Предмет математического знания,
как его по-разному видят математики и философы

Шухов А.

Математику как направление научного познания и отличает та характерная особенность, что ее представителям не свойственно мыслить абсолютных пределов математического анализа и потому допускать возможность и поиска решения для, казалось бы, не имеющей решения задачи. Положим, нас интересует некий не столь и сложный предмет – возможно ли деление единицы пополам? На мгновение задержав ответ, математика уверенно подтверждает – да, подобное деление возможно, если получаемый результат представить не посредством натурального числа, но выразить посредством рационального числа.

Однако подобного рода характерная математике практика построения интерпретации, увы, до сих пор не знает какой-либо теоретической, или, лучше сказать, типологической характеристики. В таком случае и следует начать с определения группы вопросов, что и следует сформулировать философии не только в связи с существованием такой области человеческого познания, как математическое знание, но и в связи с предметом основной используемой в этом знании модели – число (или – характеристика величины).

Собственно философское понимание и предполагает здесь возможность трех следующих вопросов, и все они связаны с проблемой статуса «характеристики величины»:

1. Представляет ли собой характеристика величины, включающая в себя все известные математике форматы представления величины, единый предмет?

2. Представляет ли собой, напротив, характеристика величины условие некоей категории, включающей в себя ряд отдельных предметов, роли которых будут исполнять известные математике численные форматы – формат натурального, рационального, действительного числа и т.п.?

3. Или здесь правомерно предположение, согласно которому форматы представления величины в принципе не образуют общности, и подобного рода виды характеристик или специфики и следует определять как нечто «стилистическую» особенность, не более чем «удобство», имеющее место благодаря употреблению универсального, но в содержательном отношении произвольного понятия «число»?

Поиск ответов на поставленные здесь вопросы и следует начать с прохождения стадии определения позиций, занимаемых в дискуссии с философией не только математикой, но и другими областями знания.

Дело в том, что условность такой сущности как «характеристика величины» (число), в отличие от предметов опыта, изучаемых другими видами знания, и обеспечивает математикам, в случае дискуссии с философами, некоторое очевидное преимущество. Источником подобного преимущества и следует понимать ту характерную особенность, что характеристика величины, в отличие от множества иных предметов научного опыта, не наделена статусом, определяющим ее место внутри бытия.

В частности, чтобы понять предмет явного «отсутствия» бытийного статуса числа и следует рассмотреть условный пример диалога между философом и представителем любого другого вида познания, положим, науки «ботаника». В частности, если философ предложит некий тезис, а оппонирующий представитель ботаники предъявит возражения, адресующиеся к отсутствию у философа глубокой осведомленности в предмете ботаники, незнания множества нюансов лиственных и хвойных, сложноцветных и крестоцветных, то здесь философу не составит труда подтвердить за собой возможность выражения им рациональной аргументации.

Философу явно дана возможность признания факта, что наука «ботаника» апеллирует к предмету достаточно сложной систематики, однако и любая описываемая ботаникой форма существования, благодаря наличию у нее статуса внутри бытия и предполагает открытость для прямого философского исследования именно на уровне «достаточности» философского представления.

Подобной достаточностью на уровне философского представления и следует понимать истолкование предмета по имени «растение» именно в качестве материального тела, чью принципиальную специфику и составляет собой присущая ему форма динамической организации (то есть – состояние никогда не прерывающегося в растении процесса обмена веществ). Философии явно достаточно наличия подобного рода важнейшей посылки, и уже приложение подобной меры и образует для нее бытийную специфику предмета растения как такового, а всю сложную, как раз и вытекающую из подобной посылки комбинаторику философии и дана возможность определить как предмет исследования науки «ботаника». Философия и рассматривает здесь некую «позицию притяжения» научных интересов науки «ботаника» не более чем на уровне базисного констуитива, полагая предметом уже собственно ботаники исследование конкретной систематики.

Но на показанном здесь уровне совершенно невозможно представить развитие дискуссии между философом и представителем математики. В подобной дискуссии со стороны представителя математики обязательно и следует ожидать заявления претензий, и основанных на том, что, якобы, незнакомство с полным корпусом математического опыта, как можно понимать, не позволяет даже и задуматься о возможности философского рассмотрения какой-либо математической проблематики. Иными словами, с точки зрения всякого представителя математики то же самое отдельное знание любых, натуральных ли, рациональных ли или действительных чисел не позволяет нам обсуждать предмет математики с подобной частной стороны. Математику тогда и следует понимать такого рода формой или же определенным непременно «целостным» комплексом представлений познания, что и позволяет задание исключительно всецело и не позволяет задание посредством задания фрагмента. Столь любопытная и явно категоричная постановка вопроса и обращается причиной постановка вопроса о справедливости подобного видения и о его возможной способности, быть может, и обращения парадоксальным.

Тогда что же следует понимать причиной занятия математиками подобной позиции в возможной дискуссии с философией? Здесь, скорее всего, математики действуют во имя сбережения «чистоты» ими же и предложенной теории математики. Защищаясь подобным образом от стороннего вмешательства, математика и оберегает принцип формирования содержания ее положений, и позволяющих построение лишь на основании ранее обретенного наполнения корпуса математического познания. То же, что здесь возможны и некоторые парадоксы, например, определение базисного констуитива «число» посредством представления о множестве, не реализуемом без возможности понимания числа, математика уже позволяет себе не принимать в расчет. В подобном смысле направленность усилий математики и позволяет признание как определяемая следующим намерением – ни в коем случае не допустить вхождение характеристики величины в перечень элементов, соответствующих бытию в целом.

Именно изоляция от всякой возможности философского «препарирования» главного предмета анализа математики – характеристики величины (числа) – и позволяет математике предпринимать попытки самостоятельного построения самоё себя. Мы же предпримем попытку предложения альтернативного варианта концепции предмета «характеристика величины», чьей основной гипотезой и определим специфику функциональной включенности такой характеристики в собственно действительность.

Тогда уже и первой из возможного числа значимых посылок, непременно и определяющих специфику условия величины (число) мы и позволим себе признать, пожалуй, традиционную проблему посылок, достаточных для конституирования ряда натуральных чисел. В подобном отношении полезно было бы обратить внимание на решение, исходящее из собственно математики, в частности, в том варианте, в котором его формулирует А. Кожушко:

[натуральный ряд представляет собой] результат поиска по таблице. … Слово «таблица» я использую как иллюстрацию. Операция (например, сложение) - это отношение между натуральными числами, которое каждой паре натуральных чисел m и n ставит в соответствие третье число m+n. Это отношение может быть определено двумя способами: (1) задан набор троек: (0,0,0), (0,1,1), (1,0,1),(0,2,2), (1,1,2), (2,0,2),(0,3,3), (1,2,3), (2,1,3), (3,0,3), и т.д. В каждой тройке первые два элемента - слагаемые, третий - сумма. И, чтобы найти сумму 4 и 5, например, надо найти тройку, в которой первые два элемента будут 4 и 5. Тогда третий элемент этой тройки - 9 - и будет искомой суммой. Это я и имею в виду, говоря о «таблице».

Собственно идеей показанного здесь рассуждения и следует понимать мысль, что посредством построения некоторых комплексных выражений или «конструкций» математика и предпринимает попытку определения величины не просто как определенности величины и неопределенности функции, но именно как единой определенности и величины и функции. Число (4) уже самим своим появлением подразумевает то, что ему соответствует т.н. «тройка» (2,2,4).

Но с философской же точки зрения здесь явно следует признать факт известной торопливости в ситуации построения схемы, собственно и позволяющей получение некоторой не столь уж и простой характеристики. Если согласиться с правомерностью принципа, согласно которому определения допускают построение посредством комплексных выражений, то элементы числового ряда уже самим своим появлением будут позволять рассмотрение как открыто проявляющие функциональные свойства. Напротив, все же следует думать, что подобного рода комплексные решения тем или иным образом и обращаются некоей неприемлемой модернизацией. В ином случае число и следует определять как своего рода «обязанное» самому свидетельствовать собственные функции; то есть тогда нам и следует располагать возможностью определения по одному только лишь виду (или – записи значения) числа, представляет ли собой 5678114233 простое число, или допускает деление на другие числа.

Принятие во внимание подобной аргументации и позволяет оценку, собственно и определяющую, что натуральному ряду чисел явно следует располагать и некоторым «первоначальным» определением посредством приведения к элементам, заданным в виде функционально неразвитого простого условия, которые лишь в некоторой перспективе могут порождать число. И получение подобного решения нам и позволяет лишь один вариант подобной «техники», а именно – метод простого перечисления.

Более того, тому первичному определению, что и следует понимать в качестве допускающего приложение к натуральному ряду – фактической основе всего последующего здания математической науки, также необходимо удовлетворять и следующему существенному требованию, – представлять собой аксиому, а если и не аксиому, то принимать форму, не содержащую условий, уже возвращаемых из математического познания.

Другими словами, если мы все же будет сталкиваться с затруднениями при определении натурального ряда посредством задания некоторой аксиомы, нам тогда и следует предпринять попытку его определения посредством аналогии или индукции или посредством какого-либо иного способа заимствования элементов из внешней математическому формализму сферы.

В таком случае и некоторым вероятным кандидатом на статус «первичного определения» натурального ряда и возможно признание следующего утверждения:

Конституирование натурального состоятельно при наличии двух следующих необходимых здесь инструментов – идеи именующего различения указателей групп (характеристик величин), в начальном их состоянии бессмысленных (не связанных не с какими генерациями), и идеи принципа размера группы (суммы). Данные простые понятия, заимствованные из сферы регистрируемой чувственным опытом действительности, и служат в качестве оснований, конституирующих возможность математической комбинации.

Следует подчеркнуть, что положение наиболее существенной специфики данного определения и будет принадлежать обстоятельству, что его «формула» никоим образом не ссылается ни на какие возможности рационализированной интерпретации.

Однако предмет математического знания вряд ли следует определять как ограниченный пределами проблематической области операций сложения и составления сумм и очередей, он явно предполагает и наличие немалого комплекса других операций над числами. Тогда и нашу идею некоей конструкции «простого основания» принципа или формата величины и следует подвергнуть оценке, как же именно при подобном начальном ограничении и могло бы происходить становление той формы, что и заслуживает имени «расширенной математической индукции»?

Но предварить данную оценку нам все же следует пояснением, что именно мы и склонны определять под именем «расширенной» математической индукции. Субъектами или формами расширенной математической индукции мы и предполагаем определять все то содержание корпуса математического знания, что не допускает определения в качестве заданного первоначальными констуитивами натурального ряда. То есть понятие «расширенной» математической индукции и объединит собой все то множество функциональности математики, что не позволяет признания генерируемой сложением, а также и все не тождественные натуральным числам формы значения величины.

Задание подобной демаркации очевидным образом также будет предполагать наложение ограничений на имеющиеся математические формы и структуры, и нам тогда следует определиться, как же именно, при условии учета «философской поправки» и будет выглядеть простая операция получения величины «1/2» из чисел «1» и «2»? Главная своего рода «философская поправка» математической интерпретации будет, на наш взгляд, заключаться в следующем – возможности, полученные нами благодаря выделению натурального ряда чисел, не позволяют нам принять подобное решение. Но то, что мы можем здесь себе позволить – это сделать следующий шаг, воспользовавшись решением о задании и определенного допущения.

Иными словами, если согласиться с предположением, что натуральным числам не просто дана возможность обозначения нечто «количества экземпляров», но и составления собой и соотношения незавершенного действия деления, то в таком случае их следующим функционалом и возможно признание функции обозначения вида пропорции, что и обращается становлением новой формы численного выражения – дроби.

С другой стороны, данное допущение определяет и собственно порядок возможного развития сложности математической интерпретации – все формы чисел, позволяющие формирование посредством возможных вариантов решений на базе натурального ряда, и образуются, в первую очередь, благодаря совершению того или иного арифметического действия.

Отсюда же следует понимать правомерным и идею некоей конституирующей последовательности, фиксирующей развитие сложности, порождаемой расширением математической комбинаторики. Главное условие подобного развития – теперь уже некое «исходное» расширение, а именно – расширение объема допущений, налагаемых на собственно и отличающий натуральный ряд первоначальный порядок отношений.

Натуральный ряд чисел, определяемый не более чем двумя сущностями, - именами чисел и всего лишь единственной манипуляцией «действие сложения» в конечно итоге допускает задание и других манипуляций, представляющих собой, в случае умножения – рационализацию самого сложения, в случае вычитания – операцию обратную сложению, и в случае деления – рационализацию вычитания.

На следующем этапе именно деление приводит к введению допущения, позволяющего фиксацию идеи нецелых чисел – дробей.

Параллельно с подобным допущением вычитание еще и приводит к появлению допущения, позволяющему введение формата или модальности отрицательных чисел.

В подобной связи и следует признать правомерность понимания, что если умножение все же допускает полное приведение к сложению, то уже деление следует определять как в известном отношении «самостоятельное» действие. Деление, в частности, в сравнении с вычитанием все же следует понимать действием некоторого «другого рода», хотя в случае, когда делимое больше делителя, деление все же продолжает оставаться обращением вычитания.

Устанавливаемое же математикой различие между действительными и рациональными числами теперь уже в онтологическом смысле все же следует определять как условное, поскольку бесконечные периодические дроби, хотя такое их состояние и допускает признание только «модальным», фактически ничем не отличаются от подлинно действительных чисел вроде корня из двух.

Комплексные же числа, как, в данном случае, фактически и определяет собственно математика, все же способны представлять собой нечто большее, нежели просто «порядковая» форма. Здесь важно понимать, что, как и признает сама математика, комплексные числа «не подчиняются отношению больше», потому их и следует видеть нечто наложением внешнего упорядочения на некие порядки, собственно и располагающие к подобному наложению. Все это лишь указывает на то, что, на деле, по признанию собственно математики, комплексные числа явно не располагают никакой консолидированной по основанию регуляризации проекцией характеристик обозначаемой ими величины.

Тогда уже простое обобщение данных здесь оценок и позволит формулировку той общей оценки, согласно которой содержательные проекции математических мер (указателей) на собственно реальность и следует определять как несущие на себе признаки всего только двух форматов – определительного и мерительного указателей.

Характерной особенностью определительного указателя тогда и следует понимать ту свойственную ему специфику, в силу которой число действий явно лишено возможности выражения в виде нецелого значения, как, в частности, невозможно сделать семь с половиной шагов, но можно семь полных и один короткий. Подобное отличие располагает, в частности, глубоким смыслом в программировании, где языки программирования категорически требуют указывать число последовательных операций программы («шагов») целыми числами.

Здесь же и рациональные числа, собственно и составляющие собой основную форму реализации мерительного указателя, включая, конечно, и целые числа как свое подмножество, и следует понимать инструментом указания меры – отрезка, допускающего по отношению к «архитектуре» целого промежутка внепорядковый способ формирования при помощи мерной шкалы.

Подводя уже итог этой основной части нашего анализа, мы и позволим себе предложение ответа на вопрос, поставленный в начале настоящей работы. Как мы позволим себе оценить, для как такового бытия явным «полноценным представителем» математической комбинаторики в целом и следует понимать некий идеальный составной объект – систему натурального ряда чисел. То есть представительством в бытии характеристики величины и следует видеть не представительство величины как представительство самоё себя, но репрезентацию величины как фрагмента или элемента сложного объекта «система чисел».

Далее уже с целью пояснения предмета настоящего рассуждения нам и следует привести фрагмент дискуссии о предмете онтологического значения математических форм, где роль нашего оппонента взял на себя А. Кожушко:

АК: Я ведь не зря ранее говорил о свойствах. «Множество» в математике определяется не на основании понятия «число», а на основании понятия «свойство», а именно: Пусть имеется некоторое (любое) свойство P.

Авт: Математика при этом не забывает, что свойство - это объект действительный именно в пределах случая, но не существования в целом, так?

АК: Назовем «классом» P множество всех объектов (реальных, идеальных - любых), обладающих свойством P.

АК: Для классов естественным образом определены операции объединения и пересечения: P U Q - объединение классов P и Q» - это совокупность всех объектов, обладающих или свойством P, или свойством Q («или» - неисключающее); P ^ Q - «пересечение классов P и Q» - это совокупность всех объектов, обладающих как свойством P, так и свойством Q».

Авт: Для философии это (одноуровневые) системы или иерархии, для которых можно наблюдать вхождения других систем или иерархий; проблема же их похожести (для математики - объединение) никак не отличается от анализа сходства предметов.

АК: Также (вот именно здесь делается некое философское допущение, с которым можно соглашаться, но можно и спорить) постулируется аксиома экстенсиональности - каждый класс полностью определяется своими элементами, то есть, если каждый объект, обладающий свойством P, обладает и свойством Q, и наоборот, то свойства P и Q - одно и то же свойство (соответственно, класс P = классу Q). Для избежания порочного круга, связанного с попытками обращения со свойствами как с идеальными объектами и вводится понятие «множество».

Авт: Да, но тремя абзацами раньше класс же был уже определен именем «множество»; ну, может, это такая невинная погрешность, но посмотрим.

АК: «Множество» - это класс (свойство), с которым можно обращаться как с идеальным объектом. Иными словами, множества - это те совокупности объектов, которые можно рассматривать и как единое целое.

Авт: Итак, «множества» математического языка, для философского они же системы (иерархии), которые обладают способностью проявлять себя как неразделяемый предмет (подобно поезду и его вагонам); прекрасно.

АК: Отнюдь не все совокупности такие - например, свойство «быть множеством» определяет некий класс V - «универсальный класс», но сам этот класс множеством не является. Подобные классы называются, в отличие от множеств, «собственными классами».

Авт: Согласен - бусинки на бусах и в коробке.

АК: Любая фраза, в которой собственный класс используется в качестве объекта, объявляется в математике бессмысленной на уровне языка. В частности, нельзя сказать, что собственный класс имеет некоторое свойство P.

Авт: Да.

АК: Отметим, что всегда существует пустой класс - класс, описываемый внутренне противоречивым свойством.

Авт: То есть это свойство, я понял, не входящих в класс объектов, а класса в целом. Если это так, то это от любви математики вводить «0».

В данном рассуждении все же можно отметить следующую мысль нашего оппонента - если по причине противоречивости утверждение не способно состояться, оно все же находит себе определение именно как «несостоявшееся».

Но мы все же позволим себе пойти дальше.

АК: Естественно, такой класс не содержит ни одного элемента. Этот класс является множеством («пустое множество»). Теперь двинемся в сторону чисел. Сначала определим понятие «равномощности» - «количественного равенства» - двух множеств. Если мы можем поставить в соответствие каждому элементу одного множества элемент другого множества, и такое соответствие будет взаимно-однозначным, то будем говорить, что эти множества равномощны. (Я не говорю «количества элементов в них равны» - понятие «количество» пока еще не определено).

Авт: И здесь теория на высоте положения.

АК: Теперь начинаем считать.

Авт: Уже?

АК: Для начала используем в качестве эталона количества пальцы - если стадо коров равномощно пальцам одной руки, то будем говорить, что в стаде - 5 коров. Если стадо коров равномощно множеству из большого и указательного пальцев левой руки, будем говорить, что в стаде - 2 коровы и т.д. Проблема лишь в том, что рано или поздно пальцев не хватит. Ну что ж - возьмем вместо пальцев палочки, веточки или еще какие-нибудь предметы. Увы! - и палочки закончились, а считать всё еще надо. Попробуем построить идеальные «счетные палочки». Из чего их сделать? Да ведь у нас имеется идеальный объект: множества!

Авт: Математически может быть, это только словесное выражение, но как прекрасно - число, все-таки, это идеальный объект!

АК: Пустое множество, очевидно, будет соответствовать количеству 0.

Авт: Несостоявшееся «0» соответствует, да.

АК: Уже хорошо. Теперь построим одноэлементное множество (мы еще не знаем, что такое 1, мы это только сейчас определяем). В качестве 1 можно взять множество {0}. Теперь - множество 2 = {0,1}. Заметим, что, строя каждое новое число, мы пользуемся только уже построенными ранее числами. В общем виде, если число n уже построено, то число n' - «следующее за n» - мы строим как n U {n}.

Авт: Это доказательство признаю, много лучше палочек, но я не ошибался в своих двух условиях (которые здесь оказались не только двумя - их разбавили, на моем языке - свойство, система, объект, предмет и «обозначение неданности»), которые именно конституируют натуральный ряд.

АК: Теперь, построив числа, мы можем ввести понятие количества и сказать, что множество S имеет n элементов, если множество S равномощно множеству n.

Авт: Да.

АК:Построив натуральные числа, мы можем определять над ними арифметические операции - например, сложение, умножение. Базовая операция - «следующее» - для этих целей у нас уже есть. Обратите внимание также на то, что (1) такой способ определения чисел опирается лишь на понятия «объект» и «свойство»;

Авт: Да, система - определена как «набор»; идеи «наборов» или «групп», по вашему - множеств - они просто «объектом» не порождаются, здесь я буду упираться. Группа - еще одна идея.

АК: (2) все прочие понятия строятся строго последовательно, и никаких замкнутых кругов не возникает.

Авт: Да.

АК: Есть один подвох во всей этой истории - понятие «бесконечности», с чего и начался разговор. Дело в том, что это понятие не удается построить, исходя только из понятий «свойство» и «объект». Разумеется, совокупность натуральных чисел - бесконечна, но это - «потенциальная бесконечность». Мы строим натуральные числа - но не построили натурального ряда. Существование «актуальной бесконечности» в математике попросту постулируется: либо утверждение, что «совокупность всех натуральных чисел («натуральный ряд») является множеством» объявляется аксиомой, либо вводится «аксиома бесконечности», и на основании её доказывается, что натуральный ряд - множество.

Авт: «Актуальная» бесконечность как некая аксиома, то есть, в моем понимании, метафора, что тоже самое - умозрительно заданное представление, все это правильно.

Авт: Превосходное изложение оснований математики, разрешите мне его где-нибудь использовать.

Авт: И как, такого средства интерпретации, которое объединяет все (или какую-либо важнейшую часть видов чисел) не существует?

АК: Существует. И даже несколько. И даже есть несколько подходов к такой классификации. Первый подход - «алгебраический», классификация производится на основании операций, определенных на множестве интересующих нас объектов.

Авт: То есть на основании двух условий - возможности таких операций и возможности таких множеств (это по традиции - группа как сущность нами не понимается).

АК: Эти категории выделяются, например, исходя из того, какие операции над математическими объектами определены, и какими свойствами они обладают.

Авт: То есть операции производят внутри множеств некое вычленение.

АК: Например, есть «кольца» - когда на некотором множестве определены ассоциативные операции сложения (+) и умножения (*), причем сложение - коммутативно и обратимо, есть некий элемент 0 (не обязательно число, это он так просто называется), причем для любого элемента x+0=x,

Авт: Я понимаю, что подобные определения вводятся для обоснований неких сложных возможностей комбинации, а нет ли в этом поспешности определений?

АК: а умножение и сложение связаны друг с другом дистрибутивными

Авт: (по русски - распределительными, если где-либо читаете «интенциональный», то знайте что это «намеренностный»)

АК: законами: x*(y+z)=x*y+x*z и (x+y)*z=x+z+y*z. В кольцах от умножения не требуют ни коммутативности, ни обратимости. Есть «поля» - это кольца, в которых не только сложение, но и умножение коммутативно и обратимо (разумеется, делить на 0 в полях все же нельзя).

Авт: Я вас понял, что таким образом делает математика - сразу торопится ввести определения, относящиеся к действиями с невычисленными значениями типа (x+y), а не следовало бы ввести следующий порядок определения - вначале мы определяем возможности комбинации по отношению явно известных значений, и только потом расширяем их в том отношении, как они могут быть использованы с невычисленными выражениями.

Авт: А возможности коммутативности и обратимости не вводим, а как-то связываем с возможностями вычитания и деления, которые, я так понимаю, их фактически и востребуют?

АК: Есть «группы» - определена только одна ассоциативная и обратимая операция. То есть мы имеем здесь натуральный ряд. Есть «полугруппы» - с одной ассоциативной (но не обязательно обратимой) операцией. Есть и более сложные категории. Беда лишь в том, что различные виды чисел относятся к разным классам.

Авт: Для философии эта попытка обойти категоризацию - она и выглядит странной (этим я не ставлю под сомнение ее прагматическую рациональность для математического анализа). Математика делает следующее - разрабатывает определения, действительные вопреки рамкам некоторой категориальной принадлежности определяемого, и с ее точки зрения подобное, видимо, правильно.

АК: Например, натуральные числа - это всего лишь полугруппа (как по сложению, так и по умножению), целые числа - коммутативное кольцо, рациональные и действительные числа - поля. А, наряду с рациональными числами, к полям относится и такая своеобразная (хотя и практически используемая) алгебраическая система Z_2: есть всего два элемента {0,1}, а правила сложения и умножения задаются так: 0+0=1+1=0, 0+1=1+0=1, 0*0=0*1=1*0=0, 1*1=1 (операцию сложения в такой системе иногда называют «исключающее или», а операцию умножения - «и»). Сама по себе классификация очень четкая, последовательная и логичная. Просто понятие «число» вообще - отнюдь не последовательное и не логичное.

Авт: Социализм - понятие последовательное и логичное, но генеральная линия партии, по исключительно субъективным, виноват, основаниям, прямой никогда не была.

Авт: Я понимаю, что данной форме знания легче жить без категориального аппарата, не отличать явное представление значения от косвенного.

АК: Я имел в виду, что «в соответствии с существующим определением натурального ряда 0 является элементом натурального ряда, хотя возможны и иные определения, согласно которым 0 элементом натурального ряда не является; поэтому пока явно не будет указано, что натуральный ряд начинается с 1, я буду использовать существующее определение». Однако счел слова «принято считать» вполне адекватной заменой этой длинной фразе.

Проблемы, рассматриваемые в данной дискуссии, послужили предметом обсуждения и на одном из заседаний «Общества философских исследований и разработок» (ОФИР), состоявшемся 27 мая 2003 г..

Результатом данного обсуждения и явилось принятие следующего определения:

Основой для построения численного метода является редукция свойственного многообразия (свойственного потенциала) объектов. Тогда на базе элементов, утерявших весь свойственный потенциал, кроме одного свойства – нетождественности, создаются группы, которые в отношении друг друга, если вторая группа создается путем добавления того же самого элемента к исходной группе, будут наделять себя свойствами предыдущий - следующий.

Именно выделение подобного ограниченного набора возможностей и позволяет синтез такой условности, как натуральное число и структурирование такой операции как действие сложения. Впрочем, с более основательным анализом подобного предмета можно познакомиться здесь.

05.2003 - 11.2016 г.

 

«18+» © 2001-2019 «Философия концептуального плюрализма». Все права защищены.
Администрация не ответственна за оценки и мнения сторонних авторов.

Рейтинг@Mail.ru