий, тогда -

4. В предельном случае любые метакатегории и следует признать нуждающимися в детализации до уровня схем простых событий чувственного опыта, что также справедливо и для случая построения аксиом математики. Отсюда и сами собой аксиомы математики, если они и позволяют отождествление как достигающие своего рода «предела простоты» семантики, не будут позволять описание в метакатегориях, поскольку последние не допускают в смысле их отношения к чувственному опыту представления на положении простых ссылок.

Однако далее в настоящем рассуждении мы все же позволим себе построение не подлинно «предельных», но неких «предпредельных» формул передачи содержания, заключенного в «Аксиомах Пеано», для выражения которых и прибегнем к применению таких средств, как метакатегории «f-событие» и «c-событие».

Огл. Доведение «Аксиом Пеано» до уровня должной «глубины» ссылки

Итак, теперь мы и приступаем к рассмотрению содержания текста, озаглавленного словами «Аксиомы Пеано». Но данный текст мы все используем в авторской, а не в современной формулировке и именно в силу следующей причины: не только в силу приверженности принципу «авторства» идеи, но и в силу последствий, приносимых последующей заменой в первой аксиоме утверждения «ноль есть число» утверждением «один есть число». Такую замену мы и склонны понимать как подрывающую саму идею «внечисленного» начала подобного рода схем построения аксиом. Тогда нам и следует обратиться к представлению текста интересующих нас «аксиом» в предложенной их автором формулировке:

1. «0 есть число»;

2. «Последующий элемент каждого числа есть число»;

3. «Никакие два числа не имеют одного и того же последующего элемента»;

4. «0 не является последующим элементом ни для какого числа»;

5. «Любое свойство, которое принадлежит 0, а также последующему элементу каждого числа, имеющему это свойство, принадлежит всем числам». (Из: Б. Рассел, «Введение в математическую философию», Новосибирск, 2007 г., с. 74)

Здесь и следует начать тем, что собственно чувственный опыт человека не знает ни понятия «ноль», ни понятия «натуральное число» (у Пеано – «число»). Таким образом, согласно отличающему нас пониманию предмета семантики, обозначенные в данном тексте условности и предполагают определение именно как допускающие представление посредством того набора возможных «f-событий» и «c-событий», благодаря чему мышление и открывает для себя те же непременно сложные для простого функционала чувственного опыта представления «ноль» и «число». И, в нашем понимании, такую конверсию и следует определять как непременное условие всякого анализа предмета содержательного наполнения текста, озаглавленного как «Аксиомы Пеано» в «логике Пеано».

Однако прежде, чем предпринять подобную попытку конверсии, нам все же следует предложить решение и другой существенной здесь проблемы. Условность некоторой формы связи двух элементов, собственно и предполагающей обозначение посредством собственного имени «последующий элемент», не может не наводить на мысль и о возможности отождествления самого содержания подобной зависимости именно посредством некоторой сущности. Причем, следует обратить внимание, что посредством употребления понятия «последующий элемент» такого рода сущность и предполагает упоминание в четырех из пяти составляющих данный текст высказываний, причем именно упоминание, сводящееся к определению связей данной сущности, преследующее цель собственно определения специфики этой же сущности. Или, другими словами, сущность, закодированную в интересующем нас тексте посредством имени «последующий элемент» непосредственно и следует определять как доминанту данного текста. В таком случае и нашим решением, принятым взамен условно первоначально «ожидаемого» решения, именно и состоящего в последовательном рассмотрении содержания текста «Аксиом Пеано», и будет избрано другое решение - рассмотрение предмета широко используемой в тексте «аксиом» сущности, а именно – системы отношений очереди.

«Система отношений» очереди, если в ее анализе тем или иным образом «следовать за» Пеано, и позволит ее образование исходя из того, что -

(1) средством отождествления отсутствия очереди следует понимать одно из понятий, описывающих «явление очереди», а именно, понятие «не существования» очереди.

То есть наше рассуждение и будет основано на том, что нам дана некая условность, понимаемая нами как «очередь» и определяемая как доминанта, откуда уже с позиций ее доминирования как системообразующего представления мы и предпримем попытку оценки любых важных для нас возможности или запрета. Если это так, то -

(2) мы определяем, что построение очереди исключает обращение построением метаочереди, то есть всякое построение очереди никоим образом не позволяет выхода за пределы собственно специфики «очереди».

Далее в нашем «следовании за» Пеано возможно предложение утверждения -

(3) по имени «принцип уникальности»: очередь не предполагает дублирования и отсюда каждую особенную формацию «чередования» очереди и отличает уникальная специфика представления ею неразнообразной ссылки на «простейшим образом более простую» формацию.

Предлагаемая нами редакция пункта (3) также предполагает и некоторое пояснение – первое, что мы предпочли учесть при формулировке данного утверждения, это необходимость определенных подстановок, собственно и предполагающих отказ от использования понятия «2», чьим «инверсным» заместителем мы и склонны понимать условие «неразнообразия». Второе – мы также склонны следовать и нашей оценке употребляемого Пеано понятия «последование», понимая его неопределенным и подлежащим замене другой сущностью, включенной в наше высказывание в виде понятия «ссылка на». И третье – мы посредством понятия «ссылки на ‘простейшим образом более простую’ формацию» вводим в наше построение и конструкцию «элементарное различие» именно в качестве конструкции безальтернативного порядка следования. Пункт (4), здесь сохраняется нумерация Пеано, мы позволим себе пропустить, поскольку предложенная выше формулировка пункта (1) уже не требует дополнения в том отношении, какого определенного конкретного вида построением очереди и следует определять несуществование очереди. Определяемый непосредственно Пеано пункт -

(5) и следует понимать не более чем пояснением нашего пункта (2). То есть, для всего, что представляет собой очередь, включая и допущение, что очередью следует определять и несуществование очереди, вводится единая система характеристик (или признаков), в своей полноте раскрывающаяся уже при соотнесении между «несуществованием очереди» и очередью, ссылающейся на это несуществование как на «простейшим образом более простую» формацию.

Построенные нами «Аксиомы квазиПеано» мы и намерены использовать в целях сведения подобного производного представления исходного теста к набору (в составе структурированной комбинации) «f-событий» и «c-событий». Но чтобы обратить подобные предложенные нами утверждения в подобные комбинации, нам необходимо и образование некоего корпуса используемых понятий или «понятийной группировки».

Естественно, что начальной подгруппой подобной «группировки», как это и определяет п. (1) по нумерации Пеано, и следует понимать группу понятий «понятие, существование, подтверждение, отрицание и очередь». Далее, из объема содержания п. (2) мы позволим себе выделение понятия «построение» собственно в качестве понятия, редуцирующего понятие «очередь», а также и понятие «мета-», и еще и понятие «несобственно налагающегося структурирования» (метаочередь). Но здесь, поскольку мы уже выделили понятие «отрицания», то тогда у нас из объема содержания п. (2) и останется лишь возможность выделения понятий «построение» и «собственно», чем мы и ограничимся в отношении высказывания (2). В отношении п. (3) мы предпочтем начать с выделения понятия «не разнообразие». Данное понятие явным образом соответствует понятию «не несовпадение», представляя собой образец двойного отрицания. В таком случае возможно получение и еще одной позиции нашего словаря - «совпадения». Понятие «дублирование» из состава этого же п. (3) наделено значением не более чем пояснения, и потому и позволяет истолкование в качестве практически не связанного с основной формулировкой этого пункта и потому не подлежит рассмотрению. Также из объема содержания данного пункта мы понимаем не подлежащим рассмотрению и понятие «формации», чье употребление в данном контексте и следует понимать равнозначным употреблению «существования». Тогда остается еще одно понятие - «простое» и оно вместе с совпадением и пополняет наш словарь исходных понятий в итоге анализа п. (3). Выборку понятий из п. (5) мы позволим себе выполнить в отсутствие детального анализа, признавая тогда данное утверждение пополняющим наш словарь следующими четырьмя понятиями - «система», «характеристика» (признак), «соотнесение» и «ссылаемость». Понятие «единый» именно здесь и выражающее собой смысл «консолидации», мы и позволим себе определить в качестве поясняющего понятия, поскольку всякая «система», если и предполагать ее понимание с позиций «системности» непременно и предполагает выражение специфики в известном отношении «единства».

Огл. Синтез понятий на уровне «простой» структуры

На предшествующей стадии настоящего анализа уже был подобран словарь понятий, собственно и допускающих использование с целями обращения уже трансформированных нами в новые высказывания «аксиом» в некоторое сочетание в нашем понимании «истинно первичных» «f-событий» и «c-событий». В состав словаря вошли следующие понятия:

понятие, существование, подтверждение, отрицание, очередь, построение, собственно, совпадение, простое, система, характеристика, соотнесение и ссылаемость.

И тогда непосредственно порядок представления собранной коллекции понятий, явно не знающий формы задания, кроме произвольной и позволяет постановку задачи образования в пределах данного словаря еще и групп понятий; но теперь дело осложняет обстоятельство, что порядок подобной группировки явно допускает задание и посредством субъективно избранных критериев. Мы же в подобном случае обратимся к использованию комплекса критериев, определяемых в нашей модели философской онтологии, восходящей к концепции философской онтологии Б. Смита. При выделении групп в составе словаря понятий, образованного нами посредством анализа высказываний, во что нами и были обращены исходные «Аксиомы Пеано», мы будет понимать уместным выделение понятийной, бытийной (онтологической) и структурирующей (иначе - логической) групп понятий. Тогда к собственно «понятийной группе» понятий и следует относить всего только два понятия – собственно «понятия» и «ссылаемости», понимаемой в нашем случае любым допустимым образом, но только не в качестве представления о причинности. Далее, теперь уже принадлежащими «онтологической группе» понятий и следует понимать понятия «существование» и «очередь», последнее уже в качестве понятия о характерном физической действительности темпоральном или пространственно организованном чередовании. Оставшуюся часть коллекции нашего словаря понятий и следует определять как принадлежащую «логической» группе понятий, к составу которой и следует относить подтверждение, отрицание, построение, собственно, совпадение, простое, система, характеристика и соотнесение. На наш взгляд, представленная здесь группировка понятий и позволяет признание практически достаточной для преобразования построенных нами высказываний в вид схемы, по условиям которой ее базисный уровень и предполагает не более чем образование комбинаций «f-событий» и «c-событий».

В таком случае построение схем представленных в нашей коллекции понятий и следует начать с построения схем онтологических понятий. Тогда

«существование» и следует понимать «f-событием» предъявления нашему опыту содержащегося в мире чувственного или рефлексивного (мы его приравняем к «ощущению» таких обстоятельств, как вид или способ активности нашего сознания) раздражения.

Подобный источник раздражения, даже если его и отличает специфика постоянного нахождения в действии, все равно в ходе некоего акта воздействия на систему рецепции будет обнаруживать функционал не более чем однократного источника раздражения, и потому мы его понимаем конечным. Далее

«очередь» – это возможность фиксации нами «f-события» предъявления нашему опыту миром «c-события», организовавшего воспроизводство «f-событий». (Вообще уже оснований, выделенных в определении очереди достаточно для построения математической теории или модели, но порядок построения такой модели определяем не мы, а, напомним, Пеано).

После определения онтологических понятий мы позволим себе обращение к рассмотрению специфики понятий, принадлежащих понятийной или эпистемологической группе.

«понятие» – это «f-событие» выделения нами связи «f-события» возникновения в мире (наши мыслительные процессы и рефлексии здесь мы также включаем в содержание «мира») сопряженных раздражающей стимуляции и «f-события» нашего мышления.

«ссылаемость». Квалификация ссылаемости и предполагает построение в виду именно ее способности отличаться спецификой незавершенности. Отсюда ссылаемость и следует определять как «c-событие» понимания нами связи разных понятий, т.е. обязательности воспроизводства нами понимания связи рассматриваемого «f-события» выделения нами связи «f-события» возникновения в мире раздражающей стимуляции и «f-события» нашего мыслительного процесса с неким уже ранее выделенным «f-событием». Отсюда и характерной чертой полной схемы «ссылаемости» следует понимать отличающую ее сложность, непременно и восходящую к наличию в данной схеме комбинации «c-события» воспроизводства «f-события» связывания некоторого связывающего «f-события», связываемого с образованием «понятия» далее уже с неким «c-событием» извлечения из памяти другого «f-события» связывания понятия.

Сама собой сложность моделирования схематических связей понятий понятийной группы и обогащает нас опытом, теперь уже достаточным для рассмотрения специфики понятий из числа принадлежащих логической группе. Но здесь мы все же усомнимся в разумности «прямой» последовательности такого анализа вне его обращения к стадии предварительного упорядочения; как мы склонны судить, логическая группа понятий все же явно предполагает разбиение и на некие более однородные подгруппы. В таком случае одной из таких подгрупп логических понятий и следует понимать подгруппу понятий, выражающих собой ситуативные нормы логики: подтверждение, отрицание, соотнесение, собственно, совпадение. Далее, принадлежность некоторой следующей подгруппе логических понятий отличает понятия, выражающие собой условности логических форматов организации: система, характеристика, построение, простое. Более того, сам по себе характер состава подгруппы логических форматов и предопределяет необходимость в выделении определенных ассоциаций, в частности, ассоциации между видом системы и построением (положим, альтернативу условию построения составляет собой хаос), между видом характеристики и простым (альтернативу простому составляет собой сложное). Далее, благодаря специфике понятий принадлежащих подгруппе ситуативных норм мы получаем и возможность выделения форм «отдельных» и «совмещенных» ситуаций: совпадение и соотнесение принадлежат числу ситуаций, знающих отдельный порядок воспроизводства, подтверждение, отрицание, собственно – знающих совмещенный порядок. Отсюда и собственно определение характеристик всех в целом логических понятий и следует предварить определением характеристик 4 важнейших понятий в заданном нами перечне: система, характеристика, обособление ситуации и наложение ситуаций.

В таком случае, чем именно и следует понимать онтологическую специфику «системы»? Онтологией «системы» и следует понимать условие возможности замыкания любых, «f-событий» или «c-событий» или их комбинации в общее «f-событие» совмещения таких событий. Но, в таком случае, в виде неизбежной здесь оговорки следует отметить и ту важную особенность, что мы не представляем здесь различия «система» - «структура» и потому такое понятие «системы» фактически и следует признать обобщающим эти две сущности.

«характеристика» – это «c-событие» воспроизведения по определенному рода вызову «f-событий», «c-событий» или любой их комбинации, но всегда в некоем вполне определенном виде.

«обособление ситуации» – это запрет на образование комбинации «f-события» и «c-события» с любым другим возможным событием, другими словами, это «c-событие» изоляции события.

«наложение ситуаций» («событие» и «ситуация» в данном контексте означают то же самое) – это «f-событие» сопровождение любого, «f-события» или «c-события» любым другим событием.

Здесь уже непосредственно появление в нашем распоряжении получивших определение основных понятий и позволяет попытку построения понятия, отождествляющего такую производную от «системы» форму, чем и следует определять «построение». Тем не менее, сами собой «системы» столь разнообразны, что нам также следует прибегнуть к некоторому ограничению – под «системой» в рамках предлагаемых на ее основе определений мы намерены понимать нечто позволяющее своим частям или элементам пребывать в связанном состоянии. Условие же «связанности» в подобном понимании тогда и будет означать наличие фиксированного (или предельного) перечня «f-событий» (о «перечне» мы говорим потому, что пока только лишь предполагаем получение и потому лишены возможности употребления понятия «число»), собственно и определяющего характер отношения одного элемента системы к другому. Отсюда и возможно следующее определение –

«построение» – это «f-событие» совмещения «f-событий» или «c-событий», прямо исключающее иной способ определения связи таких «f-событий» или «c-событий» помимо их включения в фиксированный перечень «f-событий» или соотнесения с ним.

В таком случае и –

«простое» – это «c-событие» воспроизведения по определенному вызову ограниченно именно некоего «f-события» (применение нами таких понятий и определяет наше условное состояние незнакомства с понятиями «один», «единица»).

Полученный нами некоторый опыт определения понятий, выражающих собой условия логических форматов, также позволяет применение и при построении определений ситуативных норм. Здесь тогда возможны следующие определения –

«совпадение» – это исключающее реализацию свойства комбинации «f-событие» выделения «безразличия» (индифферентности), то есть не нарушения сходимости, некоторого «c-события» к неким «f-событиям» замещения (заполнения) элементов его состава.

«соотнесение» – это «c-событие» установления отношения или даже связи между произвольно взятыми группами «f-событий» и «c-событий».

«подтверждение» – это «f-событие» возникновения «f-события» или «c-события» в контуре некоей действительности, чья специфика и предполагала предварительное отождествление «f-событием» образования наших представлений.

Принятие данных определений и открывает возможность построения следующих производных определений –

«отрицание» – это «f-событие» отсутствия «f-события» или «c-события» некоторой действительности, чьи условия уже были обозначены «f-событием» формирования наших представлений.

«собственно» – это «f-событие» выделения условий неких «f-события» либо «c-события», лежащих исключительно внутри этих же «f-события» либо «c-события».

Огл. Моделирование «аксиом Пеано» в «элементарных структурах»

Метод разложения, собственно и позволивший предпринятую выше попытку выделения гипотетической элементарной структуры понятий фактически и позволяет признание равнозначным заданию условных правил реконструкции логических описаний прямо посредством приведения к уровню проявлений чувственно обретаемого опыта (в нашем случае – все же к метауровню подобного опыта). Тогда, опираясь на использование уже полученных нами средств, мы и предпримем попытку повторения построения аксиом Пеано, конечно, принимая за основу не оригинальную формулировку, но уже предложенную нами редакцию. Итак, сейчас мы обращаемся к попытке повторения теперь уже нашими средствами формулировки положения (1): средством отождествления отсутствия очереди следует понимать одно из понятий, описывающих «явление очереди», а именно, понятие «не существования очереди». Однако начать нам все же следует с приведения данного высказывания к литературной норме. Убирая элементы стилистической избыточности, мы получаем следующее: (1): средством отождествления отсутствия очереди следует понимать одно из понятий, описывающих «явление очереди», а именно, понятие «не существования» очереди. Тогда следующей стадией нашей условной «перекодировки» данного высказывания и следует определить отождествление «очереди» в качестве определяемого, и ее обозначение как «X». «Отсутствие» тогда позволит приведение к «отрицанию существования», «из» – к «существованию, определенному построением системы», что окончательно и придаст предложению (1) следующий вид:

(1): отрицание существования «X» соотнесено с понятием «отрицание существования «X»», притом, что отрицаемое в этом понятии существование «X» и есть построитель основанного на нем порядка;

– именно это выражение мы и определим в качестве основы для преобразования в искомую нами структурность:

«f-событие» отсутствия «f-события» предъявления нашему опыту приходящего со стороны мира рефлексивного раздражения «X», порожденное «c-событием» установления связи «f-события» выделения нами связи ««f-события» отсутствия «f-события» предъявления нашему опыту находящегося в мире рефлексивного раздражения «X» и «f-события» нашего мыслительного процесса по этому поводу», где «f-событие» предъявления нашему опыту «‘f-события’ выделения нами связи «...» и определено «f-событием» совмещения, заданного на условиях ограничения набора связей нормой «фиксированный перечень ‘f-событий’», «f-событий» предъявления нашему опыту приходящего со стороны мира рефлексивного раздражения «X», замкнутых в одно «f-событие» их совмещения.

Получение такого результирующего выражения, явно нагруженного избыточным числом вложений и потому практически и не подлежащего простой интерпретации и вынуждает его преобразование к виду, уже предполагающему символьное замещение элементов содержания данного выражения. В таком случае:

‘A’ есть: «f-событие» предъявления нашему опыту приходящего со стороны мира рефлексивного раздражения «X»;

‘(A ... A)’ есть: группа из «A»;

‘B’ есть: «f-событие» выделения нами связи ««f-события» отсутствия «f-события» предъявления нашему опыту приходящего со стороны мира рефлексивного раздражения «X» и «f-события» нашего мыслительного процесса по этому поводу».

Тогда полученное нами из аксиомы (1) результирующее выражение и примет вид:

«f-событие» отсутствия A, порожденное «c-событием» установления связи B, где «f-событие» предъявления нашему опыту B определено «f-событием» совмещения, при ограничении набора связей нормой «фиксированный перечень «f-событий»», (A ... A), замкнутых в одно «f-событие» их совмещения.

Именно так посредством категорий особого рода «слабо абстрагирующего» языка чувственного опыта и способна звучать первая аксиома Пеано, да еще и при условии нашего отказа от раскрытия содержания понятия «очередь», признаваемого нами только лишь подлежащим определению. Собственно специфику существенной сложности подобного выражения и следует понимать указанием на то, на каком же, на деле, уровне сложности, если и определять началом отсчета условие выделения «элементарных» реакций и предполагается конструирование аксиом, предлагаемых нам в математической теории. Однако из данной пока что преждевременной рефлексии нам все же следует вернуться ко второй аксиоме Пеано (2): построение очереди исключает обращение построением метаочереди, то есть всякое построение очереди никоим образом не позволяет выхода за пределы собственно специфики «очереди». Не помешает обратить внимание, что здесь также имеет место стилистическая избыточность, когда планом содержания понятия «построение» и понимается вместо смысла «упорядочения при вхождении в ...» смысл «обретение существования»; это и позволяет нам замещение подобного значения «построения» просто значением «существования». Отсюда и выражение, обозначаемое как «вторая аксиома», приобретает вид: (2) существование очереди с определенной системой характеристик не совпадает с существование очереди очередей, что при подстановке введенного выше «X» и замены «определенная - собственная» способно дать –

«(2) существование «X» с собственной системой характеристик не совпадает с существованием «X(«X»)»».

Отсюда мы уже располагаем простой возможностью слияния в условной «аксиоме два» двух построенных нами выражений –

«f-событие» предъявления нашему опыту представленного в мире «X», при наличии для «X» «f-события» выделения условий неких замкнутых «f-событием» совмещения «c-событий» воспроизведения по определенному вызову и в определенном виде «f-событий», «c-событий» или любой их комбинации, не совпадает с «f-событием» предъявления нашему опыту представленного в мире «X(«X»)».

Столь простая возможность построения на заданных нами условиях аксиомы (2) воодушевляет нас и на попытку приведения к такой же форме и аксиомы (3): очередь не предполагает дублирования и отсюда каждую особенную формацию «чередования» очереди и отличает уникальная специфика представления ею неразнообразной ссылки на «простейшим образом более простую» формацию. Здесь мы также преобразуем формулировку (3): очередь отрицает совпадение образующих ее построений, каждое построение, соотносимое с данностью «очередь» отличает та собственная характеристика, что допускает образование из всех таких построений лишь системы, в которой простое по собственной характеристике отрицание совпадения имеющихся построений соответствует отрицанию выделения в такой характеристике условия построения. Тогда уже условно «окончательный» вид (3) можно понимать таким:

«X» отрицает совпадение образующих его построений; каждое позволяющее его соотнесение с «X» построение наделено собственной характеристикой, подтверждающей существование системы, в которой простое [по собственной характеристике] отрицание совпадения [существующих] построений [соответствует] отрицанию существования в такой характеристике условия построения.

Увы, как оказывается, характеристика (3) грешит тавтологией, но мы не Пеано, для которого исходную тавтологию данного выражения собственно и маскировал выбор используемых понятий. Но нам здесь не остается иного выбора, кроме построения на базе данного выражения уже производного выражения «элементарного» уровня:

«X» вызывает «f-событие» отсутствия «f-события» не нарушения сходимости некоего «c-события» от неких «f-событий» замещения (замены) образующих «X» «f-событий» совмещения «f-событий» или «c-событий», где запрещено определение связи между этими последними «f-событиями» или «c-событиями» иначе как фиксированного перечня «f-событий»; у каждого «f-события» совмещения «f-событий» или «c-событий», при котором запрещено определение связи между этими «f-событиями» или «c-событиями» иначе как фиксированного перечня «f-событий», у которого имеется «f-событие» предъявления нашему опыту представленного в мире «c-события», условия которого определены «f-событием» нашего представления, установления отношения или даже связи между произвольным составом группы «f-событий» и «c-событий», служащих «f-событием» возникновения «f-события» предъявления нашему опыту находящегося в мире замыкания любых, «f-событий» или «c-событий» или их комбинации в одно «f-событие» их совмещения, где «c-событие» воспроизведения по определенному вызову ограниченно именно некоего «f-события» отсутствия не комбинируемого «f-события» не нарушения сходимости некоего «c-события» к неким «f-событиям» совмещения «f-событий» или «c-событий», при которых запрещено определение связи между этими «f-событиями» или «c-событиями» иначе как фиксированного перечня «f-событий» есть «f-событие» отсутствия «f-события» совмещения «f-событий» или «c-событий», при котором запрещено определение связи между этими «f-событиями» или «c-событиями» иначе как фиксированного перечня «f-событий» в «c-событии» воспроизведения по определенному вызову «f-событий», «c-событий» или любой их комбинации, но всегда в определенном виде.

Конечно, избыток сложности представленного высказывания не то, что говорит, а, следует думать, «вопиёт». Однако в наше оправдание следует напомнить и собственно содержание исходной аксиомы «Никакие два числа не имеют одного и того же последующего элемента», теперь уже требующей задания такого вида представления, где исключались бы сущности синтетического плана, в частности, понятие «двойка». Но и своей задачей мы понимаем возможное сокращение данного выражения посредством устранения следующих повторений:

‘C’ - «f-событие» не нарушения сходимости некоего «c-события» вследствие неких «f-событий» замещения (замены);

‘D’ - фиксированный перечень «f-событий»;

‘E’ - «f-событие» совмещения «f-событий» или «c-событий», при котором запрещено определение связи между этими последними «f-событиями» или «c-событиями»;

‘F’ - «f-событие» предъявления нашему опыту представленного в мире;

‘G’ - «c-событие» воспроизводимое по определенному вызову;

‘I’ - «f-событие» отсутствия.

Использование данного способа устранения повторений приводит к следующему выражению –

«X» вызывает I C образующих «X» E иначе как D; у каждого E иначе как D, у которого имеется F «c-события», условия которого определены «f-событием» нашего представления, установления отношения или даже связи между произвольным составом группы «f-событий» и «c-событий», служащих «f-событием» возникновения F замыкания любых, «f-событий» или «c-событий» или их комбинации в одно «f-событие» их совмещения, где G ограниченно именно некоего I не комбинируемого C, при котором запрещено определение связи между этими «f-событиями» или «c-событиями» иначе как D есть I E иначе как D в G «f-событий», «c-событий» или любой их комбинации, но всегда в определенном виде.

Получившиеся у нас построения и следует понимать показательными в отношении, приложение каких титанических усилий и необходимо для установления лишь действительности характеристики «неинвариантности связей двух элементов с третьим». Собственно понимание столь прискорбного факта и позволяет нам обращение к предмету аксиомы (5), в нашей редакции констатирующей, что: для всего, что представляет собой очередь, включая и допущение, что очередью следует определять и несуществование очереди, вводится единая система характеристик (или признаков), в своей полноте раскрывающаяся уже при соотнесении между «несуществованием очереди» и очередью, ссылающейся на это несуществование как на «простейшим образом более простую» формацию. Но здесь, если куда уже более простая аксиома (3) на уровне элементарных реакций уже предполагала обращение построением огромного объема, то, как можно судить, то нам явно и не следует предпринимать попытки построения аналогичной явно избыточной структуры для аксиомы (5). Однако, мы все же проделаем здесь одно первичное преобразование, доведя выражение аксиомы (5) хотя бы до состояния «подстановочной» готовности. Итак, (5) определенно допускает выражение посредством «формулы»:

для совпадающего с «X», включая подтверждение действительности отрицания «X» просто в понятии «характеристики» совпадать с «X», очевидно существует и собственная такой системе система характеристик, как система уже существующая при соотнесении между «отрицанием «X»» и «X», соотнесенным с «отрицанием «X»» как с простым по собственной характеристике отрицанием совпадения имеющихся построений.

Мы вновь позволим себе указать, что мы не Пеано, и оксюморон «ноль есть число» для нас невозможен, и для нас ось отрицательных и положительных значений, в которой ноль таки обращается элементом очереди, и следует понимать функциональным наслоением на собственно очередь, связанным с введением вносящей организацию позиции именно «в последовательности очереди». В смысле же не обремененной функциональным наслоением «просто» очереди «ноль» явно не предполагает квалификации в качестве числа. Именно поэтому, на наш взгляд и само собой идею «Аксиом Пеано» и следует рассматривать как оксюморон.

Огл. Функция сложной абстракции внутри математики и за ее пределами

Практически завершая на этом стадию анализа, мы все же позволим себе возвращение от математической пунктуальности к своего рода философской «раскованности». Наиболее существенная мысль, явно и порождаемая всей серией предпринятых нами попыток, это мысль о том, что математикам вряд ли свойственно проявление интереса к такому предмету, как реальность обработки математических абстракций определенным процессором. Чтобы подобный процессор и располагал возможностью совершения таких операций, и следует предполагать образование корпуса примитивов, чьи порядки выполнения процедур покрывались бы возможностями данного процессора. Математика как система связей вообще, связей как таковых, объективна, но и собственно функционал подобной объективации следует отождествлять либо непосредственно условиям структурной организации (где лучшей иллюстрацией и следует понимать условие «формы кристаллов») либо – сопоставлять его возможности определенного процессора, пусть и человека, оперировать математическими комбинациями. Поэтому даже и как бы «намеренно игнорирующее» его ориентацию на определенный процессор математическое рассуждение все равно реально апеллирует к некому подразумеваемому процессору, а как раз данное условие непосредственно математики и склонны забывать. Конечно, данная мысль также допускает и последующее развитие в том отношении, что примитивы реакций каких бы то ни было процессоров непременно и допускают типизацию, но данную проблему мы понимаем выходящей за заданные здесь рамки рассмотрения нашей основной проблемы.

Тем не менее, включает ли в себя длительная история философского осмысления природы математики какие-либо концепции именно «процессорных пределов» процедурных форм математической комбинации? Такие представления существуют, но на наш взгляд, они не более чем смехотворны. Работа Б. Рассела, что и послужила для нас источником исходного варианта «Аксиом Пеано» понимает цель математической философии в как можно более длительной отсрочке объяснения значения первичных терминов «ноль», «число» и «последующий элемент» (с. 75). В этом прославленный философ похож на знакомых автору современных математиков, утверждающих, что используемая простым человеком элементарная арифметика не равноценна (просто какому угодно; для них элементарное знание соответствует незнанию) математическому знанию. На наш взгляд, подобный тезис равнозначен утверждению о том, что осуществляющий процесс брожения любитель алкоголя получает в этом процессе непонятно что, но никак не загрязненное примесями химическое вещество «этиловый спирт». Или же данное решение напоминает и тот знаменитый парадокс св. Григория Паламы, назвавшего собственные сочинения «триадами» или «Семью словами», но при этом допускавшего мысль, что понимание его текста вовсе не требует знания столь «светской» и чуждой религии науки как математика.

Б. Рассел включает в свои рассуждения любопытный фрагмент, из которого вытекает (с чем он не вполне согласен), что связь или отношение, каковыми собственно и следует определять математические условности и зависимости, исходно не могут быть понятиями, но обращаются в понятия позже, когда уже возможно окончательно определение «множества терминов, имеющих определенные свойства»:

Можно было бы предположить, что взамен придания значений «0», «числу» и «последующему элементу» в терминах того, что мы знаем, но не можем определить, мы могли бы позволить им стоять для любых трех терминов, удовлетворяющим пяти аксиомам Пеано. Они тогда не будут объясняться в терминах, имеющих значение вполне определенное, но не определимое: они будут тогда «переменными», терминами, в отношении которых мы делаем определенные гипотезы, устанавливаемые в пяти аксиомах, но о которых ничего нельзя сказать помимо этих пяти аксиом. Если мы примем этот план, наши теоремы будут доказываться не о некотором распознаваемом множестве терминов, называемых «натуральными числами», но о целом множестве терминов, имеющих определенные свойства. Такого рода процедура не является ошибочной. Более того, для некоторых целей она представляется полезным обобщением. Но по двум причинам она не может рассматриваться как адекватный базис для арифметики. Во-первых, она не позволяет нам узнать, а имеются ли вообще некоторые множества терминов, удовлетворяющие аксиомам Пеано. Дело в том, что нет никаких предположений, существуют ли эти множества. Во-вторых, как мы уже видели, мы хотим, чтобы наши числа были такими, чтобы они могли использоваться для счета обыденных объектов, а это требует, чтобы числа имели определенное значение, а не просто некоторые формальные свойства. Эти определенные значения определяются логической теорией арифметики. (Б. Рассел, «Введение в математическую философию», Новосибирск, 2007 г., с. 75-76)

Для нас уже явно невозможна подобного рода теория «ретроспективности» или «вторичности» понятия. Понятие непременно и появляется на стадии, когда имеет место хотя бы некоторое, хотя бы условное понимание, хотя и возможно утверждение, что всякое, в смысле онтологии «условное» понимание, в смысле самого понимания все же несет признак «безусловного». Другое дело, что если вернуться к представлению, допускающему более совершенный способ моделирования данной сферы действительности (мы, вслед за Э. Гуссерлем, относим математические идеальности тоже к некоторой области действительности), то обслуживающее некоторую потребность абстрагирования понятие, возможно, способно принять вид более универсальной сущности. И тогда в смысле понятия, если начинать построение именно со стороны понятия, оно в ходе последующего прогресса именно и будет представать в качестве понятия «с большим объемом». Но если отталкиваться от стороны представляемого, если собственно когнитивная функция в некоторой ее идеализации и позволяет признание только «достаточной», то наивная задача так и продолжает «тянуть за собой» то же самое наивное понятие всё того же самого «малого» объема. Поэтому мы и позволим себе рекомендовать сопоставляющим понятия мыслителям исходить не из собственно понятия в его качестве эластичной и в известном отношении собирательной структуры, но исходить из специфики минимума условности, необходимого для выполнения отдельно взятой операции мышления. И тогда мы и позволим себе рекомендовать математике и понимание натурального ряда чисел не в качестве системы, позволяющей возложение на нее какой угодно сопряженной когнитивной нагрузки, подобно представлению о «положительной и отрицательной полуоси», но его понимание системой при том могущем быть минимуме возможностей, что уже и позволяет становление «натурального ряда».

Однако в чем же следует видеть наиболее существенный философский смысл выполненного нами анализа? Здесь можно говорить о двух основных важных философии «уроках»: первое, для анализа некоторых сущностей деятельностный подход отнюдь не контрпродуктивен, но, скорее, даже необходим, и второе - возможно, неудача в построении некоторых практических машин, например, нейронного компьютера, и связана с непониманием специфики необходимого здесь разнообразия примитивизирующих идеализмов. Относительно первого названного нами «урока» можно сказать, что при совершенной недопустимости сведения некоторой идеализирующей условности к некоей конкретной форме деятельности и следует понимать абсолютно необходимым ее отождествление некоей условной «универсальной форме» деятельности, поскольку само существование идеализирующей условности как объекта приведения невозможно вне существования оператора, выполняющего операцию приведения. Второй момент связан с тем, что, возможно, функционал «нейронного вычисления» и следует определять не просто способностью экстенсивного наращивания связей, но еще и одновременной с закреплением этих связей их определенной рубрикацией (возможно, заданием «тяготений»), например, понимания нечто как ушедшего в прошлое или как еще сохраняющего актуальность.

Огл. Заключение

В заключение и следует предложить оценку, в какой именно мере нам удалось решение задачи разложения некоторых аксиом некоей формальной теории на составляющие наиболее элементарных фиксирующих примитивов человеческой семантики. Возможно, мы допускаем и такое, искомое решение и не было получено. Но, первое, была определена проблема поиска подобного решения, и, второе, был определен примерный состав необходимых подобному решению алгоритмов. Тогда и дело остается за малым – за получением правильного решения.

11.2007 - 12.2016 г.