Правота Дедекинда

Шухов А.

Содержание

История вхождения автора в сообщество некоей Интернет-конференции свелась к любопытному случаю знакомства с одним из элементов математической культуры. Требования последней исключают употребление простого нераспространенного понятия число, обязывая к замене более точными натуральное число, рациональное число, действительное число, целое неотрицательное число и т.п. Одновременно данный порядок представления не уточняет, допускают ли подобные типы объединение в формат в принципе вряд ли исключаемого обобщающего типа. С другой стороны, и простое имя «число» также допускает использование в математической культуре, но уже в случае использования данного имени для обозначения предложенной выдающимся математиком Р. Дедекиндом формы условности, теперь названной в его честь дедекиндовым сечением. (В математической культуре под «дедекиндовым сечением» принято понимать именно действительное число.)

Если же позволить себе вольность взглянуть на подобные обстоятельства с иной стороны, то и обнаружится, что скорее следует понимать невозможной любую попытку построения философской модели, исходящей из собственно «технических» или «инструментальных» представлений собственно математики. Тем не менее, специфику подобных отличий очевидным образом уже способно прояснить рассмотрение сложной системы взаимоотношений среды идеальной действительности, логической комбинаторики и психологической реальности практик мыслительного и рефлексивного способов познания.

Огл. Проблема нефинальности

Чтобы обратиться к рассмотрению проблемы нефинальности идеальной действительности вначале следует сформулировать понятие о финальности как таковой, хотя бы грубо определив признаки финальности и указав общие особенности группы конструкций, явно позволяющих отождествление в качестве «финальных». На наш взгляд, понятие «финальности» явно допускает признание в качестве нечто указателя типа, чьим наполнением тогда и следует понимать любые экземпляры, специфика которых непременно и предполагает наличие событий становления или прекращения любого возможного выделения, собственно и обращенного на подобные экземпляры. Но, в таком случае, что же именно способно позволять понимание теперь уже техническим в смысле логики концептуализации способом определения финальности? Как мы склонны определять, именно в логическом смысле построение определения «финального» явно исключено в отсутствие какого-либо указания на наличие определенного размещающего «ложа» (или сферы), содержащего кроме финального еще и то некое «что-то», что, собственно, и указывает, что такое «финальное» могло бы начаться здесь и завершиться где-то еще. При этом совершенно не обязательно предполагать, что остающееся «за пределами финального» нечто должно представлять собой что-либо, непременно не наделенное тем же самым статусом финальности. Возможно, роль такого указателя «бытия финального» и способно принять нечто, что также финально, но теперь уже финально неким «иным» образом. В свою очередь, для данного финального явно правомерно и предположение о наличии следующего финального, чья финальность и будет определять финальность, служащую определителем нашей «первой» финальности и т.п. Таким образом, если не задаваться целью определения полных «пределов» финальности, то собственно в пределах практики соотнесения отношения финальности и позволят определение внутри других отношений финальности, которые просто в порядке решения данной задачи допустимо оставить неопределенными. Отрезок принадлежит прямой, а чему принадлежит прямая в целом, мы не знаем, но предполагаем, что она также способна представлять собой отрезок. Итак, мы будем понимать, что финальность вполне определима, если допускать возможность распространения конституирующих ее отношений, например, на «более продолженное» финальное.

Когда же на основе представления о финальности мы уже предпринимаем попытку конструирования «нефинальности», то есть нечто, исключающего определение посредством задания условий или позиций «начала и завершения», то здесь, по крайней мере, мы сталкиваемся с двумя вариантами подобной несходимости. Первый вариант - это вариант невозможности указания такой финальности, посредством которой данная условность и допускала бы возможность обретения обозначающих ее пределов. Во втором случае мы сталкиваемся с коллизией, когда отсутствуют условия согласования собственно процедур актов фиксации, и такой случай непременно и предполагает более подробное пояснение.

Возможность определения некоторой финальности, положим, в качестве фиксируемой внутри другой финальности явно и подразумевает выделение в служащем средством фиксации финальном уже таких признаков или признаковых элементов его состава, посредством которых и возможно указание или задание определенных реперов или отметок. Для этого такая среда или «ложе» фиксации и требует согласования ее специфики дискретизации с собственно размерностью фиксируемой финальности. В то же время попытки дискретизации в подобном смысле длины любой Евклидовой окружности через ее диаметр за весь исторический период развития математики так и не обнаружили возможность подобного согласования. Собственно действительность, в частности, тех же иррациональных чисел тогда и следует понимать тем же случаем допущения несогласованности конкретного размера с используемой системой дискретизации. Поэтому здесь и проявляет себя нефинальность, состоящая в незавершенности выражения значения размера в данной системе дискретизации. На чертеже гипотенуза как бы «конечна», но она же исключает и всякое выражение в тех единицах дискретизации, в чем и было дано выражение теперь уже образующих данный треугольник катетов. Мы и будем называть отсутствие условий согласования актов фиксации тем особым условием нефинальности, в математическом выражении которого исключено достижение последнего вычисляемого члена. Тем не менее, следует понимать, что здесь мы явно располагаем условностью, определенно и позволяющей, стоит лишь совпасть условиям дискретизации, построение той же требуемой финальности.

А далее благодаря определению «нефинальности по фиксингу» у нас и появляется возможности определения и другого известного нам типа нефинальности, также не располагающего такой внешней условностью, что и располагала бы способность его замыкания как финальности. Фактически такой и следует понимать условность, собственно и наделенную такой спецификой существования как пребывание в состоянии безостановочного дополнения. Здесь собственно достижению подобной условностью состояния финальности уже препятствует непосредственно и отличающая ее специфика неограниченного дополнения. Здесь мы, следовательно, имеем дело не с препятствием установления финальности, исходящим от устанавливающей системы, а с препятствием, исходящим от собственно «блокирования» действия системы идентификации. Тогда речь здесь фактически и идет не о соотносимости, которую мы позволили себе назвать «финальностью», но уже об особом типе существования, просто исключающем собственно возможность оформления в завершенную структуру. Речь, следовательно, идет здесь не о специфике собственно «неопределенности процедуры» совершения операции выделения допускающего его лишь грубую фиксацию условия «финальности», но уже об отторжении собственно сущностью каких бы то ни было условий завершения. Однако сугубо функциональная интерпретация позволяет и подобную условность толковать вместо «не замыкаемой условиями финализации» просто как «нефинальность», однако такое ее понимание следует видеть не более чем предметной редукцией, преследующей лишь цель упрощения структуры модели.

Огл. Проблема генетической неопределимости

Системы интерпретации, целью создания которых их творцы понимают диверсификацию возможностей выводимости, порождают специфическую проблему «генетической неопределимости». То есть спецификой подобного рода систем и следует понимать категорическую невозможность произведения такой реконструкции над их содержанием, что и позволяла бы выделение таких элементов данного содержания, что и позволяли бы признание «подлинно образующими» такие системы. Для иллюстрации проблемы подобного рода «неопределимости» рассмотрим некий простейший численный пример. Например, употребим в этом качестве число «144», располагающее внушительным количеством элементов разложения. Мы можем представить данное число и произведением «(3х3) х (2х8)», а можем и «(2х6) х (2х2х3)», но и, кроме того, еще и посредством какого-то числа таких же или более простых комбинаций. При этом, естественно, ни одна из подобных комбинаций не позволяет нам права утверждения за ней специфики «первичная», «основная» или наделенная каким-либо иным доминантным статусом. Хорошо, но наш пример намеренно построен именно на особо подобранном числе, но это не отменяет и действительности иных вариантов, в частности, тех же не содержащих в себе сомножителей простых чисел. Хорошо, но и помимо натуральных или целых неотрицательных чисел существуют и дроби. Для исключающего всякое разложение в натуральных числах числа «17» явно допустимо и разложение на сомножители в виде (8,5 х 2), хотя, понятно, в числителе данной дроби в не приведенном виде обязательно будет присутствовать число, кратное «17». Если оставить в стороне всякого рода нюансы, то и случай разложения простого числа также будет указывать на неопределенность выбора «подлинно образующих» начал - то ли это собственно значение простого числа, то ли - значение только (нецелой) части числа.

Тогда если собственно и признавать допустимость способа расширения содержания выраженного в определенном формате представления за счет его дополнения условиями «конструкций» некоторого теперь уже производного формата, явно запрещенных условиями первоначального формата, то и условной «потенцией» подобного рода объединенной системы и следует понимать свободу некоторого последующего членения. В таком случае, следовательно, если все же снять условие форматного ограничения, то тогда и следует определять как невозможную любую идею той же генетически однозначной модели структурных связей некоторой сущностной области. В таком случае и фиксация некоторого стандарта или принципа структурирования как «первичного», явно неуместного по отношению систем, допускающих определенную свободу развития условий их формата, вряд ли будет позволять признание как достаточная именно для построения онтологической модели. Но здесь же возможно предположение и той вполне допустимой альтернативы, что уже могла бы исходить из условий актуализированной рациональности выделения условий некоторого формата в качестве «начального».

Тогда уже в большей мере «следуя идее» настоящего анализа, но - не исходя из понимания «архитектуры математики» как анизотропной, о чем мы говорили в одной из наших работ, мы и отвергнем саму возможность выделения генетической определимости формальных систем, а допустим в их отношении исключительно возможность актуализированной определимости. В подобном смысле именно теория ряда натуральных чисел и может быть признана в качестве «первичной» теории именно потому, что базовая эффективность человеческого сознания и представляет собой систему дискретного кодифицирования содержания окружающего мира. Будь она эффективной в каком-то другом отношении, статус «первичного» человеческий опыт и отводил бы некоему иному формату.

Огл. Аксиомы Пеано и картина «змеи, поедающей свой хвост»

Нам следует начать пояснением - представленное ниже рассуждение не содержит в себе никакого анализа определения ряда натуральных чисел, известного под именем «аксиом Пеано». Мы позволим себе полное пренебрежение фактом существования данного определения, а как таковой наш анализ будет представлять собой всего лишь объяснение этого нашего выбора. И, соответственно, мы не представим здесь и какой-либо формулировки аксиом Пеано, поскольку рассматриваем их как логически произвольные. Мы лишь выделим одно из свойств, используемых при формулировке данных аксиом, и рассмотрим предмет порождающих его оснований.

Итак, вывод положений, представленных в составе аксиом Пеано, допускает возведение таких положений к такому базисному свойству, как свойство коммутативности. В таком случае нам и следует рассмотреть посылки и основания, собственно и позволяющие мыслить такую специфику как возможность коммутативности. «Коммутативность» в некотором несколько упрощающем толковании – это не более чем перестановка, а если рассуждение позволяет себе оперировать характеристикой «перестановки», то оно же явно допускает осознание и такой специфики, как наличие места. В подобном отношении нечто «подлежащее перестановке» непременно и наделено спецификой «расположения» в определенном месте, то есть свойством образования неких отношений с нечто «ложем» или средой размещения. Если же такая среда размещения существует и позволяет определение характеристик всего допускающего помещение в эту среду, то она же представляет собой и сущность, предполагающую и наличие специфической топологии. Топология же в качестве теперь уже некоторой системы размещения явно невозможна без прямого наличия или же открытости для наложения упорядочения, что уже определенно и подразумевает применение таких средств задания порядка, что, в частности, и представляет собой ряд натуральных чисел. Тогда и получается, что если мы в нашем определении ряда натуральных чисел используем свойство коммутативности, то, если признать правомерность представленного выше рассуждения, такое использование и следует определять как самоссылку, и потому и исключать для него любую возможность применения при любом построении вероятных определений ряда натуральных чисел. Или, в некотором ином случае, следует понимать необходимым введение таких несчетных (по терминологии Кантора, «неисчислимых») форм организации топологии, что и позволяли бы неопровержимо приписывать им невозможность использования в них какой-либо счетной организации упорядочения. Но в данной связи все же следует обратить внимание, что если не преследовать цели построения некоей онтологически достаточной схемы, но только пытаться реализовать некий процесс познания, то и свойство «коммутативности» явно позволит представление в качестве того более очевидно представляющегося сознанию отличия, что и позволяет использование в осознании архитектуры порядковой системы.

Тем не менее, мы все же понимаем необходимым представление здесь и некоторой дополнительной аргументации в подтверждение положения, собственно и определяющего перестановку элементов некоторого выражения действием, «основанным на уже существующей топологии». Для этого нам следует разобраться с понятием «выражения, содержащего разным образом включенные в него члены», во всяком случае, не обозначающим собой массив, располагающий членами, включенными в него на условиях неопределенности. Здесь даже на тех условиях, что мы даже ничего не знаем о свойстве собственно характеризующего член выражения места, само наше знание того, что это место все-таки существует, свидетельствует о том, что, так или иначе, существует и некий принцип «помещения» в данную придаваемую позицию. Нам не важно, что мы ничего не знаем и не узнаем о том, как же эта позиция придается, но, только заикнувшись о самой возможности установления определенных признаков этой позиции, мы, тем самым, будем заявлять и о том, что существует и то, исходя из чего и возможно задание позиции. Одним своим признанием подобной возможности мы явно и признаем факт действительности некоторой сущности, собственно и позволяющей задание условия позиции. И здесь именно некоей «последующей перспективой» данного рассмотрения и следует видеть определение условий, собственно и составляющих собой комплекс отношений той же структуры задания позиции.

Таким образом, всякое условие наличия топологии непременно и следует определять в качестве очевидной ссылки на перечислительный порядок формирования, а последний уже явно исключает понимание на положении не содержащего возможности элементарного выделительного (в нашей терминологии – операционального) перечисления (через понятие другой, в частности), фактически единственного построителя именования всякой перечислительной системы. Отсюда и условие коммутативности, только исключительно и возможное в виде ссылки на определенную топологию, никак не будет позволять признание образующим какую-либо схему, ведущую к построению натурального ряда чисел, поскольку уже собственно констуитивы данного условия и восходят к некоему порядку перечисления, а, следовательно, и к его основе - натуральному ряду чисел.

Огл. Взгляд Рихарда Дедекинда

Если, следуя предложенной нами системе понятий и оценивать некие выводы, предложенные выдающимся математиком Р. Дедекиндом, то эти выводы и следует признать трактовкой, наделяющей любую численную конструкцию признаком финальности (в частности, для Дедекинда свойство «финальности» отличает и иррациональные числа). Но кроме данной трактовки, с нашей точки зрения, отнюдь не бесспорной, другое, уже непременно и разделяемое нами его представление и определяет численную конструкцию в качестве не представляющей собой объекта индивидуального генезиса. Напротив, численную конкрецию, по Р. Дедекинду, и следует понимать как некую актуализацию, вычленяемую среди других сходных позиций фактически всецело данного мира конструкций номинативного соотнесения. Нам даже трудно оценить значимость для нас подобной идеи.

Однако наше изложение выводов, предложенных Р. Дедекиндом, все же следует начать с изложения предмета принятой им концептуальной структуры, собственно и отображающей ряд натуральных чисел. Исходной позицией разработанной им концепции послужило представление о «цепи», а именно о возможности совмещения в непосредственно основании еще и некоторых проекций, инициируемых таким основанием. Тогда на условии некоторого утрированного представления математически точных формулировок Дедекинда, такая «цепь» и позволит отождествление как воплощение реплицирующей конструкции, когда реплика (или проекция) некоторой конструкции совмещается с самой этой конструкцией, не меняя структурной однородности образующей данную конструкцию узловой схемы. Или - такая цепь не есть «цепь» в обыденном понимании, но построение, чьему отображению и дана возможность выражения собой всего лишь узлового принципа его организации на протяжении всей заданной так структуры, что в отсутствие любых препятствий и предполагает придание каждому фрагменту цепи собственно в дополнение к специфике его локальной организации. Система с наличием подобного рода возможностей и определяется Дедекиндом как просто-бесконечная (1, с. 33). Непосредственно же натуральный ряд как таковой предполагает у Дедекинда задание посредством следующего определения:

Если мы при рассмотрении какой-либо системы N, просто-бесконечной и приведенной в порядок с помощью отображения ℵ , совершенно отвлечемся от особенных свойств ее элементов, а исключительно обратим внимание только лишь на их различимость друг от друга и примем в расчет лишь те соотношения, в которые они вступают друг с другом благодаря приводящему в порядок систему отображению ℵ , то тогда элементы системы оказываются натуральными или (ординальными) порядковыми числами, или же просто числами, а основной элемент 1 называется основным числом числового ряда N. Считая числа свободными от всякого иного содержания (абстрагируя) мы можем очевидно признавать числа за свободное создание нашего духа (чистый продукт нашей мысли). (1, с. 34)

В данном определении существенный на наш взгляд смысл и отличает два следующих положения – то, что речь идет о сущностях финальной природы и то, что благодаря принципу «просто-бесконечной» организации мы не вправе понимать никакое частное положение вещей типологически самостоятельным объектом мира. Или, если использовать терминологию Б. Смита, то любое частное положение вещей уже определенно будет исключать понимание нечто завершенным «творцом истины» эмпирического предложения о существовании натурального ряда.

А далее отсутствие объектуально конечного творца истины для фиксирующих наличие численных объектов эмпирических предложений и привело Р. Дедекинда к предложению концепции непрерывности (непрерывной последовательности), единственно и мыслимой в качестве среды такого типического упорядоченного многообразия, где и возможно выделение объекта «число». Данная модель, мы пока не обращаемся к какой-либо оценке степени ее состоятельности, и предполагает построение на основании положения, которое, быть может, и допускает отождествление именем «аксиомы разбиения»:

… каждая точка прямой производит разложение прямой на две части таким образом, что каждая точка одной части расположена влево от каждой точки другой [части]. Я усматриваю теперь сущность непрерывности в обратном принципе, т.е. в следующем:

«Если все точки прямой распадаются на два класса такого рода, что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки второго класса, то существует одна и только одна точка, которая производит это разделение прямой на два класса, это рассечение прямой на два куска». (2, с. 17)

Принятие этого свойства прямой линии есть не что иное, как аксиома, посредством которой мы только и признаем за прямой ее непрерывность, мысленно вкладываем (hineindenken) непрерывность в прямую. И если бы мы знали наверное что пространство не обладает непрерывностью, то, при желании, нам все-таки ничто не помогло бы помешать сделать его непрерывным через мысленное заполнение его пробелов. Это заполнение должно было бы состоять в созидании новых точек и осуществлялось бы сообразно упомянутому принципу (2, с. 18)

Представленное здесь понимание, допускающее существование общей объединенной нерасчленяемой среды, вмещающей в себя все форматы результатов операций, «разрешенных при изначальном задании того, над чем производится операция, рациональными числами», - для себя мы обозначим последние нашим собственным понятием указатели величинной мощности (это – математические действительные числа), – и порождает проблему построения общего обозначения конкретно данного указателя. Здесь, конечно, необходимо пояснение, что, на наш взгляд, всякий «указатель величинной мощности», вплоть до действительных чисел, и следует характеризовать как подчиняющийся правилу воссоздания через проекцию, чему уже не подчиняются другие указатели мощности математики, например комплексные и им подобные виды указателей, фактически построенные как сложная функция, подобная числу по некоторой функциональности. Тем не менее, некое важное условие и следует видеть в том, что собственно средством обозначения указателя величинной мощности и следует понимать не сущность, заданную в формате объекта, но сущность в формате места, собственно и определяемого относительно системы, непосредственно и позволяющей предоставление подобного места. Это – известная конструкция, получившая впоследствии имя «дедекиндова сечения» и вот какое определение подобной системы и предлагает собственно ее автор:

Если теперь дано какое-либо подразделение системы R на два класса A1, A2, обладающее только тем характерным свойством, что каждое число a1 из A1 меньше каждого числа a2 из A2, то для краткости мы будем называть такое подразделение сечением, и будем обозначать его через (A1, A2). Мы можем тогда сказать, что каждое число a [составляя общий член A1, A2] производит одно или, собственно, два сечения [и в A1, и в A2], на которые мы, однако, не будем смотреть как на существенно различные; это сечение имеет кроме того то свойство, что либо между числами первого класса есть наибольшее, либо между числами второго класса существует наименьшее (2, с. 19)

Нам следует лишь благодарить Р. Дедекинда за предпринятый им анализ, благодаря чему указатели величинной мощности или даже систематизирующие (организующие) их комплексы потеряли право онтологической объектуализации, и обратились указателями вхождения, включения и т.п. указателям признаков связей интеграции, рассматриваемых в аспекте «собственно связей», вне включения в подобную модель обособленно интегрируемых объектов. Но Р. Дедекинд в качестве математика не ставил перед собой задачи построения онтологии среды или некоего «мира связей интеграции», трактующих эту среду в качестве замкнутой системы, математическая практика вообще не признает важным построение подобных представлений, и его анализ явно и ограничился рассмотрением не более чем «частной» проблемы теории чисел.

Огл. Онтология средства «рассечения»

Как мы позволим себе трактовать рассуждения Р. Дедекинда, они не определяют, что именно допускает использование в качестве средства сечения; разделителем множеств (классов) Р. Дедекинд однозначно выбирал точку (не задумываясь о предмете онтологии самого данного понятия), по-видимому, и предполагая несомненную безальтернативность такого выбора. И при этом, фактически, те же функциональные качества точки проективно определяли у него и вывод о позиционной сводимости, в частности, иррациональных чисел, что с нашей точки зрения, не вполне верно. Однако с общих позиций ограничение возможностей разделения только непротяженным разделителем неверно, и нам следует подумать о самой типологии разделителей и о способности собственно специфики разделителя предполагать отражение и на структуре последовательности величинных мощностей.

Тогда позволим себе использовать следующую схему: если для некоторого представления существенно именно отделение одного от другого, например, двух воюющих сторон, то в смысле самого отделения фактор вполне реальной «нейтральной» полосы не наделен существенным значением. Где-то эти воющие стороны и отделяет подобная полоса, где-то их отделяет неширокая река, если идет борьба за здание, то просто каменная стена и т.п. Но данные примеры мы нашли в быту или, лучше сказать, в области физического опыта, а как обстоит дело со средствами рассечения при построении идеальных моделей? Скорее всего, и в идеальном мире присутствует и некое подобие картины, открывающейся и в физической действительности. Так, если признать, что между двумя натуральными числами существуют промежуточные позиции, заполненные теми же рациональными числами, то именно подобные промежутки числовой оси тогда и следует определять как разделители тех позиций (реперов), что и определяются в качестве «натуральных чисел». В таком же смысле и «тело» прямоугольника мы можем понимать разделителем для условностей, которые мы понимаем как «стороны» прямоугольника. В смысле же условия «природы» разделителя мы непременно и располагаем возможностью признания условия типологического единообразия что физического, что идеального средства разделения.

Другое дело, когда наша типология вырабатывает понятия «протяженности» и «непротяженности» и обобщает некоторую схему как содержащую сопряжение, разделенное непротяженным разделителем. Именно к подобной схеме и прибегал в своей «конструкции» сечения Р. Дедекинд. Но если действительность все же предполагает разные типы сочетания объектов, в одном случае разделяемых «протяженном», а в другом - «непротяженным» средством разделения, то и нашей обязанностью при описании сочленения и следует понимать обоснование, почему же мы находим здесь некую вполне определенную «конструкцию» сопряжения. Нам все же следует располагать возможностью обоснованного суждения, почему же число, выражаемое посредством нефинальной записи значения его величины, все же допускает сведение к непротяженной позиции размещения на числовой оси. И тогда уже и явным препятствием любой нашей попытке получения подобного решения и следует понимать отсутствие некоей строго определенной или «уникализующей» онтологической структуры для той сущности, что и позволяет отождествлением именем «числовой оси».

Если бы «числовая ось» исключительно и позволяла бы построение в виде синтетически образуемой цепи натуральных чисел, то и наше рассуждение не предполагало бы особенных затруднений. Но дело еще и в том, что некий функционал дополнения «объема» наполнения числовой оси результатами дробления, полученными именно в качестве «результата» выполняемой над чем-либо операции и порождает любопытный эффект конкуренции несоизмеримых номиналов, когда один вид номинала иным образом описывает результат, хорошо описываемый другим видом номинала. Таким образом, если один вид номинала формирует вполне финально определяемую позицию, за которой и не может ничего стоять кроме точки, то другой дает нам нефинальную запись значения величины, которая уже явно не позволяет приведения к состоянию завершения. Кроме того, математика знает и такие ее любопытные формы, как трансцендентные числа, которые и в любых видах представления выражаются лишь посредством нефинальной записи их значения. А в таком случае в финальном смысле здесь и остается лишь возможность использования грубого представления, где разделитель явно сохраняет протяженность, допуская выражение лишь посредством конструкции, указывающей на помещение в промежуток, а именно, указателем позиции в виде назначения «между большим и меньшим». Скорее всего, проблему «конституции разделителя» и следует понимать упирающейся в непреодолимую антиномию, и отсюда и как таковая числовая ось вряд ли будет позволять признание какой-либо «системой строгой конституции». Исходя из этого и собственно конституция числовой оси будет позволять определение именно как заданная на условиях актуальной достаточности.

Огл. Внереализационность или сразу данный мир отношений

Но более существенным результатом выполненного Р. Дедекиндом анализа все же следует признать представление о предмете «сразу данного» мира номиналистических отношений в целом, исключающего возможность отдельной объектуальной заданности любой принадлежащей ему структуры. Если предложенная им концепция натурального ряда в формате «цепи» еще допускала своего рода «сословность» в виде первичности множественной структуры по отношению охватываемому элементу, то уже в идее «сечения» и происходит устранение как такового элемента, уже допускающего обращение отношением между отношениями. Подобного рода зависимое от некоторых других отношений локальное отношение теперь и не будет предполагать никакой возможности установления как самого по себе, но будет допускать установление лишь потому, что одновременно с ним происходит установление и других отношений, в свою очередь исключающих установление без установления данного отношения. Этот наш вывод непосредственно и исходит из предложенного Р. Дедекиндом понятия, – обозначая такое понятие именем сечения, только одним этим он и определяет такое понятие не как существование, но только как признак, позволяющий соотнесение некоторых других признаков или, может быть и форм существования. Тем не менее, характеристика или специфика «сечение» все же представляет собой характеристику не всей в целом сферы номиналистических зависимостей, но определяет собой лишь некоторую частную структуру по имени «числовая ось». В таком случае, способен ли принцип одновременности становления отношений допускать его распространение и на любые иные структуры номиналистических отношений, например на геометрические зависимости? Возможно ли задание не только отдельной «узкой», но и практически всеобщей «широкой» сферы номиналистических форм отношений, например, предполагающей и такую форму одномоментного становления, как «реализация угла обеспечивает одновременную реализацию и биссектрисы этого угла»? И позволяет ли «мир отношений» в целом выделение и некоторого разнообразия условий, отвечающего, например, построению двух классов, – зависимой и независимой формы отношений?

Поскольку модель зависимого отношения превосходно реализована в концепции собственно «дедекиндова сечения», то и своей задачей нам и следует понимать предложение примера независимого номиналистического отношения. Последнее непременно и допускает представление как независимое от другого отношения лишь в случае, если и то, и другое не содержат общих образующих их частей (мы не рассматриваем здесь случай взаимного влияния только потому, что он лишь усугубляет отношения зависимости). В физической среде можно говорить, например, о независимости свечения одной звезды от свечения другой, они практически не вступают в отношения обмена веществом, и то подобное заключение можно относить лишь к активности процесса испускания энергии во вселенную. Другим очевидным подобного плана примером и следует понимать специфику австралийской фауны, изолированной от эволюционных процессов на других материках. Тогда уже в приложении к идеальной действительности вряд ли следует предполагать какую-либо полную независимость ее форм, поскольку все такие формы явно невозможны вне подкрепления двумя наиболее существенными нормами или посылками: принципом точки (репера среды изотропных направлений, «сферической симметрии») и самого принципа изотропии направлений. Построение любой номиналистической конструкции просто исключает всякую возможность в отсутствие понятия о точке и об исходной изотропии направлений, на фоне которой и строятся векторные направления.

Тем не менее, теперь уже в части своего рода «конкретных» обстоятельств наш вопрос явно допускает отнесение теперь уже к иному предмету: если дан определенный угол, то дана ли в таком случае и биссектриса данного угла? Если, в дедекиндовом смысле, среда задается сразу, включая в себя и «результаты операций», выполняемых над чем-либо, то и конкретная биссектриса, как и другие сущности, допускающие образование посредством выполнения «операций над чем-либо», также немедленно допускают задание в момент задания тех объектов, что собственно и представляют собой предмет подобных операций. В отличие от физического мира идеальная действительность явно не знает аналогов проливов и морей, отделяющих Австралию от других континентов, и в указанном нами «дедекиндовом» смысле она и предполагает одновременное становление сразу во всем ее многообразии. Или – уже в момент становления идеальная действительность и располагает всем, что в отношении одной группы ее сущностей и составляет собой «результат операций» над некоторой другой принадлежащей ей группой. Однако мы не предрешаем вопроса о том, что структура последующих комбинаций позволяет создание и взаимоисключающих синтетических нормативов, таких, как комплексные и действительные числа или как сферическая поверхность и поверхность Мёбиуса, мы лишь утверждаем, что в смысле востребования ими некоторых констуитивов сущности номиналистической сферы явно не допускают даже возможности разотождествления.

Ниже уже в разделе «Заключение» мы все же позволим себе предложить здесь и наше суждение о непосредственно предмете «природы» идеального. На наш взгляд онтология определенно невозможна без включения в нее и особой условности Дедекиндовой среды, комбинации, реализуемой одновременно с реализацией и определенной мощности средств этой среды, сопоставленных ее сущностям и операциям, причем одновременно всему, что способно послужить результатом операций над сущностями и операциями во всем многообразии проекций подобного результата.

Огл. Гёделева «полнота» обращения мира на самого себя как на объект

Мы, как и в некоторых предыдущих случаях, откажемся здесь от рассмотрения «проблемы Гёделя» в характерной данной проблеме конкретике, но определим подобную проблему уже в нашей собственной системе понятий как проблему предоставления непосредственно «миром отношений» средств и инструментов для когнитивного выделения состава того же самого мира отношений. То есть, если допустить здесь достаточно грубую метафору, то мир номиналистических отношений и предполагается видеть, против чего и возразил Гёдель, аналогом консервной банки, что одновременно включает в себя и механизм консервного ножа. Но если все же допустить некоторое развитие предложенной метафоры, то нож, прежде употребления в дело, все же позволяет предполагать и его отделение от того самого полного «комплекса», в чем он и состоял одновременно с консервной банкой. Итак, теперь уже своими словами мы и предполагаем здесь постановку такой задачи, которую условно и определяем как «задачу Гёделя»: допускает ли мир номиналистических отношений отделение от него такого объекта, что и позволяет обращение дескриптором данного мира? Положим, таким дескриптором и следует определять сущность по имени «единица» или, вполне возможно, пару сущностей «ноль, единица», или структурную модель по имени «множество» или, возможно, и некоторые другие конструкции.

В таком случае, что же именно и означает нахождение объекта в единстве с некоей средой, допускающей его последующее выделение и разотождествление как внешнего этой среде? Это означает факт существования для объекта и его прежней среды и некоторой метасреды, где и возможно помещение выделенного исходной средой объекта и так же, на тех же правах объекта и как таковой выделившей объект среды. Тогда уже на фоне подобной возможности и та сущность, что ранее и предполагала отождествление как «среда», но не исключала и построения в ее отношении метасреды, явно не позволит отождествления в качестве первичной среды, но явно и будет предполагать представление как нечто, допускающее распространение на него и стороннего упорядочения. Так, в частности, Р. Дедекинд использовал для своего описания «мира номиналистических отношений» картину сферы условных форм, на условиях которой подобные формы и обнаружили способность вступления во взаимные отношения «размещения». Иными словами, в предложенной им схеме идеализм разместительного принципа (отношения) и позволил обращение той основой, что, собственно, и обеспечила возможность построения модели сложной системы отношений внутри величинных мощностей.

Если это наше понимание верно, и в условиях отсутствия метасреды мир отношений и не позволяет обращения на самое себя как на объект, то и сама по себе «проблем Гёделя» лишена смысла просто в силу условий онтологически общего порядка. Такая проблема, скорее всего, это обычный «парадокс лжеца» и в подобном отношении она явно и допускает сравнение с тем же философским «солипсизмом», который таким же образом представляет собой разновидность данного парадокса, где, поскольку для солипсизма фиктивно и прошлое, то в условиях подобной недействительности невозможно и собственно событие. Тогда чтобы уйти от действия «парадокса лжеца», здесь следует понимать возможным лишь единственное решение – если некое существование мы и склонны понимать в качестве солидарно действующего в полном объеме его элементов, то и коллизию такого действия следует определить вне данного существования. (Реально это означает: приписать такой коллизии уже иную природу.) Принятие подобной онтологической нормы и обращает «теорему о неполноте» в излишнюю; во всяком случае, это наше представление и следует понимать основанием нашего решения не рассматривать проблематику вероятного «самоописания» мира отношений.

Огл. Закон конструирования имен

Рассмотрение предмета предложенных Р. Дедекиндом систем «нередуцируемого» (неотсекаемого) многообразия и предоставляет превосходный повод для исследования проблемы синтеза используемых математикой имен величинных сущностей. Почему, в самом деле, именование величин разных численных форматов представляет собой комбинацию подлежащих первоначальному определению непременно имен натуральных чисел, а не, в частности, форм или элементов составляющих собой множество действительных чисел? Неужели корни подобного решения только лишь исторические, именно и следующие из того, что для простейших вычислений было достаточно только натуральных чисел? Это, с одной стороны, и так, и, с другой, ни в коем смысле не так, а чтобы понять подобный предмет, нам вновь предстоит получение некоторых выводов из предложенных Р. Дедекиндом принципов.

Прежде всего, следует обратить внимание, что Р. Дедекинд объединяет в общий класс и численные величины, служащие средством задания начальной квалификации, так и результаты выполнения некоторых операций над величинами. При этом средства задания начальной квалификации по отношению результатов выполнения операций над ними в определенных ситуациях и определенных пределах отличает и способность перемены мест и в непосредственно предлагаемой им системе и, также, в собственно счислении, что устраняет определенность статусов в части способности задания начальной квалификации или обращения результатом выполнения операции. Скорее всего, здесь явно возможно предположение, что именно в смысле степени сложности между операциями и их результатами также возможна определенная корреляция, не допускающая обращения какой-либо «прямой» зависимостью. Однако более важно то, что сложные операции, хотя это и не вполне корректно в математическом смысле, явно и позволяют отождествление в качестве структур, чьими элементами и следует понимать простые операции или же они позволяют отождествление уже в качестве структурных аналогов подобного рода систем или комплексов простых операций. (Автор некогда предпринял попытку убеждения представителей математики в части применения к операции умножения определения «серийное сложение», однако услышал возражение в том смысле, что коэффициентом серии вряд ли может определить действительное число.) Если же наше допущение правомерно, то и возможность исходной фиксации имени, допускающего и дальнейшее использование в некоей последующей синтетической именной структуре, и следует предоставить тому, что явно допускает понимание результатом более простой операции. По Дедекинду в качестве наиболее простой операции и следует определять «отображение», или, фактически, построение логической проекции, результат использования операций «тождественно» и «нетождественно», аналогичных «да» и «нет» и «истинно» и «ложно». Если следовать предложенной им концепции, то именно логически выводимые «отображения», результаты синтеза, в которых исходное и предполагает задание именно в его неразделенности и только в качестве условия наличия, и позволяют использование в качестве средств построения имен величинных мощностей, достаточных и для использования в последующем синтезе. Отсюда мы и постулируем следующий принимаемый нами «закон»:

имена величинных мощностей и предполагают синтез из элементов, чья структура допускает построение из наиболее простых в смысле мира величинных отношений структур, то есть из отношений, где величина проявляется еще не сама собой, но только на положении логической комбинации в составе еще неопределенной в величинном смысле топологии мира.

Огл. Человек и его познание мира номиналистических отношений

Постулируя условия, ведущие к модели «сразу устанавливающейся» среды, Р. Дедекинд фактически и обозначил вектор развития человеческого познания мира номиналистических отношений, понимаемый в подобном смысле как тенденция наложения на познавательно «начальные» сущности и результаты операций с ними новых в части «эпистемологического качества» возможностей совершения операций. Но мы в подобной связи признаем существенное значение ответа и на следующий вопрос, – в таком случае, какие же именно форматы подобного рода «новых» возможностей и позволяют определение в данной связи?

И один из подобных форматов нами уже фактически назван – это выделение сущностей, типизирующих определенные результаты соответствующих операций, в частности казус введения рациональных чисел в качестве обобщения, в том числе, и всех возможных результатов от деления целых чисел. Здесь и происходит расширение сферы семантики, прежде ограниченной недостаточным объемом возможностей существующих форматов представления позволять описание некоторых формирующихся отношений. Но в данном случае мы видим пример в известном отношении «простого» пути развития представлений о предмете отношений номиналистического типа.

Другим и более сложным направлением развития человеческого познания мира номиналистических отношений тогда и следует определять предметы, явно допускающие подведение под единую типологию посредством задания понятия условий построения комбинаций. Хотя здесь мы несколько отдаляемся от предмета величинных мощностей («чисел»), обращаясь уже к алгебраическим выражениями, тем не менее, пределы нашей темы также позволяют выделение и подобной специфики, поскольку алгебраические выражения представляют собой записи процедур операций в формате инкогнито величин. Это самое «инкогнито», заместившее в алгебраических выражениях непосредственно величины, хотя и допускает представление в качестве объекта некоторой «внешнего» включения для системы «Дедекиндовой среды», тем не менее, все же продолжает исполнение ее функции средства описания связей этой среды и потому, в том числе, и предполагает обращение предметом нашего исследования. И в данном смысле превосходным образцом подобного предмета можно назвать приводимый и Э. Гуссерлем пример алгебраического преобразования a2 – b2 = (a + b) · (a – b). Здесь если и рассматривать некие числа, связанные операцией вычитания в смысле выражения ими условия квадратов других чисел, то подобная их комбинация допускает трансформацию этого выражения в произведение суммы и разности самих образующих величины второй степени чисел. Подобного рода комбинаторика, неявно, в смысле когнитивных возможностей человека, следующая из структуры операций над числами и представляет собой вторую, более сложную область человеческого познания мира номиналистических отношений. Но и ее также следует понимать системой фиксации условностей, образованных теперь уже как результаты операций трансформации порядка действий над числами, и результаты операций над этими результатами. Но и здесь, за исключением введения условия «описатель», мы опять же раскрываем предмет той же самой реализующейся во всех своих последствиях среды, фактически единомоментно заданной определением самих ее изначальных условий. (Возможность трансформации порядка действия над числами тогда и следует понимать означающей: для операций с величинами существуют хотя и различные, но обеспечивающие одинаковый результат порядки последовательности выполнения операций над величинами.)

Огл. Заключение

Итак, как это и было определено выше, принцип «сечения» в его онтологической проекции явно позволяет признание действительности нечто формации «Дедекиндова среда», некоторого рода условности мира, событие становление для которой, если, конечно, такая интерпретация возможна, и представляет собой становление сразу всего определяемого в такой среде многообразия. Конечно, если судить именно в онтологическом смысле, то такое свойство и следует определять как свойство внереализационности, то есть свойство неподчинения порядку актуальной реализации, то есть такой реализации, что именно в данный момент времени и воссоздает нечто принципиально непротиворечивое и уместное по условиям данного окружения. В точности такой же «структурой формации» следует понимать и ту же сетку химических элементов, заданную как характерный некоей среде «объем возможности», но не обязательно полностью реализуемой в данном фрагменте подобной среды. Альтернативой «Дедекиндовой среде» и следует определять контингентно условные группы, например, футбольную команду, для которых уже доминирование символизма наличия над символизмом структуры и находит выражение в определенной вариативности условия наличия; команда по воле судьи удаляющая полевого игрока все же не утрачивает (праксиологическую) идентичность в качестве все той же команды. Для «Дедекиндовых сред» символизм структуры абсолютно полон, не допуская произвольного изменения, а наши меняющиеся возможности представления таких сред явно не предполагают отражения на самих средах, но предполагают отражение именно на наших возможностях, собственно и ограниченных объемом извлекаемых из опыта подобного познания операторов категоризации.

Следующим выводом настоящего анализа и возможно понимание вывода о том, формирование всякого представления, в том числе и такого отвлеченного как модель мира отношений, определяемых в статусе величинных мощностей и выстраиваемых ими проекций, определенно и предполагает использование такого средства, как возможность фиксации. Всякое наше рассуждение о наличии некоторых связей либо зависимостей именно потому и возможно, что мы уже располагаем неким инструментарием, включая сюда и некие средства спекуляции, в частности, способы построения связи аспекта системы с «пространством» системы, или - проецирования позиционируемого элемента на регуляризирующее основание. Теорию же аппарата фиксации, как необходимого инструментария познания, следует понимать необходимой основой гносеологической структуры любого последующего упорядочения первоначально обычно «стихийных» познавательных прорывов. Такая теория, если и искать возможности ее корректного позиционирования, непременно в отношении подлежащей познанию сферы и будет представлять собой концепцию некоторых «предаксиом».

И еще нам явно следует уделить внимание и собственно предмету значения для моделирования метода актуализирующих позиций. Мы явно лишены возможности утверждения относительно всякого натурального числа, что оно исключено из множества действительных чисел, или, напротив, что ноль и следует понимать «абсолютным» вхождением для любого возможного отсчета. Далее уже собственно принцип отождествления сущности непосредственно в качестве воспроизводимого определенным инструментом «сечения» и не позволит отождествления в качестве средства получения результата, сообщающего некоторый абсолютный смысл, что, в частности, и имеет место в случае зависимости характера величины от типа счисления. В таком случае сущность и будет предполагать ее понимание множеством и даже комплексом различных результатов, где спецификой каждого подобного результата и следует определять использование некоего средства отождествления.

Но и наиболее существенным посылом метода, примененного Р. Дедекиндом в исследовании мира отношений величинных мощностей, и следует определять именно требование построения комплексной модели, для которой недопустимо отделение посылок и последствий. Существуют определенного рода структуры, в которых уже собственно посылки и обращаются дескрипторами последствий, и интегрированному выражению и тех, и других и препятствует не более чем недостаточное развитие когнитивной практики, употребляемой в подобном определении. Вопрос семантической природы дескриптора и послужил основным предметом предпринятого нами анализа собственно способа математического доказательства.

02.2007 - 11.2016 г.

Литература

1. Дедекинд Р., "Что такое числа и для чего они служат", Казань, 1905
2. Дедекинд Р., "Непрерывность и иррациональные числа", Одесса, 1923
3. Смит Б., "Отображение мира в семантике"

 

«18+» © 2001-2019 «Философия концептуального плюрализма». Все права защищены.
Администрация не ответственна за оценки и мнения сторонних авторов.

Рейтинг@Mail.ru