Редукция системной модели

Шухов А.

Содержание

Математиков отличает характерная привычка применения буквенных индексов для обозначения неопределенных сущностей или сущностей сочетающихся в тех или иных комбинациях, причем объекты обозначения этими индексами - не одни только алгебраические переменные. Тогда и мы применим такой прием, только у нас функция подобного «индекса» будет возложена не на букву, а на специфическое понятие системная модель. А далее вслед за выбором «средства индексации» мы зададим и такое условие: «математика представляет собой системную модель»; и одновременно другими вариантами системных моделей определим Булёву алгебру, таблицу Менделеева, всякую таблицу либо типоразмеров технической номенклатуры (гаек, в частности), либо группу видов технической номенклатуры (крепеж). А далее мы рассмотрим проблемы, что же именно и следует понимать в качестве такого рода сущности «математика», а поскольку эта сущность предполагает и обобщение посредством класса «системная модель», то и в качестве такого класса.

Но прежде чем обратиться к рассмотрению обозначенной выше проблемы, мы все же изложим и характерное нам понимание той необходимости, что прямо и обусловила рассмотрение данного предмета. Дело в том, что теория оснований математики посредством нечто «доказательства теоремы Гёделя» и определяет принцип невозможности построения формальной теории исходя из себя самой. Тогда если допустить применение к такому способу выводу в известном смысле «теории оснований математики» предложенного Б. Смитом принципа, названного им «ошибочным априоризмом», то и такой вывод, как и любой другой вывод фундаментального характера и следует признать опирающимся на положения, принимаемые априори. И подобным условным «априори» для «доказательства Гёделя» мы и позволим себе признать положение, утверждающее, что формальная теория может существовать безотносительно того, определены или нет какие-либо предопределяющие ее начала. Или «формальная теория» несмотря даже на ее предметный характер, что ее все же отличает типология «формальной теории» уже в смысле возможности построения или образования и будет допускать понимание «как данной» лишь в силу ее признания познанием просто в результате задания определенных посылок, не связанных с собственно порядком построения такой теории. Отсюда и будет следовать, что некое представление познания по имени «формальная теория», если судить с позиций нашей эмпирической («конкретной») осведомленности о содержании мира, и позволит отождествление как первичная и непосредственно перед ее основаниями, иными словами собственно реальность данной теории и будет признаваться эмпирически предшествующей и собственно выделению позволяющих ее оснований.

Только что изложенное понимание мы и позволим себе положить в основу нашего рассуждения как некое как бы «заведомо адекватное» понимание. Однако мы все же не намерены предпринимать здесь какого-либо поиска для подобного рода «эмпирически первично» предстающей теории каких-либо определяющих ее оснований. Мы, если уж крайне обобщить, и рассмотрим здесь другую особенность, – в чем же именно и изменится мир, если из положения наличия в нем формальной теории (т.е., конечно, из отношений, определяемых благодаря человеческой идее «формальная теория») перейти в положение отсутствия в нем формальной теории.

Огл. Укоренившийся в математике образ «явления математика»

Рассуждая об осознании математиками собственно предмета их науки как специфического «явления», мы и используем наш опыт общения на ряде Интернет-форумов с представителями данного направления познания. Конечно, и среди математиков возможно различие точек зрения и мнение одного математика - не обязательно общее мнение каждого математика. Более того, не исключено и положение, когда такое мнение легко опровергает и представление простейших аргументов. Тем не менее, неоценимым подспорьем для нашего анализа и следует понимать собственно парадоксальность приводимого ниже понимания, бесподобного в части характерной ему иллюстративности.

Итак, вопрос о том, «кто имеет право рассуждать о математике как системе знаний?» в заострении своей полемической составляющей и переходит в вопрос оценки уровня математических знаний того же оператора простейших приемов вычисления, скажем, кассира. В таком случае, чем же именно и следует понимать знания кассира, в простой трактовке и признаваемые «математическими»? Согласно оценке некоторых математиков, умение кассира соблюдать арифметическую точность не означает факта «знания кассиром математики». И, в то же время, развитие данного представления, предлагаемое этими же нашими собеседниками, и заключается в странной, на наш взгляд, манере избежания возможности задания любой мыслимой здесь соотносительной шкалы, - кассир просто «не знал математики», но исключал признание обладателем любого иного знания, чего-либо, быть может, и подобного математике. Как бы то ни было, но данному решению невозможно отказать и в наличии еще и некоего философского понимания: математика и есть система, невозможная вне предопределения обратимости ее формализмов лишь относительно «всецело математики», то есть предмета исключительно и предполагающего задание посредством целостного представительства. То есть, в частности, характерное той же арифметике дискретное представление и не предполагает признание самодостаточным, но исключительно и позволяет представление не более чем оппозицией континуального представления. Или мы позволим себе продолжить за наших оппонентов, заведомо предполагая и неприятие ими такой оценки, что непосредственно числовые ряды и будут позволять представление разновидностью математической функции, когда уже некоторые рядополагаемые формы комбинирования, например комплексное число, вряд ли будут позволять понимание удовлетворяющими типологии «функция ряда». Настоящая оценка и позволит нам формулировку некоей концепции.

Собственно обобщение данного ряда утверждений и позволяет следующее определение: математика как формальная теория полноценна только в состоянии, когда как теория и допускает распространение на все способное представлять собой ее объект. Тогда уже следуя данной норме, мы и предпримем попытку рассмотрения предмета якобы «неполноценных» форм математики, посредством чего и попытаемся понять, инструментарий каких же именно средств определения статуса и необходим для онтологической и эпистемологической фиксации подобного рода форм.

Огл. Что отличает «полноценное от ущербного»?

Признание некоей структуры или комбинации форм задания численной величины или совершаемых с ними комбинаций в качестве «неполноценной формы» математики и связано с возможной здесь утратой известных математике элементов, собственно и происходящей при переходе к употреблению подобной «неполноценной» формы. В данном отношении и следует вспомнить две модели, как, пожалуй, наиболее подходящие для такой реконструкции, - сжатия и потери специфик («качеств»). Тогда чтобы не углубляться, как мы предполагаем, в не столь уж и простые теории данных возможностей, нам и следует обратиться к выбору некоей возможной аналогии. В частности, для схемы «сжатия» здесь вполне возможна и такая аналогия, как картина идущего в обратном направлении процесса «расширения», а именно, развития ребенка до физиологического состояния «взрослого». Схема «потери специфик» тогда явно будет предполагать аналогию в виде превращения человека в инвалида в силу утраты определенных органов. Тогда подсказка интуиции и позволяет нам избрание аналогии именно в виде схемы превращения в инвалида, что, однако, мы не склонны понимать снимающим с нас и обязанность объяснения причин отклонения нами схемы «взросления». И здесь очевидным доводом в пользу собственно и избранной нами аналогии и следует понимать обстоятельство, что собственно возможность противопоставления континуального и дискретного и наступает в случае определения некоторых специфических форматов, в частности, определения натуральных и действительных чисел. Упрощение функциональности математики, наступающее, например, при ограничении операций задачами учета дискретных объектов (наличных в кассе) и совершается посредством устранения самого представления об определенных формах сложности, в частности, соответствующих тому же классу действительных чисел. Сжать математический формализм так, чтобы действительные числа были отображены посредством некоторого «меньшего» или «слабого» формата, вряд ли возможно, математические формализмы как специфики очевидным образом несжимаемы. Отсюда и всякую форму, явно и позволяющую признание тем местом, где аппарат математики непременно и представлен на условиях того или иного «сокращения», тогда и следует определять как форму, не объемлющую собой некоторых уже принципиально возможных специфик.

Таким образом, наша вольная аналогия и признает за арифметикой подобие той картине наличия утрат, что и определяет собой состояние инвалидности. Тогда уже в развитие данной аналогии и возможно следующее обобщение: инвалид жив, равно и неполноценные формы математического знания позволяют использование для решения практических задач. И тогда полученные нами выводы и позволяют думать, что мы все же нащупали некоторый способ редукции сложной системы математических представлений. И, видимо, переход от математики как «бытующего» далее к математике же в качестве как бы нечто «только потенциального» и будет означать устранение некоторой редукции. Как именно тогда и следует понимать данный шаг процесса редукции, мы и попытаемся рассмотреть.

Огл. Редукция «от нечто к ничего»

Как таковое рассмотрение арифметики в качестве как бы «ущербной» формы математики и следует начать признанием подобным рассмотрением и такого «ошибочного априоризма», что означает, что в смысле «существования математики» переход от хотя бы какого-то существования ее практик к существованию только «оснований» математики и есть переход от нечто к ничего. Конечно, подобная посылка может позволять и некоторую другую форму представления, но мы все же будем понимать задание подобного условия «априоризмом» именно потому, что и намереваемся рассмотреть здесь собственно возможность или перспективу вывода формальной теории «из ничего». Иными словами математика, какой бы она ни понесла ущерб посредством сведения ее содержания к некоторому «фрагментарному» виду, все равно не утрачивает специфику характерного существования, собственно и обеспечивающего сервис совершения того или иного рода математических операций. И здесь наше рассуждение наилучшим образом и допускает продолжение именно в русле развития принятой аналогии. Итак, инвалид, хотя бы он и утрачивает ряд характерных человеку органов, все равно остается живым человеком. Но если именно и отталкиваться от подобного «физиологического прообраза», то функциональность некоторого органа тела и предполагает отождествление именно своим специфическим статусом. По сути, важен каждый орган человеческого тела, но некоторые из числа таких органов критически важны для поддержания жизни, а некоторые – нет. Нарушение в деятельности сердца ведет к гибели человека, а отсутствие руки иной раз не мешает достижению глубокой старости. Исходя из подобной аналогии, мы и позволим себе понимание редукции математической системы «к ничего» своего рода лишением такой системы некоторой фундаментальной функции. (Мы, данное рассуждение невозможно без подобной оговорки, тем самым не предрешаем возможность такой редукции, но утверждаем, что если уж подобная редукция возможна, то ей просто не дано не носить такого характера.) Редукция какого бы то ни было математического инструментария «в ничего» и означает наступление положения, что уже определенно исключает возможность какого-либо синтеза, положим, образования двойки из двух единиц или отрезка в качестве отношения связи двух отстоящих друг от друга точек. Однако и это не главное, а главным и следует понимать обстоятельство, что при построении оснований математики лишение корпуса математики его системно важной компоненты и мыслится как относящееся ко всему, чему угодно, но никак не к тому вседостаточному корпусу математических структур, что собственно и определяется как «математика».

Математики, собственно и предпринимающие поиск оснований математики в силу странных обстоятельств именно и обнаруживают склонность к лишению системно важной компоненты никогда не самой полноценной системы математических условностей, но уже непременно какого-либо принадлежащего ей фрагмента, например арифметики или планиметрии. Как ни дико это звучит, но в понятиях принятой нами аналогии они пытаются «умертвить инвалида». Например, Пеано в своих [оригинальных] аксиомах вводил понятие «[натуральное] число» вне уточнения, что подобная сущность уже есть продукт упорядочения (скорее, лучшую иллюстративность здесь принесет использование термина «регуляризация») множества. Лишая арифметическую структурность возможности регуляризации, он «сбрасывал» состояние счетности в положение несчетности. Однако поскольку Пеано все же не определял, и такая мысль, увы, не осенила и Б. Рассела, по работе которого мы и судим о существе идеи Пеано (1), над чем он оперирует, то мы и позволим себе предположить, что объекты предпринятой им манипуляции непременно составили элементы, способные к проявлению свойства анонимности. (Анонимность, следует пояснить, может быть определена только на основании заключения об «отсутствии возможности наложения характеристики предполагаемого особенного», что не допускает ее понимание в качестве отличия простого рода, понимали бы это разработчики далеко не только теории множеств.) То есть как арифметическое состояние открытости перед счетным упорядочением, так и состояние способности вхождения в ассоциацию для геометрии, и следует определять представляющими собой системно важный компонент математической условности, лишение которого, по мысли создателей аксиоматических форматов математики, и предполагает собой обращение уже фрагментированного корпуса математических условностей в ничего.

Но поскольку предмет теперь уже нашего интереса и составляет собой философское осмысление таких манипуляций, то мы и попытаемся ответить на вопрос, обеспечивает ли для математиков этот самый мыслимый ими переход в математически-комбинаторное «ничего» на самом деле пребывание в этом самом «ничём»? Второй проблемой, существенной в данном отношении, хотя, возможно, нашу ожидаемую оценку и следует понимать лишь крайне обобщенной, и следует понимать проблему, а отличает ли потребность в выделении фрагментированного состояния («инвалид», олицетворяющий неполноценную арифметику) собственно ситуацию выявления тех «истоков», что и позволяют понимание порождающими систему математической условности? Мы все же позволим себе повториться, что наделение статусом некоей «первичной» формы обязательно дискретного, а не какого-либо другого представления и предполагает то или иное обоснование.

Возвращаясь же к нашей «текущей» проблеме «перехода в ничего», мы и позволим себе определить, что фактически именно «неструктурный» характер математического знания (или, положим, «отсутствие общей теории ансамблевых форм») и следует понимать причиной попыток задания обстоятельств, собственно и позволяющих совершение «простого шага». Математическая редукция действительно доводит сложность системы математических условностей до состояния, позволяющего «обнажение» системно важных компонент и, соответственно, упрощающего задачу их исключения. Иными словами, построители теорий оснований математики все же выходят на уровень перехода «живой - неживой», хотя сама же математика и определяет, что для достижения реальной математической функциональности необходимо еще не просто «обладание жизнью», но и достижение «совершенной жизнеспособности». В таком случае авторов теорий оснований математики и следует упрекнуть в том, что они никак не пытаются определить, перспективно ли подобное «обладание» жизнью в отношении выхода на уровень «полноценной жизнеспособности».

Огл. «Двойка образует мир»

В таком случае мы и позволим себе предпринять попытку определения, допускает ли онтология как таковая переход в собственно и мыслимое создателями теорий оснований математики состояние «отсутствующей регуляризации»? Нас будет интересовать здесь онтологическая оценка данной проблемы, суть которой и допускает определение посредством следующей постановки вопроса: располагает ли комбинация, собственно и задающая или выделяющая до-математическое «ничего» способностью совершенного исключения математической условности, например, функции построения порядковой последовательности? Ответ на подобный вопрос, причем отрицательный, был получен в самую начальную пору философии, и был дан никем иным как Платоном, но, по крайней мере, нам не известны попытки проецирования подобного ответа на проблему построения оснований математики. Тогда мы и позволим себе начать с экскурса в представления Платона, обобщенные в одной превосходной работе, уже принадлежащей не древности, но - нашему времени.

В эпоху истории нашего отечества, понимаемой гибельной для свободы слова, не прекращалась работа мысли, для которой, возможно, и были закрыты пути анализа нечто социально «острых» проблем, но которая фактически не встречала препятствий в случае обращения к проблематике, явно не пересекавшейся с нормами господствующей догматики. Так, в 1979 году был издан сборник статей «Платон и его эпоха», подлинной жемчужиной которого мы и предложили бы признать работу П.П. Гайденко «Обоснование научного знания в философии Платона». Фактически эта работа посвящена не в современном понимании «научному знанию», а смыслу номиналистики и номиналистической составляющей для платоновской философии. Мы приносим извинения за обильное цитирование данной работы, но нам кажется, что лучше, «Платона в пересказе П.П. Гайденко» никому не удалось бы изложить существо такого предмета.

Постулируя, что "единое существует", мы тем самым получили первую систему; она, правда, еще очень простая и в ней связаны между собой всего два члена "единое" и "бытие", а сама она может быть названа "существующее единое". Но как бы ни была проста и элементарна данная система, она уже содержит в себе принцип построения любой, самой сложной, в которой может быть огромное множество членов, т.е. на языке Платона, - частей.

Как нетрудно заключить, после того, как "единое существующее" предстало как целое, частями которого являются "единое" и "бытие", рассуждение, которое мы уже проследили однажды, пойдет в обратном порядке. …

"Итак, если единое и бытие различны, то единое отлично от бытия не потому, что оно - единое, равно как и бытие есть что-то иное сравнительно с единым не потому, что оно - бытие, но они различны между собой в силу иного и различного".

Как понять это рассуждение? Видимо, Платон хочет сказать, что единое отлично от бытия не потому, что оно единое, что оно выступает в системе "единое бытие" или "бытийствующее единое", т.е. в силу соединения с бытием как с другим, чем само единое. Только так мы можем понять слова, что бытие и единое различны между собой в силу иного. Благодаря их соотнесенности, через которую единое вступает в отношение, появляется новое определение самого единого: оно есть иное. (2, с. 108)

Следовательно, достаточно единому вступить в первое отношение, т.е. получить первый предикат - бытия, как образуется система из двух членов, которая в сущности содержит в себе (потенциального) систему из любого множества членов. Ибо два, или, как говорит Платон в других диалогах, "неопределенная двоица", есть начало множественности. Где есть два, там есть всегда единое и иное, или, как сказали бы мы, единое и его отношение, а отношение имеет ту особенность, что оно множественно.

Оказывается, быть - это и значит быть соотнесенным с другим, если мы хотим выразить бытие на языке мышления. (2, с. 109)

Какие заключения вытекают для другого, если налицо система "существующее единое"? Другое определяется как не-единое (иначе оно не было бы другим), но поскольку оно должно быть понято, исходя из характера "отнесенного единого", а единое отнесено ни к чему более, как к другому, поскольку понятно, что другое тоже будет отнесено к единому, т.е. они оба будут друг другу причастны. Но нас здесь эта причастность интересует с точки зрения судьбы "другого". Что означает она для этого другого?

Как "другое", говорит Платон, оно должно быть отлично от самого единого. Единое - едино, значит другое должно иметь части (т.е. быть многим). Но части, в свою очередь, не могут существовать, если нет целого, частями которого они являются. Часть не может быть частью многого, иначе она и частью не будет, а станет чем-то беспредельным: ведь часть - это тоже что-то определенное, что-то одно, а значит, причастна единому.

Итак, если налицо система "существующее единое", то другое должно быть причастно единому и как причастное само должно быть целым и иметь части. Но поскольку оно при этом все-таки другое, то это его определение несет с собой и противоположное свойство, чем те, которые вытекают из его причастности единому. Это свойство - множественность. Всмотримся в эту множественность в тот именно момент (или с той именно стороны), в какой она не причастна единому.

"А если мы пожелаем мысленно отделить от этого множества самое меньшее, что только возможно, это отделенное, поскольку и оно не причастно единому, не окажется ли неизбежно множеством, а не единым?" Значит, множественное "в тот момент, когда оно не причастно единому", представляет собой нечто весьма своеобразное: какую бы малую "часть" его мы бы ни взяли, она сама рассыпается, растекается на бесконечно многие "части", а потому ее даже нельзя назвать "частью", ее вообще никак нельзя ни назвать, ни обозначить, кроме как беспредельностью, текучестью или, как ее еще характеризует Платон, "природой иного". То, что не причастно единому, не есть вообще "нечто", для него нет слова, нет "логоса", оно - алогично, неназываемо и неуловимо. (2, с. 110 - 111)

Таким образом, операцию введения «нечто» в мире («нечто в бытии», как буквально по данному тексту) непременно и следует определять операцией введения структурности, неизбежно располагающей, в смысле ее онтологической специфики, и всей математической условностью как таковой. То есть математику невозможно ввести «из ничто», но математическое знание явно допускает разотождествление с особыми обстоятельствами чьего-либо математического незнания. Нам тогда и дана возможность указания условий, собственно и означающих собой некое состояние нашего познания или отсутствия системы понятий и дисциплинарных практик совершения операций, правил перехода порядков друг в друга, но мы также лишены возможности понимания любого нашего рассуждения неструктурным (не структурированным), не содержащим в себе никакой условности математической природы. А отсюда и правомерен вывод, что математические формализмы, включая и простейшие числа, и следует определять как принадлежащие системе, определенно не предполагающей наличия у нее каких-либо оснований, что хотя и позволяет своим сущностям обращение комбинациями «исходных» форм, но одновременно и допускает их наделение спецификой «олицетворения возможности комбинации». Видимо, природа «запечатленной комбинации» где-то свойственна и тем же элементам периодической системы, но здесь мы все же забегаем вперед, а пока что нам просто следует предложить нашу формулировку, собственно и определяющую невозможность «онтологического способа» (или - «онтологической методологии») выделения оснований математики. В таком случае мы и позволим себе то определение, что для любого того, что и могло бы претендовать на обретение специфики нечто «оснований математики», просто отсутствует тот онтологический уровень, (или «срез») на котором и могло бы состояться выделение подобного нечто. Поскольку, если согласиться с Платоном, любое конструирование любого вероятного присутствия в мире любого «нечто» в потенции и представляет собой воспроизводство определенных математических структуры или порядка. А математику тогда, вне зависимости от счетности, несчетности, сходимости, конечности и т.п. непременно и следует определять в качестве общей коллекции структурных форматов.

Огл. Философская оценка «смысла поиска» оснований математики

Собственно наличие любой структуры и следует понимать нечто существованием структурного содержания, а, следовательно, и возможностью неодинаковости такого содержания, причем не просто релятивной позиционной неодинаковости, но и предметной разновидной неодинаковости. И именно предметная неодинаковость и раскрывается перед субъектом, предпринимающим попытку познания математизированного представления структурности, собственно и открывающейся как система универсальных «ситуативных» (порядковых, задающих условия регулярности) свойств физического мира. Оператор познания, задающийся целью распознания, создания и трансформации структурных форм просто лишен возможности исключения из всякой образуемой им конструкции того или иного математического представления. И при этом источник образования математических представлений именно и составляют собой идеи «простой» ассоциации, нам здесь явно не следует уточнять, восходящие к чувственному опыту или нечто иному, пусть для нашего рассуждения они и будут допускать понимание «ассоциациями произвольной природы, практикующими простое соотнесение». Причем «простота» подобного соотнесения присутствует не только в конкретном «комбинационном представлении» соотносимого, но и в собственно условности «порядка соотнесения», - именно такие начальные возможности соотнесения и следует определять как характерные для неразвитой интерпретации. Подобного рода посылки мы и позволим себе определить вполне устраивающим нас началом той неизбежно сложной формации, что уже и позволяет отождествление в качестве «основания» математики: основанием математики может и способно оказаться нечто, для чего собирание воедино и представляет собой элементарный шаг. То есть то, что и может служить основанием математики, это и есть то, что для данных условий сложности интерпретации и позволяет понимание как элементарный синтез.

Допустим, что условным «построителем арифметики» и следует понимать человека первобытной культуры или, скажем, более знакомого нам первоклассника. Тогда в смысле подобного условного «построителя» и характерным для присущего ему состояния сознания элементарным синтезом явно и следует понимать объединение предметов в наборы, и отсюда в его смысле «основанием» математики и возможно признание мобильного и, одновременно, тривиального и при этом иллюстративно целостного элемента физически представленного набора, например, счетной палочки. Математики же, когда они строят основания математики, путают набор просто и мощность множества, эквивалентную наращенной к этой позиции мощности набора, в частности так, видимо, и думал Пеано, если исходил из понятия «следования» (последующий элемент). Именно поэтому он фактически и определял такого рода «основанием математики» собственно условие наиболее элементарного различия, характеризующего множества разной мощности. Число для Пеано - это никоим образом не указываемая нами характеристика «мощности набора», но собственно мощность, что и предполагает сопоставление ей как предыдущей, так и последующей мощности. И тогда почему именно в подобной картине ряд натуральных чисел не обращается «рядом сумм» (математическое понятие «сумма членов натурального ряда») нам уже трудно подобрать надлежащее объяснение. Или - в глазах Пеано операция элементарного синтеза и позволяла понимание вовсе не операцией воссоединения набора, но более тонкой манипуляцией «получения из одной мощности ближайшей следующей». Собственно и появляющееся отсюда понимание особого характера образования «оснований математики» уже непосредственно в математике и позволяет, но в весьма и весьма грубой форме, определение начала процесса выделения оснований математики как в целом наследующего способности осознания природы математической операции.

Если в примитивном случае образование набора выполнялось как собирание набора в виде анонимно входящих в него частей, то далее оно развилось в практику идентифицирующего собирания посредством присвоения стандартного имени «следующий после …». Далее это следование уже позволяло описание как «следующий на определенных правах» в тех же ряду либо натуральных, либо рациональных чисел. А далее уже имело место и выделение действительных чисел с присущим им «всего лишь» безусловно больше или безусловно меньше и т.п. Но и разотождествление такого «следующего после …» с «располагающим безусловно большим» просто невозможно не понимать расширяющим смысл этого «следующего после …». Но источником подобного рода тонкости понимания и следует понимать не саму математически фиксируемую структурность, но точность дефиниций математического знания, работающего с различными форматами такой структурности, что тогда и будет допускать обоснование посредством следующего рассуждения.

Поскольку всякое представление мира здесь же есть и представление присущей ему неоднородности в формате математической структурности (этот уровень включения математической структурности в мир мы и называем уровнем системной модели), то искать онтологически истинные основания математики бессмысленно. Не существует также никакой связи между потребностью в сложности представлений и адекватностью применения: сложность необходима особым формам математики, когда простые формы сохраняют свою истинность и в отсутствие подобной сложности (увы, «незнание математики», не мешает кассиру обеспечивать точность расчетов). В таком случае и единственным условием, налагаемым на основания математики с целью придания им и некоторых «следующих совершенств» тогда и правомерно понимать условие «семантической чистоты». Основания математики именно потому и предполагают изощренность, что собственно пользователь такого концепта, современный математик, оперирует достаточно диверсифицированной системой представлений, и ограничение оснований некоторыми простыми комбинациями может не позволять достаточно четкого обозначения предмета. Поясним это условной иллюстрацией. Положим, множественную форму комбинации дискретностей обозначает понятие «набор», а комбинации континуального содержания – понятие «куча». Чтобы не относить основания, определяющие дискретные численные построения (арифметику) и к числу таких «куч», необходимо четкое описание специфики выполнения операции «следующий». Для примитивного же представления, отождествляющего математику только с дискретным структурированием, уже отсутствует какая-либо необходимость в подобной дифференциации. То есть усложнение истолкования оснований математики и следует понимать проекцией семантической многозначности, связанной с многообразием возможностей приложения математического структурирования.

Таким образом, если и исходить из предложенной нами оценки, то задачу выделения оснований математики и следует видеть задачей выделения условно простых математически оформленных специфик, никоим образом не доматематической, а уже математической природы (например, единицы, множества, числа), данных, как ни странно, в их нерасследованном состоянии. И далее такие специфики требуют «шлифовки» в отношении достижения точности их воспроизведения, задаваемой уровнем развития классификации, создаваемой формой познания «наука математика». И одновременно также некую ожидаемую онтологическую «первородность» предмета подобного описания и следует рассматривать как невозможную.

Огл. Статус системной модели и ее открытость для редукции

Математика в ее качестве собственно природной специфики действительности потому и допускает описание посредством системной модели, что само становление мира одновременно же обращается и становлением такой модели, а изъятие из мира математического упорядочения (естественно, условного, на деле определенно невозможного) и означает коллапс мира. Потому невозможен онтологический ни путь, ни способ нахождения чего-либо доматематического, способного представлять собой основание математики, ситуация выхода «за границу» математики может означать лишь ситуацию выхода за границу мира. Попытки ученых мыслить основания математики и вводить их в рассуждение только и означают свойственное им непонимание математической же фактуры той ситуации, рамки которой и избраны ими для выделения оснований математики. Как бы «просты» ни были выделяемые ими сущности, те же «1» или «0» аксиом Пеано и т.д., они остаются математическими именно, либо теми, чьим условием выделения и следует понимать ту структурную форму, что по существу математическая в содержательном отношении. В более общей форме следует сказать так: некая модель потому и позволяет признание системной, что выражаемая ею системная составляющая неотделима от отношений, открытых для познавательного выделения посредством такой модели. Математика же именно и представляет собой системную модель мира, и потому и не допускает обособления в некотором изолированном моделировании как нечто «локализуемое в мире». Тогда математика и позволяет построение ее модели только посредством своего пускай простого, но полнофункционального содержания, а не при помощи некоей части этого содержания, поскольку выделение части этого содержания совершается посредством математического же разбиения, и тогда понимание такой части как части и следует признать нарочитым пренебрежением собственно и присущего ей содержания.

Но помимо собственно редукции существуют возможности пара- и квазиредукции, связанные с предоставлением некоторому оператору познания определенных удобств в смысле, например, возможности употребления содержания, удовлетворяющего некоему условию компактности. Таким сущностям одновременно и компактным, и, также, и полноразмерным для внесения в надструктурную упорядоченность, и следует, на наш взгляд, играть роль не более чем средства имитации «оснований математики». С подобной точки зрения следует определить, что основания математики, какие бы они ни были и каким бы способом не предполагали выделения, и не могут быть чем-то иным, помимо как условности мнимых оснований математики. Характер этих мнимых оснований определяет то, о чем мы уже сказали, уровень развития представлений о математическом структурировании, то есть условие широты семантики заключенной в системе математических представлений. Тогда мы и позволим себе формулировку следующего принципа, собственно и восходящего не более чем к нашей интуиции: чем более широка семантика, выражающая собой связи определенного рода формальных зависимостей, тем больше она требует и диверсификации и углубления специфики отношения простейшего различения. Этот закон и оправдывает предпринимаемые математиками поиски оснований математических представлений, несмотря на определенную нами здесь мнимость статуса «оснований» математики как такового. Устанавливая посредством фиксации мнимых оснований все более тонкие состояния различия математических сущностей (структурностей, условностей) теоретики математики и исключают этим ошибки наложения и пересечения дефиниций в нашей системе интерпретации «математическое знание». То есть поиск этих оснований, собственно и не обращаясь заданием каких-либо оснований, поскольку их создание просто принципиально невозможно, все же приводит к образованию в математическом знании все более тонких систем и аппарата классификации.

Невозможность же приведения математики к состоянию «выделения в формате оснований» прямым образом и исходит из «принципа Платона»: всякая структура всего лишь в качестве структуры представляет собой именно математическое содержание. А поскольку бесструктурное представление никаких связей внутри мира просто невозможно, то и «опередить математику» невозможно, она попросту не опережаема. Нам кажется, что данное понимание могло бы поставить точку в бесплодных попытках поиска решения не имеющей решения задачи.

Огл. Заключение

Пожалуй, только посредством наблюдения, обобщения и некоторой помогающей этим двум практикам дедукции нам и удалось выяснить давно известную, но сих пор практически непонятую вещь: модель, которую человек называет «математическим знанием», и есть модель отношений системного уровня и потому она и не знает отчуждения от хотя бы чего-либо в мире. Соответственно иллюзорны и попытки определения состояния подобного отчуждения. Но никак не иллюзорны попытки определения «семантически простого» внутри такой модели, памятуя конечно, что это самое «сложное и простое» принадлежит не онтологическому отчуждению, а онтологии способности определенного интерпретатора практиковать построение определенной интерпретации. В том числе важно и то, что расширение семантики вынуждает к осуществлению обратной проекции и на основании такой семантики, и внесения в подобные попытки все большей изощренности и тонкости. Поэтому, казалось бы, конечность наших выводов и не обращается каким-либо завершением исследования семантических структур уже в их качестве таких порядков или средств построения интерпретации, что и располагают такой спецификой, как взаимообусловленность их содержания.

01.2009 - 01.2017 г.

Литература

1. Рассел Б., "Введение в математическую философию", Новосибирск, 2007.
2. Гайденко П.П., "Обоснование научного знания в философии Платона", в сб., ред. Кессиди Ф.Х., "Платон и его эпоха", М., 1979.
3. Шухов А., Проблема "невозможности оснований математики", второй подход, 2010

 

«18+» © 2001-2019 «Философия концептуального плюрализма». Все права защищены.
Администрация не ответственна за оценки и мнения сторонних авторов.

Рейтинг@Mail.ru