Рассмотрение процесса развития математического предмета является исследованием филогенетического характера, описанием, связанным с характером существования математического знания в контексте исторического развития человеческого рода. Однако существует возможность провести некоторые параллели между онтогенетическим развитием индивида и филогенетической эволюцией человечества. Идею такой параллели поддерживает, например, семиотик и лингвист А. Соломоник. Его предположение заключается в том, что схему онтогенетического развития человеческого интеллекта, описанную Ж. Пиаже, можно применить при анализе исторического развития предмета любой науки, в том числе и математики.

Развитие интеллекта в онтогенезе человека, согласно Ж. Пиаже, можно разделить на следующие этапы: сенсомоторная стадия, образная стадия, символическое представление. Для последней стадии развития человеческого интеллекта характерно появление символических кодов. Внутри третьей стадии вслед за Соломоником можно выделить следующие этапы: стадия языкового развития (или речевого, т.к. имеется в виду развитие только устной речи), стадия письма, стадия математических кодов.

Применительно к описанию развития математического предмета в рамках филогенетического развития человечества можно выделить аналогичные этапы, уделяя особое внимание способам систематизации математического знания.

Дописьменный этап существования математического знания можно охарактеризовать как период разрозненного существования математического предмета. Некоторые принципы будущих математических понятий формировались в рамках человеческой практики, но не были от нее отличимы. В терминологии Пиаже этот период соответствует сенсомоторному этапу. Система счета на этом этапе представляет собой физический перебор нужного числа объектов. Люди еще не могут абстрактно оперировать числами, результат счета не фиксируется каким-либо числом, т.к. затруднен процесс соотнесения части и целого и т.д. Происходит просто установление взаимно однозначного соответствия между пересчитываемыми объектами и, например, пальцами рук, узелками веревки и пр.

На уровне "мифологического созерцания" (в терминологии Э. Кассирера), формируются первые системные и целостные представления о мире. Человеческое сознание выстраивает универсальные схемы. В мифе, а также на ранних этапах существования научного знания (Древний Египет, Китай, Греция и так далее) каждое отдельное число обладает индивидуальностью; в них представление о числе характеризуется не его абстрактной общезначимостью, а коренится в каком-либо конкретном единичном образе, от которого оно не отделимо. Подтверждение этому служат, например, египетские дроби. Число в мифологическом мышлении никогда не использовалось в качестве простого порядкового числительного, у каждого была собственная сущность, своя собственная индивидуальная природа.

Итогом развития человеческого интеллекта, как в онтологическом, так и в филогенетическом плане является способность к оперированию символами, знаками, чье значение наименьшим образом привязано к некоторому объекту, образу; все его содержание заключается в той функции, которую он выполняет в рамках определенной системы. Эти функциональные понятия по Киссиреру, составляют основу научного подхода к миру. Возвращаясь к истории понятия числа, заметим, что уже в мифе число возвышается до универсального значения, и постепенно число начинает мыслиться не как сущность, а как количество. Этот важный шаг к утверждению чисто логической или функциональной природы числа и есть переход к "теоретическому" подходу к миру.

В классификации знаковых систем в ходе филогенетического развития, предложенной Соломоником, эта стадия совпадает с высшей ступенью, уровнем символических знаковых систем. Как утверждалось ранее, большое влияние на формирование знаковой системы оказывают средства, в данном случае знаки-символы. Благодаря символичности средств, системы, создаваемые на базе этих знаков, обладают максимальной самостоятельностью. Эти знаки не обладают значениями вне системы, символ обнаруживает наибольшую привязку к системе и применяется только по ее правилам.

Законы построения таких систем невозможно менять произвольно или под влиянием каких-то внешних условий. В качестве примера принципа функционирования современной символической системы можно привести построение геометрии, проделанное Гильбертом в "Основах геометрии". Он начинает с определения основных понятий: «Возьмем три рода объектов: первые объекты будут называться точками, вторые линиями, а третьи - плоскостями». Об основных понятиях следует и достаточно знать только правила их использования в рамках системы, которые определяются рядом аксиом.

Математика отказывается качественно определять свои основные понятия; далее стало невозможным использовать определение точки как объекта, не имеющего протяженности и ширины. Все определения носят чисто функциональный характер, что возможно в первую очередь благодаря символичности используемых средств-знаков.

Проведение параллелей между этапами эволюции математического предмета в рамках онто- и филогенетического описания достаточно оправдано и подтверждается конкретным историческим и экспериментальным материалом.

предоставлено для публикации 12.2009

¹ Данный текст представляет собой тезисы выступления Н.Ю. Трушкиной на конференции "Философия математики: актуальные проблемы", состоявшейся в июне 2007 года на философском факультете МГУ.