Общие количественные закономерности взаимодействия объектов

Продолжение. Начало см. Два языка - две парадигмы

Поскольку любое событие (явление, объект) можно рассматривать как один из бесконечности исходов (следствий) любого взаимодействия любых объектов, выделяемых наблюдателем из всеобщности Бытия, любое событие можно считать охарактеризованным с достаточной для практики полнотой, если его описание включает:

перечень всех его альтернатив, т.е. полную схему событий, включающую
то, которое описывается;

перечень его причин (он же перечень причин альтернатив этого события),
т.е. полную схему альтернативных событий, на которые может быть разбита бесконечность
всех возможных событий-причин;

перечень его исходов (он же перечень исходов его альтернатив), т.е.
полную схему альтернативных событий, на которые может быть разбита бесконечность всех
возможных событий-следствий;

нормированные вероятности реализации каждой причины, входящей в полную
схему событий-причин;

нормированные вероятности реализации наблюдаемого события и его
альтернатив при реализации каждой альтернативной причины;

нормированные вероятности реализации каждого исхода (следствия)
наблюдаемого события и его альтернатив.

Располагая перечисленными характеристиками, можно записать закономерности реализации и последующего поведения любого явления в виде зависимостей вероятностей его реализации и реализации его исходов от условий, в которых это явление наблюдается^[2].

Рассмотрим предельно простой (соответственно, предельно общий) случай.

Пусть в некотором пространстве V наблюдается событие А. Его альтернативой, образующей полную схему событий, является событие не-А (все, что не есть А).

Причинами события А (соответственно, события не-А ), образующими полную схему, можно считать взаимодействие двух объектов, M и N, выделенных наблюдателем в этом пространстве, которое выражается в совмещении пространственно-темпоральных координат отдельных тел обоих объектов (событие К) и,соответственно, все, что не относится к этому взаимодействию (событие не-К). При этом совмещение координат одного тела объекта M с одним телом объекта N есть элементарное событие К.

События А и не-А , в свою очередь, имеют своими следствиями события В и не-В, также образующими полную схему.

Поскольку причинами А и не-А являются две альтернативы - К и не-К, нормированная вероятность реализации А, p_A^[3], есть сумма вероятностей реализации А при условии реализации элементарного события К и при условии его нереализации, p_A' и p_A? , соответственно, т.е.

. (1)

При этом очевидно, что

, (2)

где p_K - вероятность элементарного события К,

p_A/K - вероятность А при условии реализации К,

и

(3)

где p _не-K - вероятность нереализации элементарного события К,

p _A/не-K - вероятность А при условии нереализации К.

Очевидно, что аналогично могут быть записаны и вероятности реализации событий не-А, В и не-В при условии реализации соответствующих причин.

Следует подчеркнуть, что величина p_A?, т.е. вероятность реализации А при условии реализации не-К, равно как и величина p_В?, т.е. вероятность реализации В при условии реализации не-А - это величины, которым на практике соответствует то, что в физике, нпр., именуется "фоновым сигналом", а в биологии и медицине - "спонтанной", "естественной" и т.п. реакцией.

Введем следующие допущения:

p_A? пренебрежимо мала;

численность отдельных тел объектов M и N составляет m и n, соответственно; она постоянна и не зависит от числа уже произошедших событий К;

тела обоих объектов случайно размещены и хаотически но с постоянной скоростью перемещаются по V; все прочие характеристики тел обоих объектов (в том числе размеры и скорость перемещения) идентичны и постоянны;

за единицу пространства V принят его участок, равный по размерам одному телу взаимодействующих объектов; величина V в этих единицах, v, больше суммы объемов тел обоих объектов;

скорость перемещения всех тел по V равна единице пространства в единицу времени; перемещение каждого тела из одного участка в любой смежный происходит скачкообразно;

в любом участке V может одновременно находиться любое число тел обоих объектов (от 0 до m или n, соответственно), т.е. в одном участке V может происходить от 0 до событий K;

вероятности p_A/К и p_B/A постоянны (не зависят от времени, прошедшего с начала взаимодействия, и от числа уже реализованных событий-причин^[4].

Поскольку p_K=(m/v)^.(n/v), из этих условий следует также постоянство во времени вероятности реализации или нереализации элементарного события К в единице пространства V в единицу времени, p_K или p _не-K, и, соответственно, постоянство нормированных по времени пространству вероятностей реализации или нереализации событий А и В, которые будут записаны как:

(4)

(5)

Несложно убедиться, что сформулированные условия - это условия так называемых биномиальных испытаний, т.е. они позволяют использовать для исчисления вероятностей реализации событий К, А и В закон биномиального распределения и записать зависимости вероятностей реализации событий А и В от времени взаимодействия и (или) от числа событий-причин, происходящих одномоментно или за любое время наблюдения. Такого рода зависимости хорошо известны в естествознании как зависимости "время-эффект" или "доза-эффект". При этом временем взаимодействия, t, будет, очевидно, число единиц времени, прошедших с начала наблюдения за ним, а дозой, D, -число единичных событий-причин, одномоментно происходящих или произошедших на любое заданное время наблюдения.

Пользуясь элементарными правилами исчисления вероятностей, запишем:

вероятность нереализации события А в единицу времени во всем V, Q_A:V), как

, (6)
вероятность реализации хотя бы одного события А в единицу времени во всем V, P_A:V,

, (7)
вероятность нереализации события А в единице V за t единиц времени, Q_A:t, как

, (8)
вероятность реализации хотя бы одного события А в единице пространства V за t единиц времени, P_A:t, как

, (9)
вероятность нереализации события А во всем V за t единиц времени, Q_A:v,t, как

(10)
и вероятность реализации хотя бы одного события А во всем V за t единиц времени, P_A:v,t,, как

. (11)

Запись зависимости вероятности реализации события А от дозы взаимодействия, d, - это запись ее зависимости от числа единичных событий К, происходящих одномоментно (в одну единицу времени) или произошедших за t единиц времени в одном участке или во всем V.

Поскольку при записи зависимости p_A от d (зависимость "доза-эффект") событие К признано уже реализованным (принято, что p_K = 1), вероятность нереализации события А при дозе взаимодействия, равной d, Q_A:d, составит

, (12)
а вероятность реализации хотя бы одного события А, P_A:d, соответственно, -

. (13)

При этом доза одномоментного взаимодействия в i-том участке V, d_i,есть

, (14)

где m_i и n_i - числа тел обоих объектов, одновременно присутствующих в i-том участке V.

Доза одномоментного взаимодействия во всем V, d_V, может варьировать от 0 до , ее среднее значение, , при этом составит

; (15)

а средняя доза взаимодействия во всем V за время t, ,

. (16)

Из определения дозы как числа одиночных событий К, с очевидностью следует, что независимо от того, какой из объектов принят "действующим", а какой "реагирующим", доза взаимодействия в обоих случаях будет одинаковой^[5].

Очевидно, что заменив в выражениях (6)-(13) событие А событием В, мы получим зависимости от условий взаимодействия вероятностей реализации данного исхода события А.

Зависимости (6)-(13) - это варианты простой экспоненциальной зависимости, которые описывают предельно простой случай взаимодействия объектов, лишенных каких бы то ни было конкретных характеристик, кроме вытекающих из условий биномиальности испытаний.

Последнее делает указанный случай не только предельно простым, но и предельно общим, что, соответственно, позволяет считать зависимости (6)-(13) базовыми для описания любого конкретного явления с любой степенью последующего приближения к реальности, т.е. с любой степенью последующей детализации описания.

Иначе говоря, базовым количественным отношением между вероятностью реализации любого события в любом взаимодействии любых объектов и условиями взаимодействия является простая экспоненциальная зависимость.

Это вовсе не означает, что экспоненциальная зависимость применима в практике для описания любых явлений.

Более того, в Природе вообще нет ни одного явления, в котором зависимости вероятностей реализации соответствующих событий от условий наблюдения были бы строго экспоненциальными, поскольку реальные условия любого взаимодействия, в принципе, не могут быть идентичны условиям биномиальных испытаний.

Однако, пока наблюдатель может игнорировать различия между этими условиями, т.е. пока он может аппроксимировать реальные условия взаимодействия чисто абстрактными условиями биномиальных испытаний, соответствующий процесс адекватно, т.е. с удовлетворяющим практику приближением к реальности может быть описан простой экспонентой. Таких примеров достаточно в любой области естествознания.

В то же время любое значимое для наблюдателя отклонение от простейшего варианта (любая конкретизация и усложнение предельно общих и предельно простых условий) непременно исказит эту простую экспоненту.

Рассмотрим некоторые из таких усложнений.

Поскольку основным условием предельно общего случая взаимодействия является постоянство параметров взаимодействия, т.е. p_K, p_A/K , p_B/A , речь, прежде всего, пойдет о нарушениях этого постоянства.

Чтобы сделать наглядным влияние нарушения постоянства параметров взаимодействия, линеаризуем зависимости (6), (8), (10) и (12), для чего используем их полулогарифмическое и двойное логарифмическое (Вейбулловское) преобразования, при которых результирующие кривые этих зависимостей вырождаются в прямые линии (кривые 1 на рис. 1а и 1b).

 

Рис. 1. Зависимости (6), (8), (10) и (12) в полулогарифмических координатах (а) и в двойных логарифмических координатах (b) при постоянных и меняющихся значениях параметров взаимодействия:

1. Вид зависимостей при постоянстве p_K , и (или) p_A/K , и (или) p_B/A

2. Вид зависимостей при постоянном увеличении p_K , и (или) p_A/K , и (или) p_B/A

3. Вид зависимостей при постоянном уменьшении p_K , и (или) p_A/K , и (или) p_B/A

Для зависимости (6) x = v; y = Q_A:v

Для зависимости (8) x = t; y = Q_A:t

Для зависимости (10) x = vt; y = Q_A:v,t

Для зависимости (12) x = d; y = Q_A:d

Поскольку значения параметров взаимодействия прямо связаны с углом наклона результирующей кривой к осям координат, любое их изменение должно менять этот наклон, а соответствующая прямая превращается при этом в ломаную линию, число и направление перегибов которой будет отражать число и характер изменений во времени p_K , и (или) p_A/K , и (или) p_B/A. При постоянном и однонаправленном их изменении мы получим монотонное и все возрастающее отклонение от исходной прямой, пределами которого, соответственно пределам возможного изменения параметров (1 и 0), будут асимптоты, параллельные осям координат (кривые 2 и 3 на рис. 1).

Поскольку параметр p_K может быть изменен либо за счет изменения численности m и(или) n, либо за счет изменения скоростей перемещения тел взаимодействующих объектов по V, либо за счет изменения их размеров, эти изменения можноусловно связывать с чисто механической стороной взаимодействия.

Изменения же качественных характеристик тел взаимодействующих объектов, т.е. того, что принято называть "чувствительностью", "восприимчивостью", "устойчивостью" и т.п. реагирующего объекта и "активностью", "агрессивностью" и т.п. воздействующего объекта, будут отражаться, очевидно, на величинах p_A/K и p_B/A.

Поскольку речь идет уже о характеристиках обоих взаимодействующих объектов, эти вероятности должны быть разложены на свои составляющие.

При этом, так же как p_K есть произведение вероятностей нахождения в единицу времени в любом участке V тела одного объекта M , т.е. p_M, и одного объекта N, т.е. p_N^[6], p_A/K является произведением вероятностей таких состояний тел взаимодействующих объектов, p_Аm и p_Аn, соответственно, при которых исход их встречи - обязательная реализация события А.

Разумеется, реализация указанных состояний на деле невозможна, в принципе, т.к. p_Аm = 1 и p_Аn = 1 - это условности, допустимые лишь в анализе. Но сколь угодно близкие им состояния, т.е. состояния тел, при которых исходом их встречи является практически обязательная реализация события А, - это вполне возможная ситуация, и, соответственно, разложение p_A/K на составляющие вполне допустимо.

Изменения p_A/K и (или) p_B/A в ходе взаимодействия могут быть связаны, прежде всего, с дозой взаимодействия, d. Эта зависимость может быть представлена двумя альтернативами - с увеличением d они либо увеличиваются, либо уменьшаются (при изменении d за счет только действующего объекта мы будем иметь дело с феноменами, которые именуются аутосинергизмом и аутоантагонизмом).

Пусть , т.е. объект M, принятый за реагирующий, представлен единичным телом, а объект N, принятый за действующий, - n единичными телами. При этом каждое единичное событие К может иметь одним из своих исходов изменение p_A/K, например, за счет того что каждое единичное воздействие тела объекта N меняет чувствительность к нему объекта M, т.е. меняет p_Аm. Это изменение, очевидно, может произойти с какой-то вероятностью, p¢ _Аm; которая, в свою очередь, также может зависеть от d, т.е. каждое единичное взаимодействие меняет также и p¢ _Аm, опять-таки с какой-то вероятностью, p¢ ¢ _Аm, которая также может зависеть от d, и т.д.

Такое усложнение механизмов взаимодействия при соответствующих условиях графически может выразиться столь стремительным изменением наклона соответствующей кривой зависимости эффекта от дозы, что последняя может быть интерпретирована наблюдателем как кривая прерывистой функции типа

P_d = 0 при d< x;

P_d = 1 при d³ x.

Именно это обстоятельство, по-видимому, послужило «экспериментальным» обоснованием концепции критического (порогового) события, именуемой иногда также принципом "все или ничего"^[7].

Простой экспоненциальный характер основных зависимостей нарушается также при усложнении условий взаимодействия за счет неоднородности свойств тел взаимодействующих объектов, т.е., например, при введении условия:

;

;

В этом случае зависимости (6), (8), (10) и (12), т.е. зависимости вероятностей нереализации события А от времени и (или) дозы взаимодействия (Х) в общем виде могут быть записаны как

(17)

где - вероятность нереализации события А в единичном взаимодействии тела i-той группы тел объекта M c телом j-той группы объекта N; очевидно, что

a _i - доля тел i-той группы во множестве m;

b _j - доля тел j-той группы во множестве n,

а зависимости (7), (9), (11) и (13), т.е. зависимости вероятностей реализации хотя бы одного события А от времени и дозы взаимодействия, соответственно, как

(18)

Поскольку в любом взаимодействии мы обязательно выделяем действующий и реагирующий объекты, т.е. записываем исход любого взаимодействия как ответ реагирующего объекта, а вероятность его реализации как эффект воздействия, влияние гетерогенности тел действующего объекта (пусть в нашем случае это будет объект N) будет сведено к замене в выражениях (17) и (18) на . При этом выражения (17) и (18) могут быть записаны как

(19)

(20)

Результирующие их кривые выглядят также достаточно специфично (рис. 2).

Прежде всего, на форме кривых, как следует из выражений (19) и (20), сказывается только гетерогенность реагирующего объекта (в нашем случае объекта M), а гетерогенность действующего объекта (N) приведет лишь к параллельному сдвигу кривых относительно осей координат без изменения формы кривых.

Зависимость (19) в полулогарифмических координатах (рис 2a) даст уже не ломаные (как при непостоянстве во времени p_K и p_A/K), а монотонные, при чем только "вогнутые" кривые, асимптототы крайних ветвей которых будут результирующими кривыми соответствующих зависимостей для групп объекта M с максимальным и минимальным значениями p_Am, а форма "провиса" ("вогнутость" кривой), т.е. его симметричность или асимметричность относительно крайних ветвей - распределением p_Аm во множестве m.

При изображении зависимости (20) в двойных логарифмических координатах (на шкале Вейбулла) гетерогенность множества m прослеживается еще более наглядно (рис 2b). При наличии четко выраженных групп тел объекта M, отличающихся постоянными для этих групп значениями p_Аm, прямая линия простейшего случая превращается в сложную ступенчатую кривую , каждая "ступень" которой представляет собой монотонный "S"-образный переход от асимптоты, отражающей соответствующую зависимость для группы m_i с , к асимптоте, отражающей ту же зависимость для группы m_i+1 с . Относительная величина каждой "ступени" отражает долю соответствующей группы тел во множестве m.

Рис. 2. Зависимости (19) и (20) при гетерогенности тел взаимодействующих объектов в полулогарифмических координатах (а) и на шкале Вейбулла (b)

x - t или d

Для зависимости (19) y - Q_A:t или Q_A:d

Для зависимости (20) y - P_A:t или P_A:d

Т.о. налицо универсальный инструмент исследования механизмов любого конкретного взаимодействия, поскольку в условиях последнего всегда можно выделить как преимущественно "механические", так и "специфические" для него компоненты, которые будут оказывать влияние именно на величины и постоянство значений тех или иных параметров взаимодействия^[8].

При этом сначала выдвигается гипотеза об особенностях исследуемого взаимодействия, т.е. о конкретных характеристиках взаимодействующих объектов, отличных от условий простейшего случая. Эти особенности отражаются в записи параметров базовых зависимостей, а затем данные, которые получаются в реальном процессе, сопоставляются с соответствующими расчетными данными.

Если усложненная таким образом базовая экспоненциальная зависимость адекватно, т.е. с удовлетворительной для практики точностью описывает реальный процесс, она по праву может считаться его математической моделью.

При этом и способ построения модели, и ее существо принципиально отличаются от известных на сегодня способов математического моделирования и от существа получаемых при этом моделей.

Если не брать в расчет "моделирование" посредством простого подбора функции, удовлетворительно описывающей процесс, без выдвижения каких-либо гипотез о его механизмах, то все известные математические модели можно разделить на две группы.

Первая, наиболее распространенная, - это группа так называемых кинетических моделей. Они строятся в виде систем дифференциальных уравнений, аппроксимирующих гипотетические механизмы реализации соответствующего явления, которые формулируются в виде некоторого конечного множества однозначных причинно-следственных отношений.

Популярность кинетических моделей связана, прежде всего, с тем, что образ процесса в виде четко детерминированного механизма легче всего воспринимается субъектами, в сообществе которых господствует метафизическое мировоззрение, и к тому же очень многие реальные процессы, значимые в жизни указанных субъектов и их сообществ, вполне адекватно описываются именно таким образом, что позволяет успешно решать задачи оптимизации этих процессов и управлять ими, используя именно такие модели.

Однако очевидные достоинства кинетического моделирования становятся основным недостатком при попытках создания моделей процессов, в механизмах которых трудно или вообще невозможно выделить конечный ряд однозначных причинно-следственных отношений, результирующих интересующий наблюдателя исход.

Когда в описаниях таких процессов учитывается малое количество факторов, получаются слишком грубые и потому малопригодные модели. Когда же предпринимаются попытки участь в описании все, известное о соответствующем процессе, получаются просто необозримые системы уравнений, которые, тем не менее, так и не дают исчерпывающего описания процесса.

Последнее - принципиальная неспособность кинетических моделей дать целостную картину процесса, т.е. описание его целиком, как единого явления - основной недостаток этого способа моделирования, связанный с тем, что ни одна конечная последовательность однозначных причинно-следственных отношений не может исчерпать их реальной бесконечности и неоднозначности в любом проявлении Бытия.

Этот недостаток кинетического моделирования привел к появлению второй группы математических моделей, именуемых вероятностными. При чем именуемых так по большей части незаслуженно, поскольку в этом довольно разношерстном собрании моделей чаще всего встречаются формализации, в которых либо фиксированные значения параметров (коэффициентов уравнений) кинетических моделей заменены статистиками их распределений, т.е. единичное отношение однозначной детерминации заменено статистической совокупностью таких же отношений, либо чисто вероятностное описание одних стадий процесса сочетается с однозначно-детерминистским описанием других стадий. Если же встречаются попытки чисто вероятностного описания, то они сводят процесс любой сложности к простейшему биномиальному испытанию, вследствие чего за рамками описания остается вся специфика явления.

В отличие от всех названных, предлагаемый способ моделирования позволяет получать чисто вероятностное описание всего процесса любой сложности с позиций алгебры событий, составляющих его, т.е. с позиций и с учетом того, что может произойти в процессе на каждой из его стадий. Именно этот принцип, в основе которого лежит редукция бесконечности возможных проявлений любого процесса на каждой его стадии к конечному множеству альтернатив, образующих полную схему событий, может обеспечить полноту описания, которой лишены все прочие способы математического моделирования. Пример построения такой модели многостадийного процесса приведен ниже, при анализе инфекционных взаимодействий.

В заключение нужно подчеркнуть, что использование предлагаемого подхода к моделированию Природных процессов вовсе не означает отказа от кинетического моделирования. Оба типа моделей отражают разные аспекты процессов - что происходит (может происходить) в процессе и как происходит процесс, и поэтому, очевидно, могут рассматриваться как дополняющие друг друга приемы исследования.

^[1] "Природное явление" - это, конечно, "масло масляное", поскольку неприродных явлений не существует, в принципе, но простим себе эту некорректность.
^[2] Такая характеристика причинно-следственных отношений есть, по сути, описание механизмов реализации и последующего поведения соответствующего явления, которое может быть использовано в практической деятельности субъекта, поскольку субъект получает при этом объяснение явления и возможность прогноза его поведения.
^[3] Здесь и далее нормированные по любым основаниям вероятности реализации или нереализации события будут обозначаться строчными p или q с соответствующими индексами, а вероятности реализации или нереализации как функции условий взаимодействия - прописными P или Q с соответствующими индексами.
^[4] Говоря о реализации события (К, или А, или В), необходимо иметь в виду, что реализация события Х - это одновременно нереализация события не-Х, а нереализация события Х - это одновременно реализация события не-Х. И, очевидно, характер зависимостей никак не будет связан с тем, реализация (нереализация) какого именно события будет ими описываться.
^[5] Именно поэтому термин "доза взаимодействия" корректней традиционной "дозы воздействия".
^[6] Соответственно, pK = pM. pN, а поскольку pM = m/v и pN = n/v, pK = m n/v2.
^[7] Применительно к феномену аутосинергизма - этот принцип представлен гипотезой максимального синергизма; замена увеличения чувствительности ее уменьшением формализуется точно также и поэтому крайний случай аутоантагонизма может быть, по-видимому, сведен к аналогичной гипотезе максимального антагонизма.
^[8] Т.е. на величины нормированных вероятностей реализации всех альтернатив причин-следствий, выделенных в наблюдаемом процессе. Так, в нашем случае - на величины pB/A, pне-К; pА/не-К, pне-А/К, pне-А/не-К, рВ/не-А, рне-В/А, рне-В/не-А

© В.В. Симонов