Математику, в ее современном состоянии, можно определить, скорее всего, претендентом на статус, если сопоставить ее с другими научными дисциплинами, высшего в смысле уровня интеллектуальных требований знания. Последнее позволяет предполагать и высший уровень своего рода «качества» используемых математикой методов решения как вычислительных задач, так и методологических, и теоретических проблем. Скорее всего, любая попытка постороннего, в том числе и философского, вторжения в практику математического познания окажется поэтому лишенной оснований уже в силу высочайшей эффективности самой математики в сфере именно конкретных проблем математического познания. Но определенная группа как-то связанных с математикой проблем, не относящихся непосредственно к практике конструирования используемых в математических моделях сущностей и комбинаций, и, отсюда, и не превращающихся в предмет изучения математического познания в силу, пожалуй, лишь косвенного влияния подобной проблематики на развитие математического познания, позволяет ее исследование и на «внематематическом» поле.

Проблемы, от разрешения которых фактически отказывается математика, хотя они и относятся к некоторым ее общим или категорийным особенностям, связаны с проблемой проекции корпуса математической систематики на мир в целом, с проблемой особенностей употребляемых в математическом познании логических конструкций (здесь мы, все же, позволяем себе вольность: данная тематика широко представлена в «метаматематике»), как и с проблемой связанной с математическим практицированием когнитивной специфики. Мы допускаем, что если попытаться сформулировать сторонние, не исходящие от самой математики ответы на данные или им подобные вопросы, последнее вряд ли чему может повредить.

Какие же, в таком случае, посылки могут определить содержание подобного рода рассуждений? В частности, первой такой посылкой следует понимать тезис о безусловной объективности существования нечто онтологии идеального. Идеальное, в качестве некоторого рода пространства варьирования отношений, существует именно само по себе, формируя в его наложении на физическое всего лишь связи условного соответствия. Поэтому физическая реальность лишь в пределах данного уровня грубости опыта может допускать ее соотнесение с некоей идеальной теоретической моделью. Философская же история онтологии идеального прослеживается уже от времени появления известного тезиса Э. Гуссерля, высказанного в первом томе «Логических исследований», о непсихологическом характере логики. Известным автору крупным современным представителем онтологии идеального следует признать и американского философа Барри Смита, в частности, исследовавший круг подобного рода проблем в работе «Логика и формальная онтология» (1989 г.). Далее, второй подобной посылкой может послужить положение о практицистской избыточности логики и реальной редуцируемости корпуса логических средств к единственной позиции «отношение эквивалентности», проецируемой на топологию организуемой с помощью данного отношения условности. При этом понятие «топология» будет описывать у нас не именно отношения физических или геометрических пространств, а любую группу фиксирующих правила построения сочетаний и последовательностей норм. Кроме этого, наше настоящее рассуждение следует основывать и на мотивированном нами ранее отказе от принципа «логического следования». Дело в том, что человек мыслит любые сущности в соответствии с окружающим его миром физического синтеза. В частности, примером подобного понимания может послужить обыденное суждение «яйцо для варки следует на 5 минут погрузить в кипяток». Поэтому мы будем понимать операцию логического следования не обладающей собственным смыслом сущностью, но образцом антропного переноса отношений физического синтеза на порядок отношений между идеальными сущностями. Мы исключаем для идеальных сущностей саму возможность вступления в сходные с физическим синтезом отношения, в котором действует основанное на схеме выделения темпоральных стадий разделение по принципу «от было к стало». И четвертой используемой нами посылкой окажется наше субъективное признание философской онтологической значимости исключительно лишь за работами в данной области всего одного представителя математической науки – Рихарда Дедекинда .

Далее мы постулируем некую модель «4-х основных проблем философии математики» вначале в кратком, а далее и в подробном формате и покажем характер взаимного влияния, проявляющегося в случае определенного решения одной проблемы на возможности решения другой. Здесь мы будем следовать высказанному ранее нашему пониманию философского смысла сформулированной Р. Дедекиндом «концепции непрерывности».

Однако прежде, чем приступить к подобному конструированию, нам потребуется пояснить одну важную, хотя и не столь, несмотря на некоторую распространенность, особенность используемой нами терминологии. Мы будем различать здесь два особенных - принципиальное и спекулятивное решение проблемы. «Принципиальным» мы понимаем решение, выражающее определенный постулат, заключающийся во введении или устранении некоего общего ограничения. Иллюстрацию данного тезиса можно обнаружить, в частности, в биологической таксономии, заменяющей заданность по фенотипу заданностью другого порядка: под «биологическим видом» можно понимать присущую определенной группе животных способность принесения продуктивного потомства. «Спекулятивным» мы будем называть решение, обладающее, в том числе, также и свойствами принципиального, посредством которого допускается создание различных отношений, располагающих подобного рода связью. Если мы допускаем, например, для некоторого химического элемента проявление как окислительных, так и восстановительных свойств, то его позиционирование в каждой из данных групп понимается нами как спекулятивное.

Итак, если ограничиться кратким перечислением, то математическая действительность допускает формулировку, с нашей точки зрения, следующих 4 проблем общего онтологического характера:

По порядку анализ четырех представленных нами проблем мы начнем с первой из них. Реальность математической деятельности такова, что подавляющее большинство известных автору математических концепций, фактически за исключением сформулированной Р. Дедекиндом, понимает математическую систему обладающей онтологическим признаком конституируемости. Именно в подобном смысле можно понимать многочисленные попытки выражения начальных констуитивов математической условности, отвечающих в дальнейшем построении за образование сущностей второго порядка. Если же на данный вопрос ответить «в духе» выраженной Р. Дедекиндом идеи «непрерывности» величинной среды, то сама собой первая проблема философии математики утрачивает спекулятивное содержание, сохраняя только принципиальное, определяя при этом в качестве сферы разрешения спекулятивных вопросов названные нами третью и четвертую проблемы философии математики. Во всяком случае, при очевидном «донкихотстве» фактически противопоставленного всей остальной математической традиции подхода Р. Дедекинда, общее отношение к системе математики в целом мыслится познанием либо, с одной стороны, как к объективно допускающей постепенное конституирование, либо, с другой, как к целостно самоданному суббытию.

При этом мы позволим себе следующую вольность. Конечно, мы отдаем себе отчет в том, что математическая традиция содержит множество далеко не одинаковых формализующих модель постепенного конституирования гипотез и теорий. Нам не столь важен здесь анализ специфических отличий подобных теорий, сколь важен признак отличающей их в силу фактически единого посыла общности – приверженности принципу «постепенного конституирования». Чтобы предоставить, все же, некий образец подобного подхода, автор отсылает читателей к фундаментальной работе по математической логике и теории множеств Френкеля и Бар-Хилела «Основания теории множеств».

Постановка заключающегося во второй проблеме вопроса на первый взгляд может показаться нарочитой. Вряд ли существует физик, способный, например, утверждать, что «в наблюдаемом мною физическом процессе выстраивается совершенно иной ряд натуральных чисел» или «в сверхплотной материи меняются не только физические характеристики, но численное значение основания натурального логарифма». Однако переход к более сложным конструкциям математического описания и попытка определения, например, статуса взаимосвязи «пространства-времени» в формате выделения особых счетных «пространств» часто приводит авторов физических моделей к мысли о локальной изоляции определенных математических зависимостей в определенных физических пределах. Поэтому данная проблема, фактически не располагающая спекулятивным содержанием в случае констатации независимости математического корпуса в целом от какой-либо физической локализации, приобретает его в случае констатации возможности такого рода зависимости. Если мы основываемся здесь на не предполагающей спекулятивного развития принципиальном понимании независимости математических конструкций от физической локализации, то мы, посредством первой проблемы философии математики относим любое спекулятивное решение о составе математического корпуса к области третьей и четвертой проблем. Здесь следует лишь оговориться, что деятельность человека, даже если мы понимаем ее воплощением духовного начала, в силу неизбежной в ее осуществлении востребованности физических пространства, времени и материи, требует её интерпретации обязательно в качестве физически же локализующего математическую практику фактора. Если мы понимаем математику зависящей от бытования человека, то мы в составе данного представления понимаем ее и зависимой от физических начал.

Третью проблему философии математики следует понимать неотъемлемым дополнением первой проблемы, как бы ни была решена нами эта первая проблема, допускай оно только принципиальное, или помимо него, и спекулятивное решение. Кроме того, третья проблема не подразумевает возможности какого бы то ни было принципиального решения. Третья проблема – это сводный предмет различного рода спекулятивных решений, построенных при помощи определяемых уже в решении первой проблемы оснований. Если первая проблема решается в доминирующем в математической традиции «ключе» – область математики понимается конституируемой и сама первая проблема допускает спекулятивное решение, то на долю любых решений третьей проблемы остается получение ответов на вопросы о субъективно определяемых средствах представления математического содержания. Наиболее примитивной из таких задач следует понимать анализ структуры записи чисел, отличие в системах показа цифр, разрядов, порядка счета и т.п. Или же здесь можно говорить о специфике понимания доказательств как представляемых в графической или алгебраической форме, понимании функции как непрерывного процесса и вообще любой проблемы выбора семантического инструментария для отображения собственно величинных или следующих из них проблем.

Если, напротив, первая проблема философии математики решена таким образом, что ни о каком постепенном конституирующем развитии системы математики в целом говорить не приходится, то уже рамки данной третьей проблемы философии математики и будут фактически полностью определять все стороны математического практицирования. В таком случае мы вместо своего рода «истинного» конституирования математической системы обратимся к ее когнитивному конструированию, источником которого служит уже антропно специфическая перцепция. Основываясь на том, что именно в антропной перцепции и следующей из нее семантике представляет собой основания или начала последующей дедукции, мы сможем создать теорию актуализированного конструирования сущностей величинного и комбинационного представления, и составляющих собой собственно «костяк» математики. При этом уже относительно именно специфически свойственных человеку механизмов интерпретации, мы и развитие языка и систематики математического знания будем проецировать на исторически порождаемую актуальную конституцию определенных математических представлений; подобная проекция будет представлять собой историко-эпистемологическую сущность, но отнюдь не объективированную собственно возможностью выделения математического суббытия категорию. Естественно, что одним из главных признаков подобной модели окажется актуалистическая проекция, связывающая текущее состояние развития познания в целом с востребованностью в конструировании подобных моделей аппарата математического представления связей и отношений. В данном случае, скорее всего, будет иметь место концептуализации используемой модели математики как некоторого бесконечно продолжающегося приближения к совершенному представлению о «математической действительности».

Кроме уже сказанного здесь о «третьей проблеме философии математики», данная проблема будет включать в себя и анализ свойственной конкретному интеллекту комбинаторной способности оперировать математическими представлениями. Причем данная часть «третьей проблемы» философии математики будет включена в ее состав независимо от какого бы то ни было прочего содержания, в том числе и ее предопределенности решениями предыдущих проблем. Искусство математического мышления, проявляемое им в поиске часто неочевидных продолжений некоторой величинной или алгебраической комбинации, основанное на специфике именно характерных подобному складу мысли возможностей, представляет собой определенный интерес для философской гносеологии и теории семантики.

К содержанию третьей проблемы философии математики, относится, конечно же и статус такого предмета как математическое доказательство. В случае решения первой проблемы философии математики в традиционном ключе доказательство требует его раскрытия в философской модели «третьей проблемы» в качестве постепенного конституирующего процесса. Если же первая проблема философии математики решается в смысле, называемом нами «дедекиндовым», то «математическое доказательство» требует его понимания в статусе антропного когнитивного акта, основанного на свойственных человеку возможностях «членения и распределения» мира. То есть, в смысле Б. Смита и Ж. Петито это будет основанный на выделении из состава мира качественных прерывностей синтез форм отношений между этими выделенными формами и организующими их метапорядковыми прерывностями.

А по существу упомянутые нами вопросы изучения математической теоретизации, которые мы в совокупности обозначили как «третью проблему» фактически замещают всю философию математики в целом, поскольку то, что традиционно понималось «философией математики», как раз и представляет собой поиск ответов на поставленные в рамках «третьей проблемы» вопросы.

Четвертая проблема философии математики касается понимания возможности некоего гипотетического решения вызывать своего рода математическую «революцию». Положим, в настоящий момент существует понимание факта невозможности получения некоей формулы, позволяющей определять с ее помощью очередное значение простого числа. И далее, неожиданно, посредством доказательства некоторой теоремы простые числа трансформируются в некоторый упорядоченный ряд, что, в свою очередь, влечет изменения не только в теории чисел, но и в некоторых иных математических представлениях. Данный сугубо гипотетический пример приведен нами лишь для иллюстрации, скорее всего, именно на данном направлении математическая «революция» вряд ли ожидаема. Но кроме сугубо гипотетических вещей можно назвать и ряд вполне уже ставших обыденными для математической практики проблем, по существу полностью пересматривающих представления о величинных и, в особенности, спекулятивных конструкциях математики. В частности, здесь следует назвать появление моделей различного рода пространственных структур, носящих имя «неевклидовых пространств». Предмет появления специфических описаний структур, наделенных в разных случаях смыслом базисных, и построенных по модели функциональной связанности, например ортогональной симметрии Евклидова пространства, требует его анализа в смысле влияния подобной широты возможностей на соотносимое с предметом математики в целом представление о присущем такому отделу бытия принципе рациональности.

Если теоретически обобщить сказанное нами о содержании четвертой проблемы философии математики, то фактор структурного многообразия математических формаций и упорядоченностей посредством его обобщения и трансформируется в интегральное представление о внутренней рациональности математики. Хотя как всякое человеческое математическое представление, он лишь приближается к некоторой истинной картине рациональности сферы математики, но, тем не менее, и в своей актуальной форме такое представление отображает рациональность собственно математической сферы относительно актуально достигаемой человеком глубины ее познания. В определенном смысле философское представление о внутренней рациональности математики оказывается и представлением о глубине достигнутого человеческим познанием понимания математики.

Итак, фактически собственно широкая спекулятивная часть философии математики оказалась сосредоточена в третьей и четвертой основных проблемах философии математики. Однако ограниченность спекулятивного поля первых двух проблем не умаляет их важности, поскольку именно их разрешение и формирует исходные посылки последующего детального анализа уже содержания математического корпуса как такового. А в силу этого философия математики распадается на две заключенные в ней «глобальные» проблемы: места математики по отношению бытия в целом и возможностей математики как системы, несущей в себе определенную специфическую упорядоченность.

Обсуждение данной работы на конференции «Философия математики» 15-16 июня 2007 г. затронуло и следующую любопытную проблему. Слушатели попросили нас обосновать выбор количественной нормы именно четырех основных проблем философии математики. Подобный выбор по существу случаен и вот почему.

Возможность предопределения состава модели некоторой действительности открывается, по существу, только в случае, если данная действительность хорошо или добротно отождествлена на теоретическом уровне. В таком случае прояснен и состав констуитивов исследуемой сущности и существует возможность, если не в абсолютном смысле, то в части каждого из уровней иерархии модели понимать, каковой может быть мощность множества составляющих этот уровень элементов. Для философии же, реально не располагающей никакой теорией предмета математики, такое определение заведомо невозможно. Тогда, если мы определим предметом философского исследования некую «сумму» в виде как, с одной стороны, изучаемого наукой «математика» предмета, так и, с другой, предмета уже используемых математикой методов, то подобная сумма будет означать для философского опыта некий эмпирически данный феномен. Какие именно функционально завершенные проблемы помогут описать нам подобный феномен, нам теоретически заведомо вряд ли дана возможность предопределить.

Наконец, в завершение нам следует сказать несколько слов о не объявленной вначале, но очевидно просматривающейся в данной работе ее методологической посылке. Дело в том, что модель философии математики сконструирована нами на основе аппарата строго альтернативных бинарных оппозиций. Возможно, что, например, оппозиция между «дедекиндовой непрерывностью» и возможностью конституирования математической системы на основе «начал» не вполне альтернативна. В подобном случае наша схема, если она и соответствует положению вещей, то соответствует всего лишь приблизительно, не позволяя получить здесь точное решение. Однако нам остается надеяться, что сам «вектор поиска» в области группы проблем философии математики определен верно – это анализ идеального на предмет применимости к нему модели событийно последовательного синтеза. Вопрос о том, является ли предмет событийной последовательности познания математики чертой собственно математики или составляющей когнитивной специфики человеческой интерпретации требует, безусловно, его философского решения.

06.2007 - 10.2010 г.

Литература

1. Дедекинд Р., "Что такое числа и для чего они служат", Казань, 1905
2. Дедекинд Р., "Непрерывность и иррациональные числа", Одесса, 1923
3. Френкель А.А., Бар-Хиллел И., "Основания теории множеств", М., 1966
4. Гуссерль Э., "Логические исследования", т. I, 1911
5. Шухов А., Проблема логического следования
6. Шухов А., Невыводимость отношения эквивалентности
7. Шухов А., Правота Дедекинда
8. Smith, B., "Logic and Formal Ontology", в J. N. Mohanty and W. McKenna, eds., Husserl's Phenomenology: A Textbook, Lanham: University Press of America (1989), 29-67., наш перевод Логика и формальная онтология.
9. Petitot, J., Smith, B., "Physics and the Phenomenal World", в R. Poli and P. M. Simons (eds.), "Formal Ontology", Dordrecht/Boston/London: Kluwer, 1997, 233-254., наш перевод Физический и феноменологический мир.