Математика позволяет достаточно точно и хорошо описывать явления внешнего мира (экспериментальные явления и наблюдения) в самых различных областях знаний. Означает ли это, что мир устроен по математическим законам, а значит и ненаблюдаемые физические сущности, привлекаемые нами для математического описания наблюдаемых явлений (например, "силы", "поля" и т.д.) действительно существуют? Нет, не значит. Например, для описания одних и тех же явлений можно использовать различный математический аппарат (ср. системы Птолемея, Коперника и Кеплера) и во всех случаях (в том числе и тогда, когда описание ложно по физической сути, но соответствует наблюдениям) математика как таковая оказывается эффективной вне зависимости от истинности используемых физических гипотез, которые она описывает.

В чем же тогда причина такой поразительной эффективности математики?

Об экспериментальных основаниях математики. Представляется, что математика есть экспериментальная наука, предназначенная для адекватного описания любых величин, сущностей и т.п. абстракций, от которых требуется только быть исчислимыми.

Под исчислимыми (измеримыми) будем понимать любые характеристики любых объектов, обладающие следующими свойствами:

Поясним эти требования с точки зрения математики. По нашему мнению, базовой математической операцией является сложение. Все остальные операции (вычитание, умножение, деление, возведение в степень, логарифмирование, интегрирование и дифференцирование и т.п.) можно индуцировать из сложения, а значит, их свойства также определяются свойствами сложения. Сложение же описывается следующими известными аксиомами:

a+b=b+a; (симметрия)

(a+b)+c=a+(b+c); (ассоциация)

(a+0)=a. (наличие нуля)

Таким образом, для сложения необходимы, во-первых, части (хотя бы две или три по аксиомам). Во-вторых, при сложении этих частей в любых сочетаниях должно снова получаться исходное целое. Первое требование в физике означает делимость. Второе (в зависимости от физического содержания) либо однородность (для шкал измерения первичных физических величин) либо закон сохранения (для вторичных, т.е. производных физических характеристик).

Как только в науке возникают хоть какие-то исчислимые (в указанном смысле) характеристики, к ним автоматически становится применимым сложение, а значит, обретают силу и все другие операции, то есть данная наука может быть математизирована. Цель теоретика - определить на основе эксперимента, какие законы сохранения действуют в данной физической (биологической, химической и т.п.) ситуации. Отметим, что практически любое уравнение можно рассматривать как закон сохранения для заданной реальной ситуации (например, «закон сохранения» воды в легендарной задаче с бассейном и двумя трубами). Не даром древнейшее школярское правило составления уравнений гласит: "вырази одно и то же число двумя способами"! А это требование было бы невозможно выполнить, если бы:

Вот почему математика (происходящая из арифметики) обладает именно указанными свойствами (происходящими из свойств операции сложения), в силу которых она и способна описывать любые исчислимые (измеримые) аспекты реальности, вне зависимости от того, насколько верно мы их понимаем. Счастье человечества в том, что необходимые свойства сложения так просты, что их смогли заметить и использовать еще в самой глубокой древности.

О мере и порядке. Декарт утверждал: "Мне неизвестна иная материя телесных вещей, как только всячески делимая, могущая иметь фигуру и движимая, иначе говоря, только та, которую обозначают названием величины и принимают за объект доказательств…" В этом - причина эффективности математики, к области которой относятся только те науки, "в которых рассматривается либо порядок либо мера, … не входя в исследование никаких частных предметов".

Разберемся с этим утверждением. Две сущности (по Декарту) имеет предметом своим математика: меру и порядок. В современном понимании "мера" есть числовая характеристика, обладающая свойством аддитивности, т.е. для которой задана операция сложения.

Таким образом, здесь все уже сказано. Что такое "отношение порядка" и какие свойства реальности оно описывает? Коротко говоря, отношение порядка ("больше"/"меньше") в физическом мире можно интерпретировать двумя основными способами:

Как видно, первый способ тесно связан с измеримостью величин, а значит, в этом случае порядок практически индуцируется соответствующей мерой. Во втором случае можно также рассмотреть два подслучая:

В обоих подслучаях можно считать, что рассматривается множество подмножеств некоторого множества (целого). Только в первом случае каждое "меньшее" множество является строгим подмножеством любого "большего" (и наоборот), а во втором - множества могут не только включать друг друга, но и произвольным образом пересекаться и даже не пересекаться. В первом случае порядок опять-таки можно свести к мере. Например, рассмотрим множество отрезков положительной оси числовой прямой, берущих начало в 0. Принадлежность одного отрезка другому означает, что он "меньше". Но тот же самый вывод можно сделать и на том основании, что координата его правого конца или, что то же самое, его длина (мера) меньше, чем у того, которому он принадлежит. В случае частично упорядоченных множеств (т.н. «решеток») для каждых двух элементов можно указать только верхнюю и нижнюю границы (соответственно "наименьшее большее" и "наибольшее меньшее" этих двух элементов). Таким образом, порядок отражает только одно наиболее общее свойство материи - делимость. И в этом смысле идея "порядка" является более общей и первичной, чем идея "меры". Ведь порядок указывает лишь на то, что один элемент больше (или меньше) другого, а мера еще требует уточнить насколько.

О границах применимости математики. Так ли бесспорно утверждение о том, что математика не знает других сущностей, кроме меры и порядка? Рассмотрим в качестве контрпримера математическую логику (Булеву алгебру, исчисление высказываний). Множество {"ИСТИНА", "ЛОЖЬ"} нельзя рассматривать как упорядоченное в выше описанном смысле, так как ни "ИСТИНА" не включает "ЛОЖЬ" ни наоборот. Значит, это множество тем более не является измеримым.

Существует мнение, что математическая логика является не частью математики, а только частью логики, поскольку предмет логики рассуждения, а не мера и порядок. Но вот что странно. Если рассматривать не рафинированную формальную логику (ведущую начало от Аристотеля), а обычные бытовые рассуждения, то логические правила всегда носят в них нечеткий (вероятностный) характер. И описываются, следовательно, в терминах теории вероятности (или теории нечетких множеств), которые уж точно относятся к математике, так как опираются на меру (вероятностную или нечеткую). Более того, правила Булевой алгебры легко получить как предельный случай вероятностных рассуждений на основе правил сложения и умножения вероятностей. Так неужели, как только это сделано, мы сразу выходим из сферы математики, лишаясь не только меры, но и порядка?

Еще более непонятный вопрос, является ли частью математики теория конечных автоматов или теория формальных грамматик? Для того, чтобы иметь возможность в этих случаях говорить об упорядоченности элементов, "порядок" необходимо трактовать следующим образом. Классические квалификаторы порядка это "больше", "меньше" и "равно" (и их естественные сочетания). Если мы не имеем возможности сравнивать объекты на "больше"/"меньше", у нас тем не менее остается возможность сравнивать их на эквивалентность. В этом смысле отношение порядка типа "равно"/"не-равно", разделяющие объекты на классы эквивалентности присутствует во всех, в том числе и самых абстрактных, разделах современной математики.

Таким образом, в пределе можно заключить, что математика имеет своим предметом сравнение объектов (или их характеристик):

Какими свойствами должен обладать объект (характеристика), чтобы относительно него нельзя было провести хоть какие-либо сравнения или измерения?

В каком случае объект, обладающий измеримой характеристикой (или характеристиками), нельзя описать математической моделью? В случае когда не существует никакой взаимной связи между любыми его измеримыми характеристиками в любых сочетаниях, и при этом также не существует никакой связи между указанными характеристиками данного объекта и любыми известными характеристиками любых других объектов (в любых сочетаниях).

В чем ограниченность математического познания? В том, что оно позволяет только описывать связи между наблюдаемыми измеримыми (сравнимыми) характеристиками объектов, но никак не способствует пониманию объекта.

Пример. Можно составить вероятностную пространственно-временную модель перемещений человека по городу. Если это работающий человек, то модель будет, скорее всего, обеспечивать чрезвычайно хорошее предсказание его поведения в указанном плане. Более того, сравнив модель данного индивида с аналогичными моделями для других ему подобных, можно классифицировать его (то есть отнести к тому или иному типу "перемещающихся"). Можно ли сказать, что, построив такую модель, мы "познали человека"? Очевидно, нет. Мы только описали один аспект его существования. Насколько существенным является данный аспект природы человека? Иными словами, насколько достаточным является такое описание человека? Смотря для кого и для чего. Для киллера данная модель является фактически исчерпывающей. Что многократно подтверждается практикой.

Важное примечание. Все ненаблюдаемые характеристики не поддаются математическому описанию. Любой объект есть вещь в себе, проявляющая различные свойства лишь при взаимодействии с другими объектами. То, что скрыто от внешнего наблюдения никак не может быть учтено. Например, сумасшедший может годами вести себя нормально, а потом, в один прекрасный день, взять и зарезать свою бабушку. Это наводит на грустные размышления относительно конечности нашего познания. Так, мы ничего не можем сказать о душевной жизни камней, поскольку она никак не проявляется при их общении с нами. Конец примечания.

О математической реальности и реальности нашей математики. Внутри математики существует собственная "реальность" со своими объективными законами, которые определяются принятыми в математике аксиомами и логикой математического вывода. Математики открывают эти законы. А во внешнем мире - своя реальность со своими законами. Эти законы открывают физики, основываясь на опыте. В чем здесь разница? Математическая реальность объективна в том смысле, что любой математический объект (логарифм, интеграл, функция), определенный заданным образом, может иметь только такие, а не иные свойства, вне зависимости от желания его изобретателя. Но ни из каких математических соображений не следует, например, что величина, подлежащая сохранению в физике это именно масса, умноженная на квадрат, а не, скажем, на куб скорости. Математика может описать много моделей, но лишь некоторые из них в том или ином приближении приложимы к реальности физической. Какие - это определяется опытом.

Таким образом, вопрос о "непостижимой эффективности математики" распадается на два главных вопроса. Первый: почему реальность физическая может быть описана при помощи моделей из реальности математической? И второй: насколько реальны в действительности математические абстракции, используемые физиками для описания этой физической реальности?

Наш ответ на первый вопрос изложен выше. Поскольку физик "воспринимает" физическую реальность при помощи сравнения и измерения, а базовые свойства соответствующих математических операций являются экспериментальными фактами, установленными на опыте для сравнимых и измеримых физических характеристик, то физические закономерности для таких характеристик обязаны быть истинными в математике. Грубо говоря, любые мыслимые связи между измеримыми характеристиками объектов являются математическими по определению (самой математики). Обратное - неверно, то есть не все математически корректные модели соответствуют реальности физической.

Ответ на второй вопрос - сложнее. С одной стороны, математические модели для интерпретации физического опыта человеческое сознание строит, подчиняясь стремлению к максимуму энтропии при обработке информации. И в этом смысле используемые физиками математические объекты совершенно не обязаны быть реальными в физическом смысле. Например, считается, что модель Коперника-Кеплера «верна», а Птолемея «неверна». Но, вообще говоря, эллипсы Кеплера ни на грамм не более реальны (материальны) чем эпициклы Птолемея. В природе таких объектов не существует. Там есть только движение планет, и нет никаких "механизмов", которые бы его осуществляли. Планеты просто движутся. Материя просто существует. А мы воспринимаем ее с помощью наших чувств и описываем с помощью наших абстракций (математических, если при восприятии используется измерение).

В этом смысле математический порядок наших представлений о мире - плод деятельности нашего разума по упорядочиванию имеющихся фактов. Простая модель содержит меньше информации, чем более сложная, объясняющая те же факты. Принцип максимума энтропии заставляет любые информационные системы стремиться к уменьшению имеющейся у них информации. Поэтому математики всегда предпочитают более простые гипотезы. Беда модели Птолемея не в том, что она не соответствовала реальности (ее точность была выше, чем у системы Коперника!), а в том, что она была сложна. И именно из этих соображений была отвергнута.

С другой стороны, если бы измеримые физические характеристики объектов реального мира не были бы объективно взаимосвязаны (не в математической, а в физической реальности!), то сама природа реальности математической не позволила бы привнести в восприятие такого мира математический порядок. Рассмотрим аналогию Эйнштейна.

Эйнштейн писал: "В нашем стремлении понять реальность мы отчасти подобны человеку, который хочет понять механизм закрытых часов… Он может нарисовать себе некоторую картину механизма, которая отвечала бы всему, что он наблюдает, но никогда не может быть уверен в том, что его картина единственная, которая могла бы объяснить эти наблюдения". Тем не менее, если бы работа часов не подчинялась в действительности никаким законам, то никакой соответствующий механизм (модель) таких часов нельзя было бы и помыслить. Любая модель в этом случае противоречила бы опыту и опровергалась им. Иными словами: если бы порядка не было в объективной реальности, являющейся источником наших восприятий, то мы не могли бы построить ее упорядоченный образ в нашем сознании.

2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ ПРОБЛЕМЫ

О природе случайного. Понятие "случайного" есть одна из тех математических фикций (вроде "электромагнитной волны"), которыми мы привыкли пользоваться, не задумываясь об их природе.

По определению, случайное есть противоположное детерминированному. То есть случайным является любое событие, результат которого нельзя предсказать заранее. Логика подсказывает, что то, что описывается математиками как случайность, может быть двух основных типов:

Когда мы имеем дело с каким-либо конкретным примером случайного, нам необходимо определить, к какому типу эта случайность относится. Хотя некоторые исследователи до сих пор считают, что все случайности второго рода являются скрытыми псевдослучайностями, а значит, истинной случайности в мире просто не существует. Какие аргументы можно привести в пользу такой точки зрения? Поскольку случайность есть понятие математическое, наиболее сильным аргументом представляется то, что существуют детерминированные математические (компьютерные) алгоритмы, которые позволяют строить последовательности событий (чисел), которые никакими математическими методами невозможно затем отличить от аналогичных последовательностей событий, зарегистрированных в физических экспериментах, имеющих случайную природу. Приведем также один психологический аргумент. Чем сложнее объект воздействия, тем сложнее и опосредованнее его реакция на данное (детерминированное) воздействие. Например, реакция человека на какое-то событие является, на внешний взгляд, совершенно случайной, а иногда и вовсе непредсказуемой (то есть как бы даже и неописываемой статистическими законами). Между тем, если человека расспросить (то есть "пронаблюдать ненаблюдаемое во внешнем эксперименте"), то окажется, что такая реакция была не только логичной, но и единственно возможной в силу предыдущего опыта и душевного склада данного индивида, то есть - совершенно детерминированной! Что мешает нам предположить, что объекты микромира также весьма сложны и в силу этого ведут себя при внешнем наблюдении псевдослучайно?

Бритва Оккама предписывает нам не изобретать нам "новых сущностей" для объяснения явлений, которые можно описать и без них. Но не является ли столь фундаментальная физическая (и даже философская) "новая сущность" как истинная случайность (никак не проявляющая себя в макромире!) слишком высокой платой за упрощение модели микромира?

О единстве мира. Ранее физикам представлялось, что природа содержит довольно много основных сущностей (время, пространство, масса, сила, энергия и т.п.) Специальная теория относительности предложила единое пространственно-временное описание мира. Общая теория относительности избавилась также от сил (гравитационных), массы и энергии, объявив их также различными проявлениями все того же пространственно-временного континуума. "Великое объединение" еще далеко от завершения, но вырисовывается следующая картина.

Разнообразие физических (и прочих) объектов внешнего мира порождено человеческим сознанием, в том смысле, что таков способ рационального познания: разъять единое на части ("анализ"), чтобы затем, установив связи между ними ("синтез"), получить модель наблюдаемого (то есть реконструировать мир в своем сознании). Ни одна из таких частей реально не существует, опять же в том смысле, что ее отделение от других частей этого мира не обосновано ничем, кроме потребностей и особенностей человеческого восприятия (торт можно разрезать и на пять частей по кругу и на десять вдоль - ни одна из этих частей не является "объектом, присутствующим в торте изначально").

Если считать, что и время - лишь одна из характеристик этого единого и нераздельного мира, то получается, что мир не развивается (или движется) во времени, а просто существует, причем различные его структуры (которые произвольно выделяем мы сами!) могут быть измерены как в отношении "протяженности" (по одной абстрактной оси), так и в отношении "длительности" (другой абстрактной оси).

Если время - только аспект нашего восприятия, то это еще один довод в пользу детерминизма (или скорее даже - предопределения), ведь в некотором смысле в едином мире "все уже произошло", а значит, нет места ни случайности, ни свободе воли. Кстати, если вдуматься, то "случайность" и "свобода воли" есть одно и то же понятие, определение которого следующее: "возможность действия, не определяемого полностью всей совокупностью произошедших ранее событий".

О детерминизме. Под "детерминизмом" различные школы понимают различные парадигмы. Например, часто под детерминизмом понимают возможность описания физического мира при помощи детерминированных законов. При этом ненаблюдаемость ряда влияющих событий или большое число событий, требующих учета, являются непреодолимым препятствием для такого "детерминизма". Мы же основываемся на следующем "принципе детерминизма": "любое событие однозначно определяется всей совокупностью предшествующих ему событий и (с учетом этих событий) не может иметь какой-либо другой исход, кроме данного". Такое определение никак не зависит от возможности или невозможности (и даже теоретической невозможности) полного знания настоящего для предсказания будущего. Будущее может быть объективно детерминированным даже тогда, когда его предсказание теоретически невозможно.

О причинных связях. Пусть под "причиной" данного события понимается любое предшествующее событие, хоть в самой малой степени непосредственно влияющее на исход данного события. Будем говорить, что такие события связаны с данным причинными связями. В свою очередь, все события-причины имеют свои причины и так далее.

Вопрос в том, насколько далеко в нашем мире распространяются такие причинные зависимости. Иными словами, можно ли изменить одно или несколько событий так, чтобы причинные связи всех остальных событий не нарушились? Если это так, то можно сказать, что причинные зависимости "конечны" на множестве событий. Принцип же детерминизма равносилен утверждению, что распространение причинных связей бесконечно: ни одно событие нельзя изменить так, чтобы при этом не изменились и все остальные события, как будущие, так и прошлые. Действительно, ведь при этом нынешние события так же жестко связаны с будущими, как и с прошлыми. Про временную направленность причинных связей можно легко забыть и считать, что событие так же однозначно определяется своими "следствиями", как и "причинами", каковые, следовательно, становятся и вовсе неразличимыми. Это замечательно согласуется с картиной единого мира теории относительности, в которой не только время всего лишь произвольно выбранная ось, но и понятие одновременности не имеет особого смысла.

Еще об индетерминизме в квантовой механике. Многие исследователи считают, что принцип неопределенности Гейзенберга означает не то, что причинные связи в микромире недоступны для регистрации, а то, что поведение микрочастиц действительно недетерминировано. Главное обоснование этого утверждения - математическое: поскольку единственное имеющееся у нас адекватное описание квантовой реальности статистическое, то и нет необходимости предполагать, что наблюдаемые процессы могут быть детерминированы. Тем более что в силу того же принципа неопределенности, такой детерминированный процесс был бы ненаблюдаем, а значит, с практической точки зрения, решение этого вопроса не имеет никакого значения. С практической точки зрения - может быть. Но с точки зрения философской (и особенно - религиозной) чрезвычайно важно понимать, живем ли мы в детерминированном мире или нет. Поэтому попробуем разобраться.

Начнем с приведенного математического аргумента. "Поскольку статистическое описание верно, значит, мы имеем дело с истинной случайностью" (см. выше). Но позвольте! Откуда же это следует?

Ведь в макромире нет истинной случайности. А классическая теория вероятности была разработана именно для классических псевдослучайностей макромира (Паскаль и игральные кости). Значит, теория вероятностей и математическая статистика изначально представляют собой аппарат для численного описания псевдослучайного. Почему же из их применимости в микромире следует то, что случайность там истинная?

Особенно подозрительным представляется также то, что принцип детерминированности нарушается именно в квантовой механике. Ведь квантование иррациональных чисел есть один из типовых способов генерации псевдослучайных чисел. Рассмотрим простой пример. Пусть имеется отрезок, длина которого меньше 1 и больше 1/2. Пусть также имеется квантовый (дискретный) регистратор, который считает, что клетка (квант числовой прямой) "заполнена", если ее пересечение с отрезком более 1/2, и "пуста" - в противном случае. Пусть теперь отрезок движется с равномерной скоростью. Тогда в нашем регистраторе мы будем наблюдать некий "квант", в определенные моменты времени перескакивающий из клетки в клетку. При этом, если длина отрезка выражается рациональной дробью, то временной закон такого движения можно описать как движение с периодически меняющейся скоростью (период и амплитуда зависят от длины отрезка, в частном случае - скорость движения может быть постоянной). А вот если длина отрезка выражается числом иррациональным (например, "корень из 2 делить на 2"=0.707..), то наблюдаемое время пребывания кванта в каждой ячейке, будет изменяться по совершенно апериодическому закону, который можно описать только статистически как закон равномерного распределения вероятности на некотором отрезке времени (математическое ожидание и дисперсия, конечно, также зависят от выбранного иррационального числа и скорости движения отрезка).

В этой связи любопытно также отметить, что дискретизация рождает не только вероятностные, но и своеобразные "волновые" эффекты при наблюдении перемещения непрерывных объектов. Так, например, при параллельном субпиксельном сдвиге непрерывной прямой на плоскости, на соответствующей дискретной прямой в дискретном изображении будут наблюдаться относительные сдвиги пикселов, бегущие по этой прямой как волна.

О методе познания. Современная наука (по крайней мере - физика) имеет предметом своего рассмотрения не объекты реального мира и их свойства, а группы таких объектов и общие свойства объектов таких групп. Разница заключается в следующем. Энтропийные процессы обработки информации в нашем сознании имеют два основных механизма: познание и опознание. Познание есть энтропийная группировка воспринимаемого путем построения модели. Опознание есть подведение вновь поступающей информации под существующую модель (или даже просто ассоциирование ее с какой-либо ранее поступившей информацией). (Заметим также, что ассоциирование несомненно участвует в процессе построения модели). Любое познание связано с идеализацией. Физики считают, что, отбрасывая несущественные отличия экземпляров класса друг от друга, можно получить модель, которая будет приложима ко всем экземплярам сразу. Тогда для познания любого данного конкретного объекта достаточно только опознать его как экземпляр некоторого класса. На практике это допущение справедливо только тогда, когда различия между экземплярами действительно несущественны. В противном случае можно говорить о поведении объектов данного класса лишь «в среднем», то есть статистически. Насколько полезно такое усредненное описание? Опять-таки, смотря для чего. Если мы имеем дело с большим ансамблем объектов (термодинамика, квантовая механика), то полезно, потому что в среднем адекватно. А если нас интересует именно индивидуальное поведение данного объекта (в медицине, в психологии, да просто в жизни, наконец), то «познание частного посредством опознания общего» только вредит! Например, имея некоторую классификацию жизненных ситуаций, мы можем любую новую ситуацию «подвести под схему» и действовать соответственно.

Но где гарантия того, что эта ситуация не определяется другими закономерностями, нежели те предыдущие, и сходство не было чисто поверхностным? Ведь жизненные ситуации не повторяются и похожи в гораздо меньшей степени, чем детали заводского изготовления.

Значит, каждая из них заслуживает познания, а не опознания.

Это не означает, что математические методы не применимы к такому индивидуальному познанию. Или что опознание объектов при таком подходе просто исключается. Просто меняется порядок действий.

Схема I «познание-опознание»:

Схема 2 «индивидуальное познание»:

Значит, при индивидуальном познании целью рассмотрения групп объектов должно являться не построение унифицированной (средней) модели объекта (модели для опознания), а формирование единой модели процесса индивидуального анализа таких объектов (модели для познания).

* Морис Клайн, "Математика: поиск истины".