раздел «Авторская страница А. Соломоника»

Эссе раздела


Переосмысление лотмановского понятия «семиосферы»


 

Природа и Человек в роли Бога (философское заключение семиотических штудий)


 

Словарь семиотических терминов


 

Комментарии к книге Мориса Клайна «Математика Поиск истины»


 

Систематика, таксономия, классификация и их семиотические слагаемые


 

Некоторые философские проблемы развитой семиотики


 

О сращении знаков


 

Что нового входит в мою трактовку семиотики?


 

Семиотика общая и семиотики частные


 

Язык науки


 

Логическая процедура построения картографической типологии


 

Путешествие знаков по континентам семиотической реальности


 

Семиотические принципы отбора знаков при моделировании бизнес-операций


 

Проблема классификации знаков


 

Поиск решения текстовых задач на основе семиотического подхода


 

О возможности параллелизма в описании эволюции предмета математики в онто- и филогенезе семиотического подхода


 

Целевая аудитория современной музыки - где искать и как мотивировать?


 

Основы теории защиты информации


 

Прямая и непрямая коммуникация в онтогенезе


 

Переменные знаки в семиотике


 

Знак и символ


 

Понятие о понятии


 

О природе номинализма


 

О дополнительном определении концепта «знак»


 

О наглядности (философское эссе)


 

Как мы мыслим


 

Да и нет говорить


 

Предложения по внесению некоторых изменений в русский алфавит


 

Апофеоз математики (мнение семиотика)


 

О семиозисе


 

Иллюстрированная библиография основных работ А. Соломоника (1927 -      )


 

Ориентация в семиотической реальности (постановка вопроса)


 

От Сингулярности до Многообразия и Завершения (философия развития в семиотическом ключе)


 

Об основных направлениях в современной семиотике


 

Лестница познания


 

О виртуальной реальности


 

Совмещение знаков со своими референтами при обозначении


 

Комментарии к книге Мориса Клайна
«Математика Поиск истины»
(Москва, Мир, 1988)

Соломоник А.

Содержание

Я очень сожалею, что не прочитал эту книгу раньше. Многократно встречал ссылки на нее во многих источниках, но до книги мне удалось добраться только сейчас. Прочитал ее с огромным удовольствием и пользой для себя, но уже на ранней стадии поглощения материала возникло у меня желание поспорить с автором и высказать альтернативные суждения по многим пунктам его аргументации. Тем не менее, мои возражения идут не в плане критики, ибо, если исходить из намерений автора, книга вполне адекватна и достигла своей цели. Она содержательна, прекрасно аргументирована и вполне объективна с точки зрения изложения альтернативных точек зрения. Кроме того, она прекрасно написана, материал изложен в ней последовательно, обстоятельно и понятно. Перевод, по-видимому, тоже вполне приемлем, и никак не снижает авторского накала. Так что моя реакция выражается скорее не в критике, а именно в комментариях к данной книги, потому что я намерен выдвинуть совершенно иные постулаты для обсуждения той центральной проблемы, которую М. Клайн осветил в своем труде.

Я считаю, что для выяснения роли математики (как, впрочем, и других знаковых систем), недостаточно опираться на оппозицию природа - человеческий разум. Такой дуалистический подход был мною отвергнут в самом начале семиотических занятий, то есть около двадцати пяти лет тому назад. Вместо него была предложена совершенно иная модель рассмотрения гносеологических проблем – тройственная модель отношений между изучаемой природой, человеческим разумом и получаемыми в результате такого взаимодействия знаковыми структурами. В своих рассуждениях я опирался и опираюсь на тройственную модель взаимодействий, что кардинально изменяет наши подходы к пониманию процессов познания и действующих в этих процессах сил. Поэтому в моей спонтанной реакции на великолепную в целом книгу Клайна я не столько его критикую, сколько выдвигаю альтернативную исходную позицию для размышлений.

М. Клайн немало потрудился, чтобы показать, каких успехов достигла математика в объяснении природных процессов и взаимодействий, и это его утверждение абсолютно справедливо и неоспоримо. Он даже приходит к следующему заключению: «Трудно, если вообще возможно, избежать вывода: математическим знанием исчерпываются все наши знания относительно различных аспектов реальности» (стр. 227). Не довольствуясь демонстрацией достижений математики, он пытается выяснить, почему так происходит, почему математика оказывается столь могущественной в своих изысканиях. При этом неизменно появляются две основные точки зрения, выраженные в разных вариациях и с различными акцентами. Одна из этих противоборствующих позиций утверждает, что сама изучаемая природа изначально была построена на математических началах, и что эти начала лишь открываются ученым исследователям. При этом необходимо возникает обращение к Богу либо к иной высшей силе, которая создала природу на математических основаниях именно такой, а не иной.

Противоположная ей точка зрения не опирается на Божественное провидение при создании природы, она отдает примат человеческому разуму, который, изучая природу, находит в ней связи и отношения, могущие быть математически обоснованными. Тогда последние получают вид формул, применяемых для аналогичных связей и отношений, и таким способом они внедряются в человеческую практику. Этот последний подход имеет два основные ветви развития. Либо человеческий разум изначально наделен способностями к изобретению математических моделей, внедряемых им в объяснение природных явлений и в практическую деятельность. Либо он, этот разум сам развивается в ходе приспособления к решению стоящих перед ним задач и таким образом каждый раз выходит на уровень новых свершений в этом бесконечном процессе.

Оба подхода обильно представлены в книге цитированием самых прославленных умов, которых удостоилось человечество. Начиная с древних греков и кончая нашим временем, выдающиеся ученые и философы выражали свои соображения по данному поводу, потому что в этом пункте, действительно, обозначается главный нерв теории познания. Автор искусно использует высказывания выдающихся ученых-философов и строит на них собственную аргументацию. Ни одной точке зрения не отдано предпочтение, так что кажется, что подлинная объективность в рассмотрении данной проблемы соблюдена.

Моя собственная позиция, основанная на семиотических соображениях; отлична от вышесказанной, и она коренным образом изменяет исходную диспозицию проблемы и ее дальнейшее обсуждение. Я считаю, что в гносеологической практике принимают участие не две, а три взаимодействующие силы, и действуют они на равных. То есть, они одинаково решительно влияют одна на другую, приводя каждый раз к новым прорывам в процессе познания. Каждая слагаемая взаимодействия имеет собственную природу и свои автономные законы развития, которые взаимодействуют друг с другом и обогащаются в постоянных взаимоотношениях всех трех слагаемых познавательной деятельности. Сказанное можно представить наглядно, в виде треугольника взаимодействий указанных трех сил:

Итак, вместо простого двустороннего отношения "Субъект – Объект познания" в гносеологию предлагается включить еще третий компонент: накопленный ранее опыт людей в решении данной проблемы. Он, прежде всего, включает знаковые конструкты, наработанные по проблеме предыдущими поколениями ученых – релевантные тексты, формулы, рисунки, материальные модели и пр., но не только их. Сюда же входят и инструменты, использованные учеными ранее, обсуждение их достижений и складывающееся в обществе отношение к ним, то есть социальную составляющую всех указанных взаимодействий. Я утверждаю, что эта третья компонента гносеологических отношений никак не менее важна для любого ученого, включившегося в данный понятийный процесс, нежели прямое его взаимодействие с изучаемой реальностью.

Идея эта не нова; мне известна, по крайней мере, одна попытка такой трактовки процесса познания, сделанная философами ленинградской школы Свидерского В.И. Вот как описывает ее один из участников этой группы Ильин В.В. в своем учебнике "Философия для студентов технических вузов": «В структуре субъектно-объектного отношения кроме субъекта и объекта имеется третий компонент, который называют или "базисом познания" или "условиями познания". Это материальные средства, используемые в познании (орудия, приборы, инструменты и т.д.), информация, имеющаяся в обществе, которую субъект может использовать в своей познавательной деятельности, социально-психологическая среда, условия труда и отдыха и т.п.» (СПб, Питер, 2004, с. 98).

Мое утверждение вполне аналогично процитированному выше за исключением того, что в комплексе выделенных сопутствующих познанию обстоятельств я подчеркиваю семиотическую его слагаемую – наработанные прежде знаковые воплощения, примененные для решения данной проблемы. Их я выделяю как семиотическую составляющую теории познания.

Огл. Почему тройственная схема отличается от простой дуалистической оппозиции человеческий ум - изучаемая природа

Введенный в схему новый элемент (знаковые конструкции и иные сопутствующие обстоятельства) коренным образом меняет постановку гносеологических проблем, потому что отдельно рассматривает индивидуальные усилия по познанию природы и коллективный разум людей, собираемый в знаковой реальности. Каждому прорыву наших знаний по поводу природы и общества мы обязаны индивидуальным усилиям, которые в разной степени опираются на собственный опыт индивидуума и на предыдущее знание, закрепленное в знаковых структурах. Можно представить себе полное игнорирование прежнего коллективного опыта. Можно представить себе опору только на собственные силы, поскольку прежде никто не рассматривал ту или иную проблему либо не обсуждал ее в том ракурсе, который применил данный ученый. Можно, наконец, рассматривать проблему исторически: данный вопрос не изучался прежде, потому что не был актуален или не был подготовлен к обозрению существовавшим уровнем знания.

Словом, введение дополнительной слагаемой в процесс познания добавляет нам исторический вектор анализа этого процесса. А этот последний объясняет, почему сейчас, на том уровне научных успехов, который достигнут человечеством в наше время, почти ни один ученый не начинает работу без предварительного ознакомления с тем, что уже накоплено в нужном для него направлении.

В начале пути формировавшийся человеческий ум стал замечать закономерности в окружавшей его природе и в связи с этим строить свое поведение. Люди пробуждались по утрам и отходили ко сну вечером; исследовали окружающую среду и регистрировали особенности своего окружения для ориентации на местности; изучали поведение зверей и характеристики растений для использования их в пищу и т.д. Свои выводы они выражали в знаках, потому что иных способов фиксации размышлений человек не имел и не имеет. Появилась коммуникация между людьми, что обеспечило их сотрудничество и дальнейший прогресс. Так возникли те три силы, которые отражены на чертеже, и они развивались в постоянном взаимодействии, оказывая постоянное воздействие друг на друга. Вовсе не один только человеческий ум инициировал схватки людей с явлениями природы, в не меньшей мере это делали те знаковые конструкты, которые ранее появлялись при наблюдении и экспериментах.

Мы можем представить себе это тройственное взаимодействие и в генетической последовательности. Уже у зверей наблюдаются зачатки знаковых отношений, позволяющие им адекватно реагировать на изменяющуюся обстановку и приспосабливаться к ней. У них замечены, например, звуки, сигнализирующие о приближении опасности, особая манера поведения при разнообразных обстоятельствах, что существенно влияет на других членов сообщества животных и т.д. У людей, с их неизмеримо более высоко организованной нервной системой, это приводило к значительно более быстрому изменению привычек и способов поведения. Человек довольно скоро превратился в "символическое животное" и создал особую только ему присущую семиотическую реальность. В нее входили сначала естественные знаки и системы, затем появились образные, языковые, письменные и, наконец, формализованные (математические) системы знаков. Пришло время, когда человек научился оперировать математикой, состоящей из очень абстрактных символов, далеко отстоящих от своих обозначаемых.

В конце концов, человек научился использовать знаки, столь далеко отстоявшие от вещей, которые они шифровали, что с ними можно было работать вместо того, чтобы оперировать с самими вещами. Тогда люди смогли получать результаты даже без подробного знания о природе предмета изучения, а результаты такой обработки знаков можно было эффективно использовать на практике, не привязывая этого к непременному пониманию сущности обрабатываемых объектов. Так были получены формулы работы с электромагнитными явлениями, физическая природа которых далека от окончательной расшифровки, хотя релевантные математические формулы активно и эффективно используются в этом направлении в повседневной действительности. Так были получены специальная и общая теории относительности, которые позволяют использовать математические выводы из них без точного знания физики тех вещей, в них участвующих. Так были получены и многие другие математические выкладки, о которых с таким восхищением пишет автор рецензируемой работы.

Пришло время, когда научные открытия стали выполняться не только и не столько в результате прямого взаимодействия человека и природы, а в ходе ознакомления с ранее наработанным материалом по интересующей ученого проблеме. Только таким образом любой исследователь узнает, в каком направлении проводилась интересующая его работа, что удалось сделать, а что осталось невыполненным, и какими пользовались при этом средствами. Только тогда и начинаются его собственные наблюдения и эксперименты над природой, если они возможны и необходимы. Прежде собранный и зафиксированный в знаках опыт подсказывает пути к его продолжению и приложениям. Уже великий Ньютон признавал, что его достижения покоятся на усилиях предыдущих поколений ученых и что он "стоит на плечах у своих предшественников". Любая диссертация, выносимая на защиту кандидатской либо докторской степени, начинается с обзора того, что было выполнено ранее по теме защиты.

Таким образом, поводом к движению в том или ином направлении для ученого сегодня являются скорее семиотические наработки, чем непосредственные обращения к физической реальности. Эти наработки обладают специфическими характеристиками, способными подсказать еще нерешенные задачи и пути их изучения. Иначе говоря, семиотические конструкции сами по себе, без обращения к онтологической реальности, указывают исследователю, что надо, а чего не надо делать. Огромный материал к подтверждению этого тезиса мы находим и в книге М. Клайна.

Вот как он описывает перипетии, приведшие к оформлению А. Эйнштейном общей теории относительности: "Под влиянием идей Минковского о пространстве-времени и своих собственных размышлений относительно инерциальной и гравитационной масс и побуждаемый желанием распространить специальную теорию относительности на системы отсчета, движущиеся ускоренно (sic! – А.С.), Эйнштейн пришел к идее искривленного пространства-времени. Неоднородность реального гравитационного поля не позволяет заменить его единой ускоренной системой отсчета в большой области пространства. Поэтому Эйнштейн воспользовался идеями Римана и Клиффорда (хотя о последнем он, возможно, не знал), которые полагали, что распределение материи в пространстве-времени может быть учтено в геометрической культуре последнего" (стр. 198).

В приведенном описании затронуты некоторые доводы, которые я собираюсь привести в подтверждение выдвинутого мною утверждения. Побуждением для работы над созданием общей теории относительности было желание ученого дополнить ее более общими соображениями, распространить специальную теорию на все случаи поведения пространства-времени. Для решения вставшей перед ним проблемы Эйнштейн обращается не к конкретным экспериментам с физическими явлениями онтологического мира, но к уже существовавшим семиотическим наработкам. Выводы при этом необходимо были гипотетическими, и оставалось ждать их практического подтверждения. Такие подтверждения появились: "Основываясь на своей теории, Эйнштейн предсказал три природных явления" (стр. 201). Все три получили подтверждение в последующих наблюдениях и экспериментах. Все такие эксперименты были вызваны к жизни теорией Эйнштейна, а не наоборот.

Таким образом, порядок получения обоснованных выводов в научной деятельности сегодня кардинально изменился. Казавшийся неизменным и единственно правильным путь (изучение природных явлений – выводы из исследований – подтверждение выводов в практике жизни), во многих случаях уступил место совершенно иному порядку: изучение проблемы на материале уже выполненных и зафиксированных в литературе источников – дополнение этих выводов умственными выкладками с применением принятых математических либо иных методов – подтверждение новых выводов на практике.

Связь исследования с жизненной реальностью откладывается сегодня до последней стадии работы, где она, однако, непременно должна присутствовать. На первые этапы работы выдвигается изучение прежде выполненных трудов, материалов из семиотической, но не онтологической реальности. При этом существо изучаемых явлений может оказаться вообще за пределами рассмотрения – если выводы по изучаемому предмету оказываются полезными, зачем нужно подробное знание самого феномена, которое исследуется? Зачем нужно знать, что такое сила гравитации, если ее проявления были адекватно отражены в математических формулах Ньютона, годных к использованию в практической жизни? Конечно, хотелось бы знать, но не так уж и важно. Их конкретное наполнение можно было спокойно оставить будущим поколениям. Так это и получилось при изучении гравитации, да и многих иных важнейших проблем нашего бытия.

Огл. Факторы семиотической реальности, инициирующие дальнейшее ее изучение

На этой стадии обсуждения мы можем сформулировать вопрос следующим образом: что же такое имеется в семиотических наработках, что стимулирует возвращение ученых к той или иной проблематике и их постоянное стремление к добавлению в нее новых граней рассмотриваемых проблем?

Ну, во-первых, широко распространенное убеждение, что сущность вещей недоступна окончательному познанию, что подобное познание происходит ступенчато и по этапам, но до стопроцентного решения вопроса нам все равно не добраться. Мне этот вывод кажется чересчур обобщенным и в приведенной формулировке неправильным. Думается, что следует разделить все существующие проблемы на простые и сложные. Простые довольно быстро решаются, вернее сказать, предложенные для них решения вполне удовлетворительны для употребления. Проще им следовать и добиваться положительного результата, чем постоянно подвергать сомнению используемые для этого средства. Более сложные проблемы решаются труднее; и уже предложенные для их реализации пути нуждаются в постоянном пересмотре. Именно поэтому ими постоянно озабочены все новые поколения ученых.

Второе обстоятельство, которое стимулирует обращение к семиотической, а не к онтологической реальности, – неполнота принятых ранее теорий. Это именно тот случай, который продемонстрирован в процитированном выше отрывке из книги Клайна по поводу общей теории относительности Эйнштейна. Эйнштейн создал специальную теорию относительности, она была принята с восторгом, но сам автор остался недоволен, поскольку она годилась для объяснения ограниченного круга явлений, а ему хотелось расширить ее применение на все проявления рассматриваемого типа. Стремление к завершенности и к полноте предлагаемой теории является самым главным свойством любой умственной конструкции. Это проявляется как в общем построении теории, так и в ее деталях.

Мы отчетливо понимаем, что, создавая теорию для объяснения тех или иных явлений, мы зачастую предлагаем выборочные и вероятностные решения. Ни один здравомыслящий ученый не претендует на то, что предлагаемый им вариант решения проблемы является единственно возможным и полностью удовлетворительным. Мы выдвигаем лишь один из возможных вариантов, который на данный момент кажется нам наиболее оптимальным для данных условий при наличии тех знаний о предмете, которые мы сумели собрать. Хотя бы частичное, хотя бы какое-то, но, тем не менее, решение вопроса.

При этом теория должна обладать законченность в том смысле, чтобы она работала на материале изучаемого предмета. Неработающее решение не может быть предложено и принято публикой. Оно может быть либо положительным и решающим проблему либо вовсе отрицательным. Даже такие решения, которые впоследствии были признаны неправильными, изначально такими не считались и худо-бедно работали на практическом уровне. Я имею в виду, например, геоцентрическую систему Птолемея, которая впоследствии была заменена гелиоцентрической системой Коперника.

Любая деталь предлагаемой конструкции должна выглядеть как полностью завершенная Незавершенных конструкций наш ум попросту не приемлет. Вот перед нами план будущего строения: здесь оно представлено целиком, а тут вот его детали. Все детали, вплоть до самых мелких – стены, окна, украшения, двери, дверные запоры и т.д. – должны подаваться в совершенно законченном виде. Если что-то опущено, заказчик вправе не принять чертежи и эскизы.

Стремление к полноте семиотической системы хорошо показано в одном из интернетовских текстов, который я хочу привести полностью, несмотря на его изрядную величину. Речь идет об арифметике, то есть части математики, которой целиком посвящена рассматриваемая книга:

«История теории чисел начинается с обыкновенных чисел, используемых для счета – 1, 2, 3, …, – известных под названием натуральных чисел. Эти числа идеально подходят для сложения простых целых величин, таких, как овцы или золотые монеты, чтобы узнать, сколько всего таких величин, – их общее количество также есть целое число. Наряду со сложением еще одна простая операция, умножение, производимая над целыми числами, также порождает другие целые числа. Но операция деления приводит к довольно неприятной проблеме. При делении числа 8 на 2 мы получаем 4, но при делении числа 2 на 8 ответ получается равным 1/4. Результатом деления в последнем случае является не целое число, а дробь.

Деление – простая операция, выполняемая над натуральными числами, – вынуждает нас выйти за пределы натуральных чисел. Для математика, по крайней мере, теоретически, немыслима ситуация, в которой нет ответа на вопрос, чему равен результат простой операции, производимой над целыми числами. Необходимость существования ответа называется полнотой. Не будь дробей, некоторые вопросы относительно целых чисел остались бы без ответа. Математики говорят, что дроби необходимы для полноты.

Именно необходимость полноты вынудила индийских математиков открыть отрицательные числа. Индийские математики заметили, что если 3 вычесть из 5, то получится 2, а 5 вычесть из 3 не так просто. Ответ не мог быть получен в натуральных числах, и понять его можно, только если ввести понятие отрицательного числа. Некоторые математики не приняли столь абстрактного обобщения натурального числа и отзывались об отрицательных числах как «нелепых» и «фиктивных». Пересчитывая золотые монеты, можно подержать в руке одну монету или даже обломок монеты, но взять в руку «минус одну» монету решительно невозможно. Древние греки были обуяны стремлением к полноте, и эта страсть привела их к открытию иррациональных чисел. Ранее мы уже обсуждали квадратный корень из 2. Греки знали, что это число приближенно равно 7/5, но когда они попытались найти точную дробь, равную v2, то обнаружили, что такой дроби не существует. Перед ними было число, не представимое в виде дроби, но этот новый тип числа был необходим, чтобы ответить на вопрос: «Чему равен квадратный корень из двух?» Требование полноты означало, что к империи чисел необходимо присоединить еще одну колонию.

Все числа можно расположить на числовой оси, простирающейся до бесконечности в обе стороны.

К наступлению эпохи Возрождения математики стали думать, что открыли все мыслимые «сорта» чисел на свете. Все числа можно было считать расположенными на числовой оси по обе стороны прямой с нулем в центре, как на помещенном выше рисунке. Целые числа располагались на числовой оси через равные промежутки, положительные простирались до плюс бесконечности справа от нуля, отрицательные – до минус бесконечности слева от нуля. Дроби располагались в промежутках между целыми числами, а иррациональные числа заполняли пробелы между дробями. Числовая ось наводила на мысль о том, что полнота достигнута. Все числа находились на своих местах, готовые ответить на все математические вопросы, во всяком случае, на числовой оси не оставалось свободных мест ни для каких новых чисел. Но в XVII веке снова начались неприятности. Итальянский математик Рафаэль Бомбелли, занимаясь изучением квадратных корней из различных чисел, столкнулся с вопросом, не имевшим готового ответа.

Все началось с вопроса: «Чему равен квадратный корень из единицы, т. е. число Ö 1?» Очевидный ответ гласит: единице, так как 1× 1=1. Менее очевиден другой ответ: квадратный корень из единицы равен минус единице, то есть числу –1. Отрицательное число при умножении на отрицательное число дает положительное, в частности, (–1) × (–1) = 1. Следовательно, квадратный корень из +1 имеет два значения: +1 и –1. Такое обилие ответов само по себе превосходно, но сразу же возникает другой вопрос: «Чему равен квадратный корень из минус единицы, т. е. Ö –1?» Кажется, что этот вопрос не имеет ответа. Ни +1, ни –1 не годятся в качестве ответа – оба числа в квадрате дают +1. Но никаких других «кандидатов» не видно. Между тем полнота требует, чтобы мы умели отвечать и на вопрос о том, чему равен квадратный корень из –1.

Чтобы ответить на этот вопрос, Бомбелли пришлось ввести новое число i, определив его просто как ответ на вопрос: «Чему равен квадратный корень из минус единицы?» На первый взгляд может показаться, что ввод i – малодушная попытка обойти решение проблемы, но предпринятый Бомбелли ход ничем не отличается от того, как были введены отрицательные числа. Столкнувшись с неразрешимой при ином подходе задачей, индийские математики определили число –1 как ответ на вопрос: «Что получится, если от нуля отнять единицу?» Число –1 кажется более приемлемым только потому, что из повседневного опыта нам знакомо аналогичное понятие «долг», в то время как в реальном мире нет ничего, что подкрепляло бы понятие мнимого числа. Немецкий математик XVII века Готфрид Лейбниц дал следующее изящное описание необычайной природы мнимого числа: «Мнимое число – это бестелесное и преудивительное прибежище Божественного духа, почти амфибия между бытием и небытием».

Коль скоро мы определили число i как квадратный корень из –1, то должно существовать число 2i, так как оно равно сумме i плюс i (а также квадратному корню из –4). Аналогично должно существовать и число i / 2, так как оно получается при делении i на 2. Выполняя простые операции, можно получить мнимый эквивалент каждого так называемого действительного числа. Существуют мнимые натуральные числа, мнимые отрицательные числа, мнимые дроби и мнимые иррациональные числа. Проблема, которая теперь возникает, заключается в том, что у всех этих мнимых чисел нет своего естественного места на действительной числовой оси. Математики разрешили возникший кризис, введя еще одну – мнимую – ось, перпендикулярную действительной оси и пересекающую ее в нуле, как показано на рисунке.

Числа перестали занимать одномерную прямую, а расположились на двумерной плоскости. Чисто мнимые или чисто действительные числа заполняют соответствующие оси – действительную и мнимую, а комбинации действительного и мнимого чисел (например, 1+2i) называются комплексными числами и обитают на так называемой числовой плоскости. Введение оси для мнимых чисел превращает числовую ось в числовую плоскость. Каждой комбинации действительного и мнимого чисел соответствует определенная точка на числовой плоскости. Особенно замечательно, что в комплексных числах решается любое алгебраическое уравнение. Например, чтобы вычислить Ö3+4i, математикам не нужно изобретать числа нового типа: оказывается, что ответ равен 2+i, т. е. другому комплексному числу. Иначе говоря, создается впечатление, что мнимые числа – последний элемент, необходимый для завершения математики.

Хотя квадратные корни из отрицательных чисел получили название мнимых чисел, математики считают число i ничуть не более абстрактным, чем отрицательное или любое натуральное число. Кроме того, физики обнаружили, что мнимые числа дают лучший язык для описания некоторых явлений, протекающих в реальном мире. С помощью нехитрых манипуляций мнимые числа оказываются идеальным средством анализа естественного колебательного движения объектов, например, маятника.

Такое колебательное движение, называемое на техническом языке синусоидальным колебанием, широко распространено в природе, и поэтому мнимые числа стали неотъемлемой составной частью многих физических расчетов. В наше время инженеры-электрики приспособили i к анализу переменных токов, а физики-теоретики вычисляют различные квантово-механические эффекты с помощью осциллирующих волновых функций, суммируя степени мнимых чисел. В чистой математике мнимые числа используют для решения задач, ранее казавшихся неразрешимыми. Мнимые числа буквально добавили новое измерение к математике, и Эйлер надеялся, что ему удастся использовать эту дополнительную степень свободы в поисках доказательства Великой теоремы Ферма». [1]

На приведенном примере мы наблюдали достижение полноты в огромной знаковой системе. В ней постепенно возникали дополнения, которые в конечном итоге оформили полноценную схему (хотя на любом этапе схема также казалась вполне завершенной). Однако в семиотических конструкциях часто встречаются "неполноты", которые сами как бы приглашают пользователей системы их заполнить. Возьмем для примера периодическое построение линейных или иных конструкций. В своей "Таблице химических элементов" Менделеев специально оставил пустые клетки для еще неизвестных ему элементов, которые по его мнению предстояло найти. Он наделил их характеристиками, соответствующими их месту в таблице. И, действительно, такие элементы были вскоре обнаружены.

"В 1961 году Гелл-Ман и израильский физик Ювал Неман применили теорию групп в новом методе, который они назвали восьмеричным (он основывается на восьми квантовых числах). При помощи этого метода им удалось разделить элементарные частицы по семействам в зависимости от таких параметров, как странность и изотопический спин". У них получились восьмиугольники, на углах которых располагались различные семейства элементарных атомных частиц. В одном из углов не хватало частицы, и они предположили, что она еще не была открыта. Также и для этой частицы были предсказаны некоторые ее свойства. Начались ее поиски, и после получения 60 тысяч фотографий руководитель центра по изучению космических лучей в Австралии профессор Маккаскер в 1969 году сообщил, что ему удалось ее найти. На основе этого и прочих экспериментов кварки утвердились в роли важнейших атомных частиц.

Сегодня мы не видим в этом факте ничего особенного, и он удостоверяет, что новые открытия о природных явлениях можно сделать, полагаясь на определенные выводы из строения тех или иных структур. Сами структуры появляются в ходе выяснения природных закономерностей. Когда они выражаются в наглядном виде, они могут показать те элементы природы, которых мы еще не успели открыть. Так что неполнота структур может стимулировать и стимулирует дальнейшие научные разработки.

Есть и иные возможности заполнения семиотических неполных конструкций. Напомню о симметрии и гармонии, которые широко используются в ряде наук и особенно в искусстве. Композиции литературных, музыкальных, архитектурных и скульптурных произведений широко используют возможности симметрии и гармонии. Возьмите для примера разбивку симметричных садовых сооружений: если вы заполните правую (или левую) его половину, то вторую половину заполнить будет сравнительно несложно. Затем следует гармоническое построение более мелких деталей: деревьев, газонов, скульптур или построек на территории парка. Любая семиотическая структура (план, эскиз, рисунок, чертеж) добивается полноты за счет восполнения гармонических ее частей.

Есть и другие многочисленные детали в семиотических построениях, которые побуждают обращаться к их продолжению и улучшению. Я не имею целью в этих заметках перечислить их все, либо даже большинство из них. Задача моих комментариев иная – показать, что дуалистическая схема, принятая обычно для объяснения познавательной деятельности людей давно не отвечает своему назначению. Она не может четко ответить на вопрос, что же является ведущим в научных изысканиях и почему они приводят к столь значительным достижениям, даже когда мы не докапываемся до существа вопроса. То ли дело в том, что Бог создал материю определенным образом, заложив в нее некоторые закономерности, которые мы открываем в процессе своих изысканий. То ли логические и количественные законы, которые мы открываем, зависят от порядка, заранее заложенного в нашем мышлении. И только приняв за основу тройственную схему, мы можем уяснить себе процесс открытия нового в природе и в обществе.

Третий фактор взаимодействия – семиотические наработки знаковых конструкций – отчетливо демонстрируют, что мы сегодня в равной мере опираемся на то, что наблюдаем вокруг, и на тот колоссальный опыт, который люди уже накопили в процессе своих взаимоотношений с объективной реальностью. Весь этот опыт выражен в знаковых конструкциях.

Данный аспект рассмотрения гносеологических проблем поясняет нам, что ранее, когда такого опыта не было, человечество в своих выводах по поводу действительности довольствовалось умозрительными догадками. Пришло время, когда такие догадки перестали нас удовлетворять, и прежде всего потому, что они вступили в противоречие с показаниями практического опыта. Это произошло в период Возрождения. Тогда люди перешли к выводам из прямого взаимодействия с природными явлениями. И Френсис Бэкон, и Галилей, и Андреас Везалий, и многие другие настаивали на обращении к практике и к эксперименту для извлечения обоснованных заключений о том, что происходит в природе и обществе.

Так и произошло. В процессе такого обращения к природе люди накопили огромное богатство, которое заложили в знаковые структуры и системы, многократно проверенные на практике. Теперь уже можно было идти дальше, развивая основные направления поиска, оказавшегося успешным. Первоначальный эксперимент оказался не единственным стимулом для дальнейших изысканий. Не менее важным стимулом оказались незаконченные ранее научные разработки и теоретические выводы из них. В наше время – это чуть ли не главная побудительная причина для научных занятий. Экспериментальная и практическая проверка чаще всего предстает как завершающий этап исследования.

Тем не менее, практическая проверка заявленных природных закономерностей вовсе не исчезла совсем, только ее роль инициатора научных процессов постепенно перешла на следующую ступень исследования, где она выступает в качестве основного и необходимого критерия проверки обоснованности теоретических утверждений. Без нее ни один вывод о естественных и социальных законах не вступает в силу.

Предлагаемая мной тройственная схема окончательно подрывает ссылку на Всевышнего, который, якобы, устроил природу так, а не иначе, либо вручил нам разум, сконструированный соответствующим образом. Мы шли в своем приспособлении к окружающей среде от догадок (иногда гениальных, но зачастую беспочвенных) к экспериментальному изучению законов природы. При этом мы открывали не только сами эти законы, но и наилучшие способы их получения. Наступило время, когда такие способы позволили нам использовать такие наработки в дальнейших изысканиях, обращаясь только к методам и средствам получения выводов, а не к прямому взаимодействию с природными и социальными явлениями. Таков путь развития наших гносеологических изысканий на протяжении всего периода истории цивилизации, причем последний этап этого пути в наше время только усиливается.

Таким образом, у меня вырисовываются несколько критических замечаний по общему направлению книги М. Клайна:

В пределах поставленной автором задачи и избранной им двойственной схемы для ее разрешения никаких оснований для претензий к нему у меня не было и нет. Но то, что я предлагаю, кажется мне лучшим способом решения поставленных в книге проблем чем то, о чем повествует М. Клайн.

И еще. Автор пишет исключительно о математике как средстве разрешения возникающих при изучении природы трудностей. Я тоже считаю математику самым верным и успешным инструментом для разгадывания загадок природы. Однако мне представляется, что и иные знаковые системы по всему их диапазону[2] вносят в это дело свою лепту. Вовсе не все таинства природы решаются только с помощью математических преобразований, и вовсе не все они требуют применения математики. Еще раз повторяю – все семиотические системы по всему разбросу их приложений могут и должны быть привлечены к этому делу. Да так это фактически и происходит.

Что касается необычайной эффективности математических систем, о чем с таким воодушевлением пишет М. Клайн, то с этим невозможно не согласиться. Гносеологические решения, основанные на математических расчетах, выглядят значительно более обоснованными, нежели выводы, которые полагаются только на языковые рассуждения либо на нашу интуицию вообще. Отчего математика оказывается столь действенным и эффективным орудием познания? Ответ прост: она включает не только анализ качественных характеристик исследуемого явления, но и количественные его параметры, то есть те, которые можно измерить и повторить в дальнейшем (если, конечно, унифицированы единицы измерения).

С точки зрения семиотики особенности математических знаковых систем можно вкратце изложить следующим образом:

Как было отмечено, математические системы обрабатывают количественные характеристики исследуемого объекта или явления. Их конечным показателем являются численные результаты. Числа дают возможность рассчитать границы и соотношения различных слагаемых процесса, равно как и его конечный результат. Иначе говоря, они как знаки обладают той степенью завершенности, которая позволяет безапелляционно на них опираться. Все иные знаки уступают им в этом отношении, и вот почему:

во-первых, числовой ряд безграничен (Он может предоставить ресурс для любого по величине количественного результата);

во-вторых, он дискретен, но одновременно может показать любые самые малые промежуточные результаты между дискретными величинами (для этого существуют дроби, которые столь же далеко могут простираться вглубь промежутка между целыми числами, как сам числовой ряд уходит на свое продолжение);

в-третьих, синтаксис использования числового ряда настолько прост и одновременно строг, что если ему следовать из правильно сформулированных посылок, он непременно приведет к правильному результату (Он настолько же прост, насколько неуязвим. Мы начинаем тренировать правила действия с числами в начальных классах школы – уже тогда он доступен человеческому уму. Он же постоянно применяется для самых простых и повседневных операций, а не только для сложных научных расчетов);

в-четвертых, математические системы включают синтаксис (здесь я привожу простые арифметические примеры), позволяющий проверять ход математических преобразований, не выходя за пределы самой системы, то есть без обращения к непосредственному пересчету обрабатываемых количеств (Сложение проверяется вычитанием – и наоборот, а умножение делением – и наоборот и т.д.);

в-пятых, простые арифметические действия со временем были значительно упрощены, дабы облегчить операции с очень большими числами либо со многими величинами, включенными в операцию (Что такое степени и логарифмы и обратные им процедуры? Их все можно свести в конечном итоге к четырем арифметическим преобразованиям, которые доступны очень молодым людям, а в самом примитивном виде – даже животным и птицам);

в-шестых, математические системы были усовершенствованы и в том плане, что появились специальные трансляторы для перехода от нечисловых математических систем к численным (Одним из таких трансляторов явилась тригонометрия, которая знаки геометрических фигур переводит в числовой вид).

Все эти и многие иные свойства математических знаковых систем придают им дополнительную устойчивость и надежность в исследовательской работе. Оттого-то они столь эффективны. Тем не менее, математика может использоваться далеко не во всех гносеологических ситуациях. Тогда они решаются совсем другими способами с применением иных достаточно разветвленных и продвинутых знаковых систем.

Июль 2009

1 В: http://ega-math.narod.ru/Singh/ch3.htm (03.03.05)
2 Мои семиотические работы можно найти в изданиях МЕТ (Минск) разных лет начала этого века.

© А. Соломоник

 

«18+» © 2001-2019 «Философия концептуального плюрализма». Все права защищены.
Администрация не ответственна за оценки и мнения сторонних авторов.

Рейтинг@Mail.ru