Характерная особенность математики - использование буквенных индексов для обозначения неопределенных сущностей или сущностей сочетающихся в тех или иных комбинациях, причем объекты обозначения этими индексами - не только лишь алгебраические переменные. Тогда и в настоящем анализе мы прибегнем к подобной возможности, только средством обозначения нечто не знающего определения нам послужит не буквенный индекс, но «индексное понятие» системная модель. А далее вслед за заданием «индексного оператора» мы позволим себе принятие такого постулата: «математика представляет собой системную модель»; возможными аналогами математики в ее значении системной модели мы также будем понимать Булёву алгебру, таблицу Менделеева, любую таблицу либо типоразмеров технической номенклатуры (гаек, в частности), либо - группу видов технической номенклатуры (крепеж). Как таковой же задачей настоящего анализа мы и определим рассмотрение проблемы, что есть математика, если ее и надлежит расценивать как «системную модель», а если такая характеристика - это и маркер класса такого рода моделей, то что такое такого рода класс.

Однако прежде чем обратиться к разрешению поставленной задачи нам надлежит выразить и присущее нам понимание причин, обусловивших постановку этой задачи. Дело в том, что теория оснований математики посредством «доказательства теоремы Гёделя» также определяет и такой принцип как невозможность построения формальной теории исходя из себя самой. Тогда если допустить применение к такому способу вывода в известном смысле «теории оснований математики» предложенного Б. Смитом принципа, названного им «ошибочным априоризмом», то такой вывод, как и любой другой вывод фундаментального характера равно предполагает и опору на положения, принимаемые априори. И подобным условным «априори» для «доказательства Гёделя» мы тогда и определим положение, утверждающее, что формальная теория может существовать безотносительно того, определены или нет какие-либо предопределяющие ее начала. Или «формальной теории» даже, несмотря на ее предметный характер, равно не избежать и обладания такой спецификой как «принадлежность классу формальных теорий», откуда любого рода предметно специфичной формальной теории также дано опираться и на свои предметно специфичные посылки построения теории. Но при этом, когда зайдет речь о построении формальной теории, то и самой идее возможности построения такого рода предметно специфичной формальной теории уже надлежит предшествовать равно и подбору посылок этой теории. То есть идея возможности формальной теории будет опережать идею постановки задачи поиска ее посылок.

Изложенные здесь допущения и надлежит расценивать как не подлежащие какой-либо ревизии. Однако мы не будем здесь обращаться к постановке такой задачи как поиск посылок для той или иной формальной теории «мыслимой на уровне ее возможности». Мы, если крайне обобщить, рассмотрим здесь иную специфику, - в чем именно изменится мир, если из положения наличия в нем формальной теории (т.е., конечно, из наличия отношений, выражаемых в человеческой идее «формальная теория») перейти в положение отсутствия в нем формальной теории.

Огл. Укоренившийся в математике образ «явления математика»

Рассуждая об осознании математиками предмета их науки как специфического «явления», мы используем наш опыт общения на ряде Интернет-форумов с теми практическими математиками, кого интересовали идеи начал математики. Конечно, и среди математиков возможно различие точек зрения и мнение одного математика - не обязательно точка зрения принятая в математике. Более того, не исключена и ситуация, когда отдельные суждения отдельного математика легко можно опровергнуть посредством представления элементарной аргументации. Тем не менее, неоценимое подспорье для нашего анализа и выпало составить самой парадоксальности приводимого ниже понимания, бесподобного в части отличающей его иллюстративности.

Итак, вопрос о том, «кто имеет право рассуждать о математике как системе знаний?» в заострении своей полемической составляющей и переходит в вопрос оценки уровня математических знаний того же оператора простейших приемов вычисления, скажем, кассира. Как тогда оценивать объем знаний кассира, если и оценивать эти знания как «математические знания»? По мнению ряда наших собеседников, умение кассира соблюдать арифметическую точность не означает факта «знания кассиром математики». И, в то же время, развитие данного представления, предлагаемое нашими собеседниками, заключалось и в странной, на наш взгляд, манере избежания возможности задания любой мыслимой соотносительной шкалы, - кассир просто «не знал математики», но исключал признание обладателем любого иного знания, каких-либо представлений, быть может, лишь каким-то образом подобных математике. Как бы то ни было, но данному решению невозможно отказать и в наличии философского понимания: математика и есть система, невозможная вне предопределения обратимости ее формализмов лишь относительно «всецело математики», то есть предмета, непременно предполагающего задание то и посредством целостного представительства. То есть для такой точки зрения дискретные представления той же арифметики уже невозможно признавать самодостаточным и подлежит расценивать лишь как оппозицию континуального представления. Или если продолжить за наших оппонентов, заведомо предполагая и неприятие ими данной оценки, что непосредственно числовые ряды и позволят представление как разновидность математической функции, когда некоторые рядополагаемые формы комбинирования, например комплексное число, вряд ли будут позволять понимание удовлетворяющими типологии «функция ряда». На основании данной оценки также возможна формулировка и некоей концепции.

Посредством обобщения данного ряда утверждений тогда возможно вынесение такого определения: математика как формальная теория полноценна лишь в состоянии, когда как теория допускает распространение на всё способное представлять собой ее объект. Тогда уже следуя данной норме, мы и предпримем попытку рассмотрения предмета якобы «неполноценных» форм математики, посредством чего и попытаемся понять, инструментарий каких же именно средств определения статуса и необходим для онтологической и эпистемологической фиксации такого рода форм.

Огл. Что отличает «полноценное от ущербного»?

Признание некоей структуры или комбинации форм задания численной величины или совершаемых с ними комбинаций в качестве «неполноценной формы» математики прямо связано с возможной здесь утратой известных математике элементов, что и происходит при переходе к употреблению такой «неполноценной» формы. В данном отношении правомерно напоминание и двух возможных схем, наиболее адекватных для проведения такой реконструкции - сжатия и потери специфик («качеств»). Тогда чтобы не углубляться, как мы предполагаем, в не столь простые теории такого рода возможностей, нам подобает подобрать и возможную аналогию. В частности, для схемы «сжатия» здесь не исключена и такая аналогия, как картина идущего в обратном направлении процесса «расширения», а именно, развития ребенка до физиологического состояния «взрослого». Схеме «потери специфик» также возможен подбор такой аналогии, как превращение человека в инвалида в силу утраты определенных органов. Тогда подсказка интуиции и позволит нам избрание аналогии в виде схемы превращения в инвалида, что, однако, мы не склонны понимать снимающим с нас обязанность объяснения причин и отклонения нами схемы «взросления». И здесь очевидным доводом в пользу избранной нами аналогии и подобает признать обстоятельство, что сама возможность противопоставления континуального и дискретного и наступает в случае определения неких специфических форматов, в частности, определения натуральных и действительных чисел. Упрощение функциональности математики, наступающее при ограничении операций задачами учета дискретных объектов (наличных в кассе) и совершается посредством устранения представления об неких формах сложности, в частности, соответствующих классу действительных чисел. Сжать математический формализм так, чтобы действительные числа были отображены посредством некоторого «меньшего» или «слабого» формата, вряд ли возможно, математические формализмы как специфики очевидным образом несжимаемы. Отсюда и всякую форму, позволяющую признание тем местом, где аппарат математики представлен на условиях своего рода «сокращения», и подобает расценивать как форму, не объемлющую собой неких принципиально возможных специфик.

Таким образом, наша вольная аналогия - это идея представления арифметики как прямого подобия картине такого наличия утрат, что определяет собой состояние инвалидности. Тогда в развитие данной аналогии возможно и следующее обобщение: инвалид жив, равно и неполноценные формы математического знания позволяют использование для решения практических задач. И тогда полученные нами выводы и позволяют думать, что в этом нам все же удалось нащупать и некий способ редукции сложной системы математических представлений. И, видимо, переход при определении оснований математики от математики как «бытующего» к математике тогда уже в качестве «только потенциального» уже будет означать и совершение некоторой редукции. Как тогда и надлежит расценивать данный шаг процесса редукции нам и надлежит понять.

Огл. Редукция «от нечто к ничего»

Наш анализ понимания арифметики как своего рода «ущербной» формы математики и подобает начать с выделения такого «ошибочного априоризма», что означает, что в смысле «существования математики» переход от хотя бы какого-то существования ее практик к существованию лишь «оснований» математики и есть переход от нечто к ничего. Конечно, подобная посылка может позволять и некую иную форму представления, но мы все же будем понимать задание подобного условия «априоризмом» именно потому, что и намереваемся рассмотреть здесь собственно возможность или перспективу вывода формальной теории «из ничего». Иными словами, мы все же будем думать, что математика, какой бы она ни понесла ущерб посредством сведения ее содержания к какому-либо «фрагментарному» виду, все равно не утрачивает специфику характерного существования, собственно и обеспечивающего сервис совершения отдельных математических операций. И здесь наше рассуждение наилучшим образом и допускает продолжение в русле развития принятой аналогии. Итак, инвалид, хотя бы он и утрачивает ряд характерных человеку органов, все равно остается живым человеком. Здесь, если и отталкиваться от такого «физиологического прообраза», то функциональность некоторого органа тела и предполагает отождествление своим специфическим статусом. По сути, важен каждый орган человеческого тела, но некоторые из числа таких органов критически важны для поддержания жизни, а некоторые нет. Нарушение в деятельности сердца ведет к гибели человека, а отсутствие руки иной раз не мешает достижению глубокой старости. Исходя из подобной аналогии, мы и позволим себе понимание редукции математической системы «к ничего» своего рода лишением такой системы некоторой фундаментальной функции. (Мы, данное рассуждение невозможно без подобной оговорки, тем самым не предрешаем возможность такой редукции, но утверждаем, что если уж подобная редукция возможна, то ей просто не дано не носить такого характера.) Редукция какого бы то ни было математического инструментария «в ничего» и означает наступление положения, что определенно исключает возможность и какого-либо синтеза, положим, образования двойки из двух единиц или отрезка в качестве отношения связи двух отстоящих друг от друга точек. Однако и это не главное, а главным тогда и обращается то обстоятельство, что при построении оснований математики лишение корпуса математики его системно важной компоненты и мыслится как относящееся ко всему, чему угодно, но никак не к тому вседостаточному корпусу математических структур, что собственно и определяется как «математика».

Те математики, что и ставят перед собой задачу поиска оснований математики в силу необъяснимых причин и обнаруживают склонность к лишению системно важной компоненты никогда не самой полноценной системы математических условностей, но непременно же одного из принадлежащих ей фрагментов, например арифметики или планиметрии. Как ни дико это звучит, но в понятиях принятой нами аналогии они пытаются «умертвить инвалида». Например, Пеано в своих [оригинальных] аксиомах вводил понятие «[натуральное] число» вне уточнения, что подобная сущность уже есть продукт упорядочения (скорее, лучшую иллюстративность здесь принесет использование термина «регуляризация»)) множества. Лишая арифметическую структурность возможности регуляризации, он «сбрасывал» состояние счетности в положение несчетности. Однако поскольку Пеано все же не определял - и такая мысль, увы, не осенила и Б. Рассела, по работе которого мы и судим о существе идеи Пеано (1), - над чем он оперирует, то мы и позволим себе предположить, что объекты предпринятой им манипуляции непременно составили элементы, способные к проявлению свойства анонимности. (Анонимность, следует пояснить, будет допускать ее фиксацию лишь на основании заключения об «отсутствии возможности наложения характеристики предполагаемого особенного», что не допускает ее понимание в качестве отличия простого рода, понимали бы это разработчики далеко не только теории множеств.) То есть как арифметическое состояние открытости перед счетным упорядочением, так и состояние способности вхождения в ассоциацию для геометрии, и следует определять как представляющие собой системно важный компонент математической условности, лишение которого, по мысли создателей аксиоматических форматов математики, и предполагает обращение уже фрагментированного корпуса математических условностей в ничего.

Но поскольку в качестве предмета нашего анализа нами определено философское осмысление подобного рода манипуляций, то мы попытаемся подыскать ответ на вопрос, обеспечивает ли для математиков этот самый мыслимый ими переход в математически-комбинаторное «ничего» на самом деле пребывание в этом самом «ничём»? Также и второй интересующей нас существенной проблемой, хотя, скорее всего, мы не сможем предложить здесь ничего лучшего помимо крайне обобщенной оценки, и обратится проблема, дано ли потребности в выделении фрагментированного состояния («инвалид», олицетворяющий неполноценную арифметику) образовать и сумму обстоятельств, необходимых для выявления тех «истоков», что далее порождают систему математической условности? Так или иначе, но необходимо повториться, что наделение статусом «первичной» формы обязательно дискретного, а не какого-либо другого представления также предполагает и некое обоснование.

Теперь если вернуться к проблеме «перехода в ничего», то подобает определить, что само собой «неструктурный» характер математического знания (или, положим, «отсутствие общей теории ансамблевых форм») и обращается прямой причиной попыток задания обстоятельств, создающих возможность совершения «простого шага». Математическая редукция действительно доводит сложность системы математических условностей до состояния, позволяющего «обнажение» системно важных компонент и, соответственно, упрощающего задачу их исключения. Иными словами, построители теорий оснований математики все же выходят на уровень перехода «живой - неживой», хотя сама же математика и определяет, что для достижения реальной математической функциональности необходимо не просто «обладание жизнью», но и обретение «совершенной жизнеспособности». В таком случае авторов теорий оснований математики и подобает упрекнуть в том, что они не пытаются определить, перспективно ли подобное «обладание» жизнью равно и в отношении выхода на уровень «полноценной жизнеспособности».

Огл. «Двойка образует мир»

Наши предшествующие рассуждения уже составили собой достаточное основание и для обретения определенности, дано ли как таковой онтологии допускать переход и в мыслимое создателями теорий оснований математики состояние «отсутствующей регуляризации»? Нас будет интересовать здесь онтологическая оценка данной проблемы, суть которой можно определить посредством следующей постановки вопроса: располагает ли комбинация, задающая или выделяющая до-математическое «ничего» способностью совершенного исключения математической условности, например, функции построения порядковой последовательности? Ответ на подобный вопрос, причем отрицательный, был получен в самую начальную пору философии, и был дан никем иным как Платоном, но, по крайней мере, нам не известны попытки проецирования подобного ответа на проблему построения оснований математики. Тогда мы позволим себе начать с экскурса в представления Платона, обобщенные в одной превосходной работе, уже принадлежащей не древности, но нашему времени.

В эпоху истории нашего отечества, понимаемой гибельной для свободы слова, не прекращалась работа мысли, для которой, возможно, и были закрыты пути анализа социально «острых» проблем, но которая фактически не встречала препятствий при обращении к проблематике, не пересекающейся с нормами господствующей догматики. Так, в 1979 году был издан сборник статей «Платон и его эпоха», подлинной жемчужиной которого мы и предложили бы признать работу П.П. Гайденко «Обоснование научного знания в философии Платона». Фактически эта работа посвящена не в современном понимании «научному знанию», а смыслу номиналистики и номиналистической составляющей для платоновской философии. Мы приносим извинения за обильное цитирование данной работы, но нам кажется, что лучше, «Платона в пересказе П.П. Гайденко» никому не удалось бы изложить существо такого предмета.

Таким образом, операцию введения «нечто» в мире («нечто в бытии», как буквально по данному тексту) непременно и подобает расценивать как операцию введения структурности, неизбежно располагающую, в смысле ее онтологической специфики, и всей математической условностью как таковой. То есть математику невозможно ввести «из ничто», но математическое знание явно допускает разотождествление с особыми обстоятельствами чьего-либо математического незнания. Это и позволяет такую возможность как указание условий, означающих собой некое состояние нашего познания или отсутствия системы понятий и дисциплинарных практик совершения операций, правил перехода порядков друг в друга, но мы явно лишены и возможности понимания любого нашего рассуждения неструктурным (не структурированным), не несущим в себе никакой условности математической природы. А отсюда и правомерен вывод, что математические формализмы, включая и простейшие числа, и подобает расценивать как принадлежащие системе, определенно не предполагающей наличия у нее каких-либо оснований, что хотя и позволяет своим сущностям обращение комбинациями «исходных» форм, но одновременно и допускает их наделение спецификой «олицетворения возможности комбинации». Видимо, природа «запечатленной комбинации» где-то свойственна и элементам периодической системы, но здесь мы все же забегаем вперед, а пока что нам просто следует предложить нашу формулировку, собственно и определяющую невозможность «онтологического способа» (или - «онтологической методологии») выделения оснований математики. В таком случае мы и позволим себе то определение, что для любого того, что и могло бы претендовать на обретение специфики нечто «оснований математики», просто отсутствует тот онтологический уровень, (или «срез») на котором и могло бы состояться выделение подобного нечто. Поскольку, если согласиться с Платоном, то любое конструирование любого вероятного присутствия в мире тогда и любого «нечто» в потенции представляет собой воспроизводство и неких математических структуры или порядка. А математику тогда, вне зависимости от счетности, несчетности, сходимости, конечности и т.п. непременно и подобает определять как нечто общую коллекцию структурных форматов.

Огл. Философская оценка «смысла поиска» оснований математики

Реальность любого рода структуры - она же и реальность структурной специфики, а, следовательно, и исток разнообразия такой специфики, причем не просто релятивного позиционного разнообразия, но и предметного разнообразия. Предметное же различие по признаку структурной специфики - это и различие математических форм или форматов задания зависимости, что как формы задания зависимости - это универсальные характеристики условия воспроизводства неких порядков регулярности, в том числе, и порядков регулярности физической действительности. Если познающему субъекту доводится описывать некую форму физического упорядочения, то в любое из описаний ему неизбежно доводится включать и некое математическое представление. И одновременно сами математические представления - это не отображения или «отпечатки» физических структур, но производные или построения «универсальной модели порядков соотнесения». Причем если обратиться к попытке определения природы такого рода «универсальной модели», то заключенное в ней разнообразие порядков соотнесения можно рассматривать и как последствия «нарушения простоты» некоего исходного простого соотнесения. Если математику и понимать как практику образования сложного соотнесения посредством нарушения условий простого соотнесения, то отсюда условным «основанием» математики и возможно обращение нечто, для чего собирание воедино представляет собой элементарный шаг. То есть тогда условные «основания математики» и есть то нечто, что для данных условий сложности интерпретации допускает отождествление на положении элементарного синтеза.

Если это так, то нам и подобает осмыслить картину той иллюстрации, когда обладатель не столь уж и развитого сознания приступает к попытке построения системы арифметики. Для носителя такого сознания его «элементарный синтез» - это объединение предметов в наборы или коллекции, а отсюда в его смысле «основанием» математики и выпадает обратиться мобильному и, одновременно, тривиальному и при этом иллюстративно целостному элементу физически представленного набора, например, счетной палочке. Математики же, когда они строят основания математики, путают набор просто и мощность множества, эквивалентную наращенной к этой позиции мощности набора, в частности так, видимо, и думал Пеано, если исходил из понятия «следования» (последующий элемент). Именно поэтому он фактически и определял такого рода «основанием математики» тогда уже и условие наиболее элементарного различия, характеризующего множества разной мощности. Число для Пеано - это никоим образом не указываемая нами характеристика «мощности набора», но собственно мощность, что и предполагает сопоставление ей как предыдущей, так и последующей мощности. И тогда на вопрос, почему именно в подобной картине ряд натуральных чисел не обращается «рядом растущих сумм» (математическое понятие «сумма членов натурального ряда») мы вряд ли предложим и сколько-нибудь разумный ответ. Или, быть может, в глазах Пеано операция элементарного синтеза и позволяла понимание вовсе не операцией воссоединения набора, но более тонкой манипуляцией «получения из одной мощности ближайшей следующей». Собственно и порождаемое всем этим понимание особого характера «оснований математики» уже непосредственно для математики и позволяет, но в весьма и весьма грубой форме, определение начала процесса выделения оснований математики как в целом наследующего способности осознания природы математической операции.

Если в примитивном случае образование набора выполнялось как собирание набора в виде анонимно входящих в него частей, то далее оно развилось в практику идентифицирующего собирания посредством присвоения стандартного имени «следующий после …». Далее это следованию дано было обрести и вид последовательности «следующий на определенных правах» в тех же ряду либо натуральных, либо рациональных чисел. А далее имело место и выделение действительных чисел с присущим им «всего лишь» безусловно больше или безусловно меньше и т.п. Но и разотождествление такого «следующего после …» с «располагающим безусловно большим» просто невозможно не понимать расширяющим объем этого «следующего после …». Однако источником идеи такого рода «тонкого различия» дано предстать не как таковой математически фиксируемой структурности, но точности дефиниций математического знания, работающего с различными форматами его номиналов, чье основание дано тогда составить равно и возможности возведения такой структуры к неким следующим началам.

Поскольку вряд ли можно найти то представление мира, что не было бы представлением присущей ему неоднородности в формате математической структурности (этот уровень включения математической структурности в мир мы и называем уровнем системной модели), то искать онтологически истинные основания математики бессмысленно. Также невозможно проследить и какую-либо связь между потребностью в сложности представлений и адекватностью применения: сложность необходима особым формам математики, когда простые формы сохраняют свою истинность и в отсутствие подобной сложности (увы, «незнание математики», не мешает кассиру не ошибаться в расчетах). Отсюда и единственным условием, налагаемым на основания математики с целью придания им «следующих совершенств» и правомерно признания условия «семантической чистоты». Основания математики именно потому и предполагают изощренность, что пользователь такого концепта, современный математик, оперирует достаточно диверсифицированной системой представлений, и ограничение оснований некими простыми комбинациями также может помешать и достаточно четкому обозначению предмета. Поясним это условной иллюстрацией. Положим, множественную форму комбинации дискретностей обозначает понятие «набор», а комбинации континуального содержания - понятие «куча». Чтобы не относить основания, определяющие дискретные численные построения (арифметику) также и к числу «куч», необходимо четкое описание выполнения операции «следующий». Примитивное же представление, отождествляющее математику не более чем с дискретным структурированием, уже не испытывает потребности в такого рода тонкой дифференциации. То есть усложнение истолкования оснований математики и подобает расценивать не иначе как на положении последствия той семантической многозначности, что прямо связана с многообразием возможностей приложения математического структурирования.

В итоге, если признавать правомерность вынесенной нами оценки, то задача выделения оснований математики - это не иначе как задача выделения условно простых математически оформленных специфик, никоим образом не доматематической, но явно математической природы (например, единицы, множества, числа), данных, как ни странно, в их нерасследованном состоянии. А далее же такие специфики требуют и их «шлифовки» в отношении достижения точности их воспроизведения, задаваемой уровнем развития классификации, создаваемой формой познания «наука математика». Но равно и саму идею «первородства» такой формации с онтологической точки зрения и подобает расценивать как бессмысленную.

Огл. Статус системной модели и ее открытость для редукции

Математика потому и допускает задание ей статуса системной модели, что само становление мира одновременно обращается и становлением этой модели, а изъятие из мира математического упорядочения (естественно, условного, на деле явно невозможного) означает и коллапс мира. Отсюда дано следовать и прямой невозможности извлечения чего-либо, стоящего «до математики» способного представлять собой основание математики, ситуация выхода «за границу» математики может означать лишь ситуацию выхода за границу мира. Попытки ученых мыслить основания математики и вводить их в рассуждение раскрывают лишь присущее им непонимание математической же фактуры той ситуации, рамки которой и избраны ими для выделения оснований математики. Как бы «просты» ни были выделяемые ими сущности, те же «1» или «0» аксиом Пеано и т.д., они остаются или такими же математическими, или теми, чьим условием выделения тогда и обращается та структурная форма, что по существу математическая в содержательном отношении. В более общем виде здесь тогда возможна такая формулировка: некая модель потому и носит характер системной, что выражаемая ею системная составляющая проникает во все отношения, как-то связанные со спецификой этой модели. Математика это любым образом системная модель мира, и потому и невозможна какая-либо частная или локальная схема, в которой «нет математики». Тогда построение модели математики и возможно лишь посредством употребления тогда и ее собственного, пускай простого, но полнофункционального содержания, а не при помощи некоей части этого содержания, поскольку выделение части этого содержания совершается посредством математического же разбиения, и тогда понимание такой части как части и есть нарочитое пренебрежение присущим ей содержанием.

Но помимо собственно редукции равно возможны и не вполне полноценные формы «ужатия», связанные с предоставлением некоторому оператору познания определенных удобств в смысле, например, возможности употребления содержания, удовлетворяющего некоему условию компактности. Таким сущностям одновременно и компактным, и, также, и полноразмерным, для внесения в надструктурную упорядоченность, и следует, на наш взгляд, играть роль не более чем средства имитации «оснований математики». С такой точки зрения следует определить, что основания математики, какие бы они ни были и каким бы способом не предполагали выделения, и не могут быть чем-то иным, помимо как условностью мнимых оснований математики. Характер этих мнимых оснований и определяет, о чем здесь и было сказано, уровень развития представлений о математическом структурировании, то есть условие широты семантики заключенной в системе математических представлений. Тогда мы и позволим себе формулировку следующего принципа, собственно и восходящего не более чем к нашей интуиции: чем более широка семантика, выражающая собой связи определенного рода формальных зависимостей, тем ей дано требовать и большей диверсификации и углубленного представления специфики отношения простейшего различения. Этот закон и оправдывает предпринимаемые математиками поиски оснований математических представлений, несмотря на определенную нами здесь мнимость само собой функтора «оснований» математики. Устанавливая посредством фиксации мнимых оснований все более тонкие состояния различия математических сущностей (структурностей, условностей), теоретики математики и исключают этим ошибки наложения и пересечения дефиниций в нашей системе интерпретации «математическое знание». То есть поиск этих оснований, собственно и не обращаясь заданием каких-либо оснований, поскольку их создание просто принципиально невозможно, все же приводит к образованию в математическом знании все более тонких систем или же аппарата классификации.

Невозможность же приведения математики к состоянию «выделения в формате оснований» прямым образом и исходит из «принципа Платона»: всякая структура всего лишь в качестве структуры представляет собой математическое содержание. А поскольку бесструктурное представление любого рода связей внутри мира просто невозможно, то и «опередить математику» невозможно, она попросту не опережаема. Нам кажется, что данное понимание могло бы поставить точку в бесплодных попытках поиска решения не имеющей решения задачи.

Огл. Заключение

Пожалуй, лишь посредством наблюдения, обобщения и некоторой помогающей этим двум практикам дедукции нам удалось выяснить давно известную, но сих пор практически непонятую вещь: модель, которую человек называет «математическим знанием», и есть модель отношений системного уровня и потому она и не знает отчуждения от хотя бы чего-либо в мире. Соответственно иллюзорны и попытки определения состояния подобного отчуждения. Однако, напротив, теперь уже не иллюзорны тогда и попытки определения «семантически простого» внутри такой модели, памятуя конечно, что это самое «сложное и простое» принадлежит не онтологическому отчуждению, а онтологии способности определенного интерпретатора практиковать построение некоей интерпретации. В том числе важно и то, что расширение семантики вынуждает к осуществлению обратной проекции и на основания такой семантики, и внесения в подобные попытки все большей изощренности и тонкости. Поэтому, казалось бы, конечность наших выводов и не обращается каким-либо завершением исследования семантических структур уже в их качестве таких порядков или средств построения интерпретации, что и располагают такой спецификой, как взаимообусловленность их содержания.

01.2009 - 01.2024 г.

Литература

1. Рассел Б., "Введение в математическую философию", Новосибирск, 2007.
2. Гайденко П.П., "Обоснование научного знания в философии Платона", в сб., ред. Кессиди Ф.Х., "Платон и его эпоха", М., 1979.
3. Шухов А., Проблема "невозможности оснований математики", второй подход, 2010