Математика, если понимать ее как практику познания, то это практика познания, не знающая возможных пределов, а потому допускающая и поиск решения для, казалось бы, не имеющей решения задачи. Положим, в этом случае возможна постановка такого, вряд ли особо сложного вопроса - возможно ли деление единицы пополам? Ответ представителей математического знания, пусть и опирающийся на некие размышления, - данное деление явно возможно, если представлять результат не посредством натурального числа, но посредством рационального числа.

С другой стороны, принцип подобного рода конверсии, смена одного основания упорядочения на другое основание упорядочения, по сей день так и не предполагает теоретической или, лучше сказать, типологической обоснованности. Если это так, то в смысле философского понимания полезно определение и группы вопросов, связанных с практикой математического познания, а равно и с предметом основной типологической единицы данной практики познания - квалификации число (или - характеристика величины).

С философской точки зрения здесь разумна постановка трех следующих вопросов, затрагивающих проблематику статуса “характеристики величины”:

1. Правомерно ли признание общей “характеристики величины”, включающей в себя все известные математике форматы представления величины тогда и как нечто “единый предмет”?

2. Если характеристика величины все же далеко не единый предмет, то возможно ли ее понимание как типологической категории, охватывающей собой несколько отдельных предметов, где позиции таких “предметов” будут предполагать отождествление различным “форматам задания” величины - натуральное, рациональное, действительное число и т.п.?

3. Возможно, что форматы представления величин в математике - это и такая специфическая типология, что в принципе не знает никакой общности, откуда и такого рода квалификации - это лишь некие “вспомогательные маркеры”, появляющиеся по причине употребления универсального, но в содержательном отношении произвольного понятия “число”?

Поиск ответов на поставленные здесь вопросы все же надлежит начать с определения позиций, занимаемых в дискуссии с философией не только математикой, но и другими направлениями познания.

Дело в том, что условность такой сущности как “характеристика величины” (число), в отличие от предметов опыта, изучаемых другими видами знания, обеспечивает математикам, в случае дискуссии с философами, равно и одно очевидное преимущество. Источник этого преимущества - то качество характеристики величины, в силу которого, в отличие от множества иных предметов научного опыта, она лишена статуса, определяющего ее место внутри бытия.

Так, для обретения понимания такой особенности, очевидного “отсутствия” бытийного статуса числа равно возможен и анализ условного диалога философа и представителя любого другого вида познания, положим, науки “ботаника”. В частности, если философ предложит некий тезис, а оппонирующий представитель ботаники предъявит возражения, адресующиеся к отсутствию у философа глубокой осведомленности в предмете ботаники, незнания множества нюансов лиственных и хвойных, сложноцветных и крестоцветных, то здесь философу не составит труда подтвердить за собой возможность выражения им рациональной аргументации.

Философ в таком диалоге все же сможет опереться на факт, что наука “ботаника” апеллирует к предмету достаточно сложной систематики, однако любую описываемую ботаникой форму существования, благодаря наличию у нее статуса внутри бытия все же дано отличать и известной открытости для прямого философского исследования именно на уровне “достаточности” философского представления.

То есть ботаника все же знает такой очевидный предмет, что определяется как “растение” то не иначе как на положении материального тела, чью принципиальную специфику и составляет собой присущая ему форма динамической организации (то есть - состояние никогда не прерывающегося в растении процесса обмена веществ). Конечно, для философского понимания уже вполне достаточно наличия данной важнейшей посылки, а далее приложение такой рамки - это и начало осознания всей сложной конституции растения как предмета исследования науки “ботаника”. Философия и рассматривает здесь некую “позицию притяжения” научных интересов науки “ботаника” не более чем на уровне базисного констуитива, полагая предметом собственно ботаники тогда исследование конкретной систематики.

Однако такого рода “исходный пункт” или сложно или невозможно определить при организации дискуссии философа и представителя математического знания. Так очевидная особенность такой дискуссии - манера представителя математического знания в части заявления претензии, что, незнакомство с полным корпусом математического опыта, как можно понимать, не позволяет даже и думать о возможности философского рассмотрения какой-либо математической проблематики. Иными словами, с точки зрения всякого представителя математики то же самое отдельное знание любых, натуральных ли, рациональных ли или действительных чисел не позволяет нам обсуждать предмет математики с подобной частной стороны. Отсюда как таковой комплекс математических представлений и есть нечто комплекс представлений, что непременно отличает то качество “целостности”, что и требует его задания то непременно всецело и прямо исключает способ задания при посредстве того или иного фрагмента. В таком случае сама категоричность подхода представителя математического знания и обращается причиной постановки вопроса о справедливости подобного видения, и - равно и рассмотрения подозрений в том, а не заключает ли эта постановка вопроса и некоей парадоксальности?

В таком случае, что именно надлежит определить как прямую причину занятия математиками столь ультимативной позиции? Скорее всего, основной мотив избранного ими подхода - защита как такового метода построения форм и операторов математики то непременно посредством дедукции. Если в условиях следования подобному порядку некоторые математические представления вводятся фактически “без объяснения”, то в силу успешности самого метода математики это уже не принимается в расчет. В данном отношении направленность усилий математики и позволяет признание как определяемая следующим намерением - ни в коем случае не допустить вхождение характеристики величины в перечень элементов, соответствующих бытию в целом.

Собственно изоляция от всякой возможности философского “препарирования” главного предмета анализа математики - характеристики величины (числа) - и позволяет математике предпринимать попытки самостоятельного построения самоё себя. Мы же предпримем попытку предложения альтернативного варианта концепции предмета “характеристика величины”, исходя из гипотезы условной функциональной интеграции такой характеристики в как таковую действительность.

В таком случае первая существенная посылка, определяющая специфику условия величины (число) это, на наш взгляд, традиционная проблематика посылок, достаточных для конституирования ряда натуральных чисел. В подобном отношении полезно было бы обратить внимание на решение, исходящее из собственно математики, в частности, в том варианте, в котором его формулирует А. Кожушко:

Как таковую идею представленного здесь рассуждения и образует та мысль, что посредством построения неких комплексных выражений или “конструкций” математика и обращается к попытке определения величины не просто как определенности величины и неопределенности функции, но именно как единой определенности и величины и функции. Число (4) уже самим своим появлением подразумевает то, что ему соответствует т.н. “тройка” (2,2,4).

Однако философское осознание здесь все же видит и некую поспешность в построении схемы, позволяющей получение нечто не столь уж и простой характеристики. Если признавать правомерность принципа, на основе которого имеет место определение тех же комплексных чисел, то элементы числового ряда уже самим своим появлением будут позволять рассмотрение как открыто проявляющие функциональные свойства. Однако, все же куда более вероятно то допущение, что решения, позволяющие образование структур наподобие комплексных чисел в их настоящем статусе - это все же и некая неприемлемая модернизация. Если же не предполагать такого рода “модернизации”, то любое число и надлежит расценивать как прямого “предъявителя” присущих ему особенностей, хотя для человеческого сознания это, быть может, и “очевидно” в отношении чисел где-то до сотни, когда в отношении больших величин человек может определить свойства числа лишь посредством проведения расчетов.

Следование подобным посылкам - явное основание оценки, что натуральному ряду чисел дано предполагать и некое “первоначальное” определение посредством приведения к элементам, заданным в виде функционально неразвитого простого условия, что лишь в некоторой перспективе способны порождать число. Само же получение такого решения возможно лишь при помощи одного доступного способа - метода простого перечисления.

Более того, такому “первичному определению” натурального ряда также надлежит удовлетворять и такому существенному требованию - представлять собой аксиому, а если и не аксиому, то принимать форму, не содержащую условий, возвращаемых из математического познания.

Другими словами, если при определении натурального ряда посредством задания некоторой аксиомы нам встретятся и некие затруднения, то это предполагает тогда и обращение к попытке его определения посредством аналогии или индукции или посредством иного способа заимствования элементов из некоей сферы, характерно внешней математическому формализму.

Тогда одним из вероятных кандидатов на статус “первичного определения” натурального ряда правомерно признание и такого утверждения:

В том числе, что важно, наиболее существенную специфику предложенного определения и образует то обстоятельство, что его “формула” никоим образом не ссылается ни на какие возможности рационализированной интерпретации.

Однако предмет математического знания вряд ли следует определять как ограниченный пределами проблематической области операций сложения и составления сумм и очередей, он также заключает собой и немалый комплекс иных операций над числами. Потому в отношении как таковой идеи “простого основания” принципа или формата величины правомерна и та оценка, как исходя из такого начального ограничения возможно и становление такой формы, что допускает в ее отношении и такую квалифицирующую характеристику как “расширенная математическая индукция”?

Однако прежде чем определиться в самой специфике становления представлений о величине, нам все же надлежит определиться и непосредственно в предмете “расширенной” математической индукции. На наш взгляд, в качестве субъектов или форм расширенной математической индукции правомерно признание всего того содержания корпуса математического знания, что исключает его отождествление как задаваемое первоначальными констуитивами натурального ряда чисел. То есть “расширенная” математическая индукция - это прямой источник всего того множества форм функциональности математики, которые невозможно расценивать как возводимые к комбинации сложения, а также всего выпадающего из подчинения условиям простого отношения “больше”, задаваемого натуральным рядом.

Предложенные здесь принципы - они же и наложение неких ограничений на математические формы и построения, откуда неизбежно предложение пояснения и в той части, как в этом случае дано будет выглядеть простой операции получения величины “1/2” из чисел “1” и “2”? Главной своего рода “философской поправке” математической интерпретации дано, на наш взгляд, означать следующее - возможности, полученные нами благодаря выделению натурального ряда чисел, не позволяют нам принять подобное решение. Но то, что мы можем здесь себе позволить - это совершение следующего шага, возможного лишь на основании принятия некоего допущения.

То есть - если признавать правомерность предположения, что натуральным числам не только дана просто возможность обозначения “количества экземпляров”, но им равно дана и возможность составления собой незавершенного действия деления, то их следующим функционалом и правомерно признание функции обозначения вида пропорции, что и обращается становлением новой формы численного выражения - дроби.

С другой стороны, данное допущение определяет и сам порядок “развития сложности” математической интерпретации - все формы чисел, формируемые посредством неких решений на базе натурального ряда, тогда образуются благодаря совершению одного из арифметических действий.

В таком случае возможно признание справедливости и нечто идеи конституирующей последовательности, фиксирующей развитие сложности, порождаемой расширением математической комбинаторики. Главное условие такого развития - задание принципа такого рода расширения, то есть расширения объема допущений, налагаемых на отличающий натуральный ряд первоначальный порядок отношений.

Натуральный ряд чисел, определяемый не более чем двумя сущностями, - именами чисел и всего лишь единственной манипуляцией “действие сложения” в конечно итоге допускает задание и других манипуляций, представляющих собой, в случае умножения - рационализацию самого сложения, в случае вычитания - операцию обратную сложению, и в случае деления - рационализацию вычитания.

На следующем этапе именно деление и позволяет то допущение, из которого и следует идея нецелых чисел или дробей.

Параллельно с подобным допущением на основе вычитания возможно и другое допущение, порождающее формат или модальность отрицательных чисел.

Более того, далее имеет место и обретение понимания, что если умножение допускает полное приведение к сложению, то деление надлежит определять как в известном отношении “самостоятельное” действие. Деление, в частности, в сравнении с вычитанием все же следует понимать действием “иного рода”, хотя в случае, когда делимое больше делителя, деление все же продолжает оставаться обращением вычитания.

Устанавливаемое же математикой различие между действительными и рациональными числами теперь уже в онтологическом смысле все же следует определять как условное, поскольку бесконечные периодические дроби, хотя такое их состояние и допускает признание только “модальным”, фактически ничем не отличаются от подлинно действительных чисел вроде корня из двух.

Комплексные же числа, как, в данном случае, определяет сама математика, это все же нечто большее, нежели просто “порядковая” форма. Здесь важно понимать, что, как и признает непосредственно математика, комплексные числа “не подчиняются отношению больше”, а потому они и есть наложение нечто внешнего упорядочения на некие порядки, собственно и располагающие к подобному наложению. Все это лишь указывает на то, что, на деле, по признанию собственно математики, комплексные числа явно не располагают никакой проекцией характеристик обозначаемой ими величины, консолидированной по основанию регуляризации.

В таком случае простое обобщение предложенных здесь оценок равно позволит и формулировку общей оценки, согласно которой содержательные проекции математических мер (указателей) на собственно реальность и надлежит расценивать как несущие на себе признаки только лишь двух форматов - определительного и мерительного указателей.

Характерная особенность определительного указателя - та отличающая его специфика, по условиям которой число действий лишено возможности выражения в виде нецелого значения, как, в частности, невозможно сделать семь с половиной шагов, но можно семь полных и один короткий. Подобное отличие, в частности, обнаруживает и глубокий смысл в программировании, где языки программирования категорически требуют указывать число последовательных операций программы (“шагов”) целыми числами.

Равно и рациональные числа, составляющие собой основную форму реализации мерительного указателя, включая в себя, конечно же, и целые числа на положении своего подмножества, также следует понимать как инструмент указания меры - отрезка, допускающего по отношению к “архитектуре” целого промежутка внепорядковый способ формирования при помощи мерной шкалы.

Подводя же итог этой основной части нашего анализа, мы предложим и наш ответ на вопрос, поставленный в начале настоящей работы. Как мы позволим себе оценить, для непосредственно бытия “полноценным представителем” математической комбинаторики в целом тогда и обращается некий идеальный составной объект – система натурального ряда чисел. То есть представительством в бытии характеристики величины следует видеть не представительство величины как представительство самоё себя, но репрезентацию величины как фрагмента или элемента сложного объекта “система чисел”.

Далее с целью пояснения предмета настоящего рассуждения нам надлежит привести здесь и фрагмент дискуссии о предмете онтологического значения математических форм, где роль нашего оппонента взял на себя А. Кожушко:

В данном рассуждении все же можно отметить следующую мысль нашего оппонента - если утверждение в силу присущей ему противоречивости не в состоянии состояться, то оно все же находит себе определение именно как “несостоявшееся”.

Проблемы, рассматриваемые в данной дискуссии, послужили предметом обсуждения и на одном из заседаний “Общества философских исследований и разработок” (ОФИР), состоявшемся 27 мая 2003 г..

Именно выделение подобного ограниченного набора возможностей и позволяет синтез такой условности, как натуральное число и структурирование такой операции как действие сложения. Впрочем, с более основательным анализом подобного предмета можно познакомиться здесь.

05.2003 - 07.2024 г.