Возникновение и эволюция счета; появление понятия числа.

Возникновение математических понятий произошло задолго до появления собственно математических текстов. Некоторые ученые, например известный немецкий математик М. Кантор (Cantor) считали, что счёт имеется уже у животных. По М. Кантору, «счёт, поскольку под ним подразумевают лишь сознательное сведение воедино определенных сущностей, не составляет особенности человека, ибо утка также считает своих утят» (Цит. по: 4., С.11.). Современные исследователи отмечают, что животные разных видов, начиная с рептилий, обладают способностями обобщения по признаку «соответствие», абстрагирования, ряд позвоночных способны к зачаткам «символического мышления человека». Вороны «способны не только к обобщению относительного признака «соответствие», но также к формированию довербального понятия «число». (См. подробно: 2., С. 190.).

Как пишет Ф. Кликс: «Способность распознавать различные количества предметов одного и того же или разного вида встречается уже среди врожденных поведенческих программ. Пчелы дифференцируют различное число лепестков у цветов. Некоторые виды птиц, например, голуби, могут научиться различать количество точек и пятен, числом 7 или 9». (3., С. 211.).

По мнению советских авторов «Истории математики» (1970) счёт прерогатива, сугубо, человеческая, первобытно-пещерным «людям», как и уже высшим животным доступен так называемый «чувственный счет»: «Когда первобытному охотнику нужно было узнать, все ли собаки в своре на месте, он не считал их, а просто, окинув взором свору, видел, какой собаки не хватает. Такой «чувственный счёт», доступный даже утке чувствующей, весь ли ее выводок следует за ней к водоёму, существовал задолго до возникновения счёта» (1., С. 9.). Действительно, существуют гипотезы, согласно которым счёт, способность к счёту - это то, «нечто», что принципиально отличают человека от животного.

Интересно отметить, что такие животные как пчёлы строят форму своих сот, (которые представляют собой шестигранные призмы небольшого объема, одинаковой высоты), наилучшим образом «решая» проблему заполнения пространства. А пауки «умудряются» плести свои паутины, соблюдая строгие пропорции. Как это возможно, ведь пчёлы и пауки не знают высшей математики?

Таким образом, в верхнем палеолите, когда «супер обезьяна» овладела способностью создавать и оперировать понятиями, когда появилось понятийное, символическое мышление, появился собственно человек. Можно вполне согласится с В. Розиным писавшем: «…Сознание и разум, и психика человека сформировались под влиянием знаков, языка, общения» [6., С.35]. «…Именно развитие знаковых средств и знаковых систем (т.е. языка) и являлось тем основным фактором и рычагом, который привел к формированию человека…». [Там же. С.35].

Современный исследователь первобытной эпохи Фридхардт Кликс также писал о том, что оценки количества у первобытных народов носят перцептивный характер. «Перцептивное выделение одного или двух объектов (например, с помощью процессов, получивших в современной психологии название «селективное внимание») еще не является началом счёта в собственном смысле слова». (3., С.215.).

Первые арифметические и геометрические понятия появились в каменном веке. По мнению Люсьена Леви-Брюля (1857-1939), французского философа и психолога, представителя французской социологической школы, первобытным народам чуждо требование логики. Леви-Брюль проводил исследования жизни племен Австралии, Океании и Африки, на основе которых пришел к заключению, что мышление первобытных людей «пралогическое», хаотически-комплексное (некоторые психиатры, сказали бы и - психопатическое).

Леви-Брюль противопоставил свои воззрения «постулату» Тайлора, согласно которому «мышление в низших обществах повинуется тем же логическим законам, что и наше». В действительности, полагал Леви-Брюль, первобытное мышление отличают четыре особенности: оно носит мистический и пралогический характер и подчиняется закону партиципации (сопричастности), который управляет коллективными представлениями. Содержание первобытного мышления мистично, поскольку не отражает объективных свойств вещей и явлений, а выражает сакрально-фетишистские и мифологические смыслы и значения, которые им приписываются человеческим коллективом. Называя первобытное мышление пралогичным, Леви-Брюль не считает его дологичным, алогичным или антилогичным, а только указывает на то, что оно «не стремится, подобно нашему мышлению, избегать противоречия», т.е. не следует диктату законов формальной логики. Подчиняясь вместо этого закону сопричастности, первобытное мышление «всюду видит самые разнообразные формы передачи свойств путем переноса, соприкосновения, трансляции на расстоянии, путем заражения, осквернения, овладения». Его смысловыми единицами являются не понятия, а коллективные представления.

В качестве примеров, Леви-Брюль приводил, например случай с миссионером Груббом, у которого знакомый индеец однажды потребовал плату за «украденные» (как ему это приснилось) им тыквы. Однако, как выяснилось, миссионер в момент «кражи» находился в 150 милях от огорода индейца. Тот признал этот факт, однако продолжал настаивать на своем требовании.

Основатель структурной антропологии Леви-Стросс показал, что Леви-Брюль был не прав, отрицая наличие логики в мифологическом сознании: последнее способно к обобщениям, классификации, анализу и постоянно оперирует т.н. бинарными оппозициями.

Стоит отметить, что поздний Леви-Брюль в последние годы жизни признал некоторую ошибочность своего взгляда на первобытного человека как человеке мыслящем нелогично; отказался от гипотезы пралогического мышления; скорее, по Леви-Брюлю, можно говорить, что его логика погружена в мистические ориентации сознания.

Однако обратимся к рассмотрению эволюции появления счёта.

Что появилось первым понятие числа или счёт? Очевидно, что понятие числа кристаллизовались на основе и в процессе развития счёта.

Можно выделить четыре этапа этой эволюции:

Рассмотрим эту эволюцию подробно.

Итак, первым шагом или этапом к возникновению счёта было установление «взаимно однозначного соответствия» между считаемыми предметами и некоторым другим множеством. (См. 1., С.9.). Счёт строился на однозначных соответствиях; «у некоторых южноафриканских племен при счёте дотрагиваются до каждого предмета по очереди пальцами, начиная с мизинца левой руки» (1., С. 10., 4., С.17.).

Австралийцы и полинизийцы, пользовались своим телом как живой шкалой, каждая часть тела которого имела свое название и место в системе счисления. Таким телом-живой-шкалой «пользовались, чтобы сообщить, например, дружественному племени о количестве воинов, собираемых племенами, или о числе дней, по прошествии которых следует выходить на охоту». (Там же. С.10.).

У первобытного человека не было потребности в счёте больших количеств. Поэтому счет доходил до 2 или до 3 - всё превышающее этот рубеж, первобытному человеку представлялось как «много». Числительное «два» имело качественное происхождение - пара рук, ног, глаз и пр.

Как писал Кликс: «У древних и первобытных народов первые числительные нередко связаны со словами, указывающими на какие-либо особенности единичных объектов. Так, в одном из древнеиндийских языков для обозначения единицы используется слово «луна», а «день» (дополняющий ночь) означает в тоже время числительное «два». В древнейших из дошедших до нас языков после двух для обозначения количества применялось слово, имеющее значение «много». В одном из древнеегипетских текстов можно прочитать: «Царь убил тысячи (трижды повторяется знак «тысяча») врагов, а сотни (три знака «сто») взял в плен». Как хорошо известно, письменным значком воды у древних египтян было изображение трех волнистых линий, а цветущие лотосы обозначались с помощью трех стилизованных изображений цветочных зонтиков. В китайском языке иероглиф «лес» состоит из трех знаков «дерево». (3., С.215.).

По мнению Кольмана, концепция отождествляющая зарождение счета на пальцах с зарождением количественных понятий - ошибочна. Ложна теория Липперта, утверждающая, что числительные «один», «два», «три» происходят от личных местоимений «я», «ты», «он», возникших из рефлексии первобытного человека. По Кольману, эта теория ложна, т.к. «ни в одном из тысяч известных нам языков нельзя проследить указанного мнимого родства между числительными и местоимениями». (См.: 4., С.18.).

Ложна, по Кольману, и теория Вундта, по которой системы счисления, имеющие основанием 2, 4, 8 возникли в результате дробления племени на две части. По мысли Кольмана, «потребность в счете имелась давно уже внутри племени». (Там же., С.19.). Теория Кэджори также «лженаучна», т.к. объясняет различия в системах счисления у разных народов, концепцией «высших» и «низших» рас. По Кэджори, у «низших» рас используется пятеричная и двадцатеричная система счета, «высшие» пренебрегают ими как или слишком скудными, или слишком громоздкими. По Кольману, все это противоречит историческим фактам.

Вскоре (второй этап эволюции) - в процессе развития обмена - появились естественные эталоны счёта: пять пальцев руки, камешки, ракушки и пр.

Судя по всему, зачастую «первобытные исчисления» ассоциировались и назывались в соответствии со сравнимыми «естественными множествами» (при помощи «конкретных» чисел). Лучший пример сказанного: древнеиндийская система счисления, где Луна - единица, два - близнецы или глаза, пять - чувства, шесть - запахи, семь - горы, восемь - боги и т.д.

Постепенно для счёта предметов стала применяться более или менее однородные предметы (пальцы рук, если их не хватало, в ход шли ноги).

«Так, у индейцев племени абипонов число 5 называется «рука», 10 - «две руки», 20 - «руки и ноги»; в названии 4 - «пальцы страуса» - отражена более ранняя степень счёта. У зулусов каждый палец обозначал определенное число; например, слово «татизитуна» (буквально - «взять большой палец руки») обозначало 6, а «у комбиле», т.е. «он указал», - 7 и т.д.» (1., С. 10.).

«Так, обозначения чисел у обитателей одного из Микронезийских островов выглядят следующим образом: 1 = «маленький палец правой руки», 2= «безымянный палец», 3= «средний палец», 4= «указательный палец», 5= «большойпалец», 6= «кисть», 7 = «локоть», 8= «плечо», 9= «ухо», 10= «правый глаз», 11= «левый глаз, 12= «нос», 13= «рот», 14= «левое ухо» и т. д. Судя по всему, это соответствует той исторически ранней ступени развития когнитивных процессов, на которой понятия репрезентировались при письме с помощью пиктограмм. В обоих случаях речь идет о тупике, наивной попытке передачи на костылях наглядности безбрежного многообразия количественных и качественных отношений. Каким же образом была разрешена эта дилемма? В качестве временного решения в самых разных частях света в какое-то время утвердился прием образования вспомогательных множеств. Числовые системы ряда отсталых народов еще несколько десятилетий назад могли служить примером этого принципа. Остатки его сохранились и в нашем речевом мышлении.

Иллюстрацией использования вспомогательных множеств является образование числовых рядов индейцами одного горного племени, живущего на территории Колумбии. Их числовые термины различаются в зависимости от того, нужно ли считать животных, дни и даже длинные или округлые объекты. Для обитателей островов Фиджи 10 лодок- это «боло», а 10 кокосовых орехов- «каро», точно так же, как для североамериканских индейцев 10 лодок, участвующих в военных действиях, называются совсем иначе, чем те же самые лодки, используемые для перевозки продовольственных запасов. Названия чисел еще неразрывно связаны с событиями, в которых проявляются свойства конкретных предметов, обозначаемые теми же словами. Отголоском этого этапа развития в нашем мышлении и речи являются такие термины для обозначения большого количества определенных объектов, как «толпа», «куча», «стадо» и т.д.». (3., С.216.).

«Собственная история счета начинается лишь тогда, когда счет сопровождает материальную манипуляцию откладывания, перекладывания, прибавления и т.п., конкретно проводимую с самими предметами», - отмечает Кольман (4., С.17.).

Первобытному человеку необходимо дотрагиваться до предметов пальцами. О ручном счете у жителей Новой Гвинеи сообщает Н. Н. Миклухо-Маклай (См.: Н. Н. Миклухо-Маклай. Путешествия. Т. 1. М. -Л., 1940. С. 280.). «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает определенный звук, например, «бе, бе, бе»…Досчитав до пяти, он говорит «ибон -бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет «бе, бе»…, пока не доходит до «самба-бе» и «самба-али» (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого». (Цит. по: 4., С.17.).

«Ручной счет сыграл в развитии счета столь же важную роль, как и открытие огня в общем развитии первобытного человека» - заключает Э. Кольман. (4., С.17.). По его мнению, счет пальцами рук и ног, сменился знаками «заместителями» отсчитываемых предметов. Такими «знаками заместителями» стали камешки, ракушки, которые в процессе счета откладывались в кучки, наносились зарубки, завязывались узелки и пр. Понятия 1, 2, 3 и т.д. появляются раньше самого понятия числа.

Кликс отмечал, что «развитие счета и, как мы знаем теперь, формирование числовых систем требует выполнения двух предварительных условий. Первым условием является образование цифр в некотором ограниченном числовом диапазоне. Образование цифр связано с наименованием. Вследствие ограниченности возможностей памяти оно диктует необходимость использования итеративного или, точнее, конструктивного принципа. Австралийские аборигены считают так: 1 = энеа, 2= петхевал, 3= петхевал-энеа, 4= петхе-вал-петхевал. Обозначения для трех и четырех образуются из названий единицы и двойки. Число таких примеров можно было бы при желании увеличить. Представители другого австралийского племени делают это так: 1 = мал, 2 = булан, 3= гулиба, 4= булан-булан, 5 = булан-гулиба, 6= гулиба-гулиба. Мы видим здесь тот же принцип: ограниченное количество числительных благодаря их конструктивному объединению может быть использовано для обозначения элементов большего множества. В простейшем случае, как в наших примерах, такое объединение является аддитивным.

Вторым предварительным условием создания числовой системы была гомогенизация перечисляемых объектов. Это осуществляется с помощью отнесения произвольно выбранных для счета предметов к элементам возможно более однородного вспомогательного множества: камешкам, раковинам, палочкам и т. п. Собственно творческим моментом является при этом перенос обозначений числа на элементы вспомогательного множества. Значение этой процедуры на пути к созданию числовой системы состоит в том, что с ее помощью осуществляется абстрагирование от всех вещественных, или предметных, свойств определенного множества, за исключением числовых характеристик. Обозначение числа и понятие о числе - далеко не одно и то же». (3., С. 217.).

На третьем этапе появление множества эталона счёта, «символизирующего какое-нибудь конкретное число, привело к возникновению понятия числа» (1., С. 9.).

С развитием хозяйства возникла потребность в расширении пространства счета. При возникновении потребности в расширении числовой области низшие числительные, зачастую, просто повторялись.

Например, у племени обитающего в бухте Купера: 1 - «гуна», 2- «баркула», 3 - «баркула - гуна», 4 - «баркула - баркула». В некоторых языках множественное число образуется простым повторением, так, на языке хинди «бхай» - брат, «бхай-бхай» - братья. (См.: 4., С.12.)

На языке «одного из островов Торресова пролива существуют следующие наименования: 1 - урапун, 2 - окоза, 3 - окоза-урапун, 4 - окоза-окоза, 5 - окоза-окоза-урупун, 6 - окоза-окоза-окоза и т.д.

Индийское племя абипонов полтора века назад вело счет таким образом: 1 - инитара, 2 - иньоака, 3 - иньоака - инитара, а далее употреблялись специальные названия числительных, основанные уже на пятиричной системе» (1., С. 12.).

Однако необходимость счета больших количеств выявил неспособность прежнего способа счета (когда низшие числительные повторяются) справится с этой задачей. «Высшим числам даются особые названия, возникают высшие числительные». (4., С. 16.). Крайние числительные теперь простираются гораздо дальше 10 и даже 20. За крайним числом по-прежнему простирается неопределенное «много». (Интересно, что у русских названия «пыль», «звезды», «тьма» были равнозначны понятию «много»).

Серьёзную потребность в выработке количественных исчислений и оценок вызвал зарождающийся обмен между родами и племенами.

Как отмечал Э. Кольман: «Первоначально обмен не носил характера сделки. Только постепенно обмен стал строится на стоимостной оценке обмениваемых продуктов» (4., С. 14.). В те времена обмен у первобытных народов строился на основе наглядных установлений взаимных соответствий, иначе говоря, - визуального определения соответствий обмениваемых предметов. Первоначально при обмене предметов, пишет Э. Кольман, «не считали количество их элементов, а чувственно - наглядно устанавливали взаимно однозначные соответствия этих элементов…». (4., С. 15.). «Так, по описаниям Дж. Моргана, двое мужчин австралийских племён с каждой стороны «приносили угрей и коренья на длинных кусках коры. Затем они переносили их на голове с одной стороны на другую, пока все количество не было обменено» (Там же. С. 15.). Отдельные остатки или отголоски этого способа обмена сохранились и у некоторых африканских племен.

Позднее, через десятки тысяч лет установилась меновая стоимость, «однако, представление о качестве обмениваемых предметов, их массе, размерах, весе и т.п. еще не играло решающей роли. Так, например, в «Иллиаде» указывается соотношение: 1 медный треножник = 12 волам = 3 рабыням» (Гомер. Иллиада. М.-Л. 1949. С. 504. // Цит. по: 4., С. 15.). Возникновение представления об изменении стоимости в зависимости от качества повлечёт за собой дальнейшее развитие числа, и, собственно, счётных способностей человека.

При своем появлении понятие числа было неотделимо от понятия измерения, «легшего затем в основу геометрии» (4., С.16.).

О времени появления понятия числа у народов Евразии можно судить о сходстве обозначений числительных. Можно видеть сходство между русским «один», немецким eins, английским one, французским un, латинским unus; тоже касается числительного «два», zwei, two, deux, duo и «три», drei, three, throis, tres. Все это говорит, что «названия чисел у предков этих народов появились еще в те далекие времена, когда они говорили на одном языке» (См.: 1., С. 11.).

Стоит отметить, что у большинства народов названия десятков образуется по схеме n · 10, где n - число десятков (например, двадцать, тридцать, пятьдесят и т.д.).

«В этой связи очень интересны исключения во французском языке, где 70 - называется soixante - dix (60+10), 80 - quatre - vingt (4 · 20), 90 - quatre - vingt- dix (4 · 20+10), т.е. начиная с 70 французы считают не десятками, а двадцатками. Более последовательно счет двадцатками проведен в грузинском языке, где 10 - ати, 20 - оци, 30 - оидати (20+10), 40 - ормоци (2 · 20), 50 - ормоцдати (2 · 20+10), 60 - самоци (3 · 20) и т.д.». (1., С.11.).

Интересно отметить, что в большинстве современных языков «названия числительных основаны на десятичной системе, т.е. на представлении чисел в виде суммы числа единиц (до 10), числа десятков (до 100), числа сотен (до 1000) и т.д. Несомненно, что в основе этой системы лежит счет на пальцах. Именно так полагал Аристотель, к мнению которого уместно добавить еще слова А. Лебега: «Возможно, что если бы люди имели одиннадцать пальцев, была бы принята одиннадцатиричная система счисления». (1., С.11.).

«Двадцатиричные названия у французов и грузин представляют собой пережитки счета двадцатками, при котором считались не только пальцы рук, но и пальцы ног». (Там же. С.12.). Двадцатиричные названия десятков можно встретить во многих языках: датском, осетинском, абхазском, ацтекском и др.

Возникновение и изображение числовых знаков. Зарождение математических действий.

Первоначальными средствами запоминания чисел были пальцы рук, зарубка на дереве, костях, плетение узелков на веревках, связка прутьев, куча раковен, камней и пр. В 1937 году в раскопках около деревни Вестонице в Моравии (Чехославакия) была обнаружена лучевая кость молодого волка с отметинами. Эта находка старейшая из найденных записей числа (кость относится к ХХХ веку до н.э.). Кость имеет длину в 18 см, на которой высечено 55 глубоких зарубок - параллельных черточек. Видимо, кость служила для записи трофеев первобытных охотников. (См.: 4., С.23., 1., С.12., 3., С.212-213.). «Зарубки, обозначающими долги на бирках, раскалывающихся на две половины, одна из которых хранится у должника, а другая у кредитора, пользовались в Западной Европе даже в XIX в. (…)». (1., С.12.). «Инки записывали свои долговые обязательства с помощью узелков на цветных веревках - перуанских квипу». (Там же., С.12.). Близкие аналогии квипу можно было встретить в некоторых районах Китая и Японии в ХХ веке.

Можно уверенно утверждать, что римские цифры (I, II, III) воспроизводят скорописную запись одной, двух, трех черточек. Однако римская цифра «пять» V, вероятно, «возникла упрощением иероглифа, изображавшего руку». (4., С. 25.). Римская же цифра «сто» - С, является начальной латинской буквы числительного centum.

Как сообщают авторы «Истории математики» (1970): первоначальное изображение чисел (нумерация (от лат. numerus - число) было основано на так называемых «аддитивном (от лат. additio - сложение), субстрактивном (от лат. substrakctio - вычитание) и мультипликативном (от лат. multiplicatio - умножение) принципах». (1., С. 12.).

Аддитивная нумерация строится на принципе основных знаков, например для основных чисел - 1, 10, 100 употребляются не основные - n, 10 n, 100 n и т.д. «Субстрактивный принцип состоит в том, что сочетание цифр mn, где m<n, означает разность n-m, а мультипликативный принцип - в том, что сочетание цифр mn означает произведение чисел m или n». (1., С. 13.).

Классическим примером применения аддитивного и субстрактивного принципов является применяемая и нами римская нумерация: римские цифры II, III, VII, VIII, XX, XXX, и т.д. основаны на аддитивном принципе, а римские цифры IV, IX, XL - на субстрактивном принципе. (См.: 1., С. 13.).

Обозначение числовых знаков возникло вместе и на основе иероглифической письменности. Прежде математические действия записывались словами, затем их стали обозначать особыми символами: «=», «+» и т.д. «Сама операция счета долго представляла трудное, громоздное и утомительное занятие. До сих пор некоторые народы, находящиеся и поныне на низких ступенях развития, производят счет больших чисел так: один человек откладывает на пальцах обеих рук единицы, второй десятки, третий - сотни.

В течении тысячелетий единственными математическими действиями были сложение и вычитание (когда уменьшаемое больше, чем вычитаемое) небольших чисел. Постепенно возникло умножение, сначала как удвоение, на что ясно указывает египетская математика, в которой умножение сводилось к сочетанию удвоения и сложения».(4., С. 26.).

Возникновение умножения было тесно связано с зарождением земледелия и складывающимися геометрическими представлениями. Вавилоняне, например, называли произведение «а - ша», что значит «площадь». «Значительно позже, чем умножение, появилось деление. Конечно, понятие ½ возникло сравнительно рано. Но оно не связывалось с числом 2. Это не трудно проверить: ведь чуть ли не во всех языках, так же как и в русском, слова «половина» и «два» не происходят от одного корня». (См.: 4., С. 26-27.).

Возникновение геометрических понятий.

Возникновение геометрических понятий или понятий о геометрических фигурах произошло в глубокой древности при изготовлении скребков в форме дисков, круглых сосудов, конусойдных зданий и пр.

«Условия производства, даже самого примитивного, а в дальнейшем и обмена требовали измерения простых величин, на первых порах пусть хоть самого неточного. Единицами измерения, весьма грубыми и неустойчивыми, служили чаще всего части человеческого тела. Название вроде «локоть», «стопа», «сажень» (то, что досягаемо - расстояние между концами пальцев рук, расставленных на ширину плеч), «дюйм» (по-немецки Daumen - большой палец; ширина этого пальца), «фут» (по-английски foot - нога, ступня) и т.п. - как нельзя лучше убеждают нас в этом». (4., С. 27-28.).

«Большинство общепринятых в настоящее время в геометрии названий геометрических фигур является греческими, обозначающими различные предметы той или иной формы, с которыми люди сталкивались в своей практической деятельности: слово «центр» происходит от греческого слова χέντρον (β латинской форме centrum), обозначавшего палку с заостренным концом, которой погоняли быков (первоначально это слово было названием ножки циркуля, ставящейся в центр описываемой им окружности). Слово «ромб» происходит от слова ρομβος - волчок, «трапеция» - от слова τραπεξιον - «столик» (от того же корня происходит и «трапеза»). Слово «призма» происходит от слова πρίςμα - спиленная, «сфера» - от слова ςφαίρα (sphaera) - «мяч», «конус» - от слова χώνος (conus) - сосновая шишка, «цилиндр» - от слова χύλινδρος (cylindrus) - валик, каток. «Пирамида» происходит от древнеегипетского названия египетских пирамид «пурума», которому греки придали форму πυραμϊς. «Линия» (по-латински linia) происходит от латинского слова linum - лён; первоначально под линией понимали натянутую льняную нить. «Точка» происходит от глагола «ткнуть», так же как равнозначное слово «пункт» происходит от латинского глагола pungo - укалываю, т.е. первоначально под точкой понимали укол (ср. медицинский термин «пункция» - иглоукалывание).

Эти примеры показывают, что и в геометрии сначала появились геометрические эталоны: мяч - для шарообразных предметов, сосновая шишка - для остроконечных и т.д., а впоследствии названия этих эталонов стали названиями абстрактных геометрических фигур». (1., С.13-15.).

С зарождением гончарного и ткацкого дела развитие геометрического мышления значительно возросло. «В более позднее время в геометрических орнаментах появились и числовые отношения, - пишет Кольман, - например, в виде разбиения большого треугольника на меньшие треугольники или заполнения треугольника кружочками, правильно размещенными по строкам. Так, запечатлены, например, «треугольные числа» 1; 3= 1+2; 6= 1+2+3; 10= 1+ 2+ 3+4 и т.д., которым предавали «магический» смысл». (4., С. 28.).

Особенно сильное влияние на развитие геометрический понятий оказало земледелие. Земледелие, в отличии от гончарного и ткацкого ремесла, где требовалось прежде всего измерение длин, занималось измерением площадей и объемов. «Измерялись площади земельных участков, емкость сосудов и амбаров, объем вынутой при земельных работах земли. Мы знаем из сохранившихся клинописных записей шумерцев и вавилонян, что единицы измерения площади и объема, были при своем возникновении связаны с материальными потребностями общества. Оказывается, иероглиф понятия «площадь» тождественен с иероглифом «количество зерна» (нужного для посева на ней); иероглиф понятия «объем» - с иероглифом «куча земли» (вынутой при производстве оросительных работ). Русская мера объема «ведро» также указывает на конкретный практический характер происхождения пространственных мер». (4., С. 29.).

На развитие геометрического мышления существенно повлияло и развитие зарождающейся астрономии. Уже первобытные племена кочевников-скотоводов наблюдали за движением звезд и пользовались звездами как ориентирами. Становление обмена и мореплавания привили к дальнейшему развитию астрономических знаний. «Но астрономические знания немыслимы без развития знаний математических. Вначале случайное, а впоследствии все более и более систематические наблюдения небесного свода привело к ознакомлению со свойствами шара, круга и угловых направлений. Правда, круг в виде гончарного круга и колеса повозки был еще раньше известен многим народам. Но астрономическое понимание окружности как воображаемой линии, которую затем стали делить на равные части, проводить в ней хорды и т.д., было несравненно более глубоким. С зарождением астрономии геометрические понятия широко распространились на все трехмерное пространство, между тем как прежде, если не считать измерение простейших объемов. Они в основном ограничивались лишь двумерной плоскостью». (Там же. С. 30.).

1. История математики с древнейших времен до начала ХIХ столетия. В 3-х тт. Т.1./ Под ред. А.П. Юшкевича. М.,«Наука». 1970.
2. Зорина З.А., Политаева И.И. Зоопсихология. - М., 2001.
3. Кликс Ф. Пробуждающееся мышление. - М., 1983.
4. Кольман Э. История математики в древности. М., 1961.
5. Леви-Брюль Л. Сверхъестественное в первобытном мышлении. М., 1999.
6. Розин В.М. Введение в культурологию. М., 1994.