Основным содержанием логики являются те операции, которые можно отнести к классу "операций, фиксирующих и изменяющих отношения между понятиями". То, что составляет основное содержание математики – числа – таким же образом позволяет рассматривать их в качестве некоторого рода понятий. Отношения же между понятиями подчиняются правилам построения экземпляров на основе типов и образования типов посредством обобщения экземпляров. В общем, для правил, устанавливающих отношения между типом и соответствующими ему экземплярами и экземпляром и соответствующими ему типами следует руководствоваться принципом "внешнего положения" одной формации по отношению к другой.
Для математиков не всегда было ясно значение данного принципа, что выразилось в том, что они принимали как должное формулу, на образном языке позволяющую описать ее как "обещание брадобрея". Живущий в некоей деревне брадобрей обещает "брить каждого, кто не бреет себя сам". Может ли брадобрей, очевидно являясь экземпляром типа "житель деревни", одновременно же быть экземпляром и типа "брадобрей" и "тот, кто бреет себя сам"? Рассмотрим данный пример совмещения в одном экземпляре двух типов подробнее.
(1) Парадокс заведомо нелеп. Он специально построен таким образом, чтобы эта нелепость была очевидной. Упрёки в том, что логики не знают того, не учитывают сего - некорректны. Логики всё это знают, учитывают и использовали при создании демонстрационного примера - "парадокса брадобрея".
(2) Существует несколько вариантов парадокса. Различных вариантов. Люди специально подбирали эти различные варианты таким образом, чтобы с одной стороны, "нелепость" каждого из вариантов можно было легко показать, и в то же время чтобы "нелепость" каждого варианта была своей, отличной от других.
(3) Несмотря на семантические различия между разными вариантами "парадокса брадобрея", можно заметить, что они имеют общую логическую структуру – а именно, везде говорится о некотором X, который "не" Y "себя сам". Брадобрей бреет, но лишь тех, кто не бреется сам, прилагательное обозначает, но лишь то, что не обозначает само и т.п. То есть дело не в свойствах тех или иных объектов, но в самой структуре определения.
(4) Разумеется, такая структура определения тоже "нелепа", и подобные определения на практике если и встречаются - то очень-очень редко. Но такая структура и была создана именно как пример "нелепой" структуры. До "парадокса брадобрея" предполагалось, что можно использовать в определениях любые условия, и самое худшее, что может произойти - так это то, что под определение не будет попадать ни один объект. "Парадокс брадобрея" показал - нет, не любые:
(4а) противоречивость определения (то есть, отсутствие объектов, удовлетворяющих определению) и бессмысленность определения (невозможность проверить соответствие определению) - разные вещи;
(4б) использование некоторых условий может привести к тому, что вообще нельзя будет говорить о соответствии объекта определению.
(5) Любые ограничения на рассуждения сокращают наши возможности описывать мир. Парадоксов легко избежать, если ограничиться простейшими, банальнейшими рассуждениями. И уж заведомо парадоксов не возникнет, если не рассуждать вообще. Но что тогда станется с познанием? Поэтому после "парадокса брадобрея" начался анализ логики с целью исключения тех и только тех способов рассуждений, которые приводят к некорректным выводам (не к "парадоксу брадобрея" - с ним всё было ясно изначально, а именно к некорректным выводам в других рассуждениях), начался анализ математики - проверка существующих систем аксиом (не противоречивы ли они), построение новых систем аксиом для тех разделов, где прежде руководствовались лишь "здравым смыслом".
(6) В ходе этого исследования выяснилось, что построение абсолютной системы аксиом и правил вывода, позволяющей доказывать все истинные утверждения и отметать ложные, невозможно. (Это означает, в частности, что истинность и доказуемость - различные вещи).
(7) Поэтому также исследовали и другие типы рассуждений, которые считались (и до сих пор многими считаются) очевидными. И среди них были обнаружены некоторые сомнительные моменты. Например:
(7а) Брауэр и его последователи указали на сомнительность такого очевидного и общепринятого закона как "закон исключённого третьего" ("всегда является истинным или утверждение, или его отрицание") - если помните, совсем недавно проходила длинная дискуссия, связанная с этим; и не просто показали, но построили логику (названную "интуиционистской"), которая обходится без этого сомнительного закона – и, тем не менее, позволяет доказывать большинство утверждений, которые доказываются и в классической логике. Остальные от "закона исключённого третьего" не отказались - но стали тщательно следить за его использованием.
(7б) Было показано, что аксиома выбора, гласящая, что из любого непустого множества можно выбрать (произвольно) один элемент, способна привести пусть не к парадоксам, но к выводам, расходящимся со "здравым смыслом". От аксиомы выбора не отказались - но, опять же, стали тщательно следить за её использованием, в частности, постарались перепроверить иными способами теоремы, доказанные с использованием аксиомы выбора, сформулировали другие аксиомы - "аксиому счётного выбора", "слабую аксиому выбора", которые заведомо не приводят к парадоксам и в ряде случаев могут заменить аксиому выбора.
(7в) Список можно продолжать, я ограничился лишь теми примерами, которые так или иначе уже обсуждались в конференции ФИДО - fido7.su.philosophy.
В связи с этим нельзя говорить, что применимость к некоторому экземпляру характеристики "тип" может быть автоматической. Именно об этом свидетельствует, например, представленный здесь тезис (7б). Использование любого элемента множества в качестве экземпляра, принадлежащего "только лишь" данному типу – неправомерно. Поэтому объект становится принадлежащим типу экземпляром только лишь в той части, в которой это обеспечивают условия задачи.
© А. Кожушко
