В 1992 году я выпустил свою первую книгу по семиотике под названием «Язык как знаковая система» ^[1]. Сегодня, по истечении более чем двадцати лет, когда мои семиотические воззрения более или менее отстоялись, я бы хотел воздать должное другой знаковой системе, которая является вершиной всей пирамиды знаков, – математике. Она издревле почиталась как кладезь человеческой премудрости и даже как божественное основание всего сущего – природы и людей. Вспомним хотя бы Пифагора и его математическую школу, которая больше походила на религиозную секту, чем на научное сообщество, секту, поклонявшуюся числам как основе всех вещей. До сих пор многие смотрят на математику с мистическим трепетом, а споры по поводу ее роли в истории научного познания не только не затухают, но непрерывно расширяются. Позвольте и мне внести свою лепту в эту нескончаемую дискуссию; думается, что семиотический подход к вопросу о месте и роли математики не будет излишним.

Откуда такое поклонение и достойна ли его математика? В какой-то мере, безусловно, достойна, и вот по каким причинам.

Огл.  Математика как знаковая система

Прежде всего, примем как данность, что материалом для математики являются знаки. Они измеряют все и вся, и с помощью знаков производятся вычисления. Математическими знаками могут быть естественные предметы, как в счете по пальцам рук и ног. Ими могут быть образы, например, зарубки на палке, на которой Робинзон Крузо отмечал дни, проведенные на острове. Ими могут быть слова: «Я купила сегодня три платья». Наконец, ими становятся специальные значки, намеренно придуманные для расчетов, то есть, для математических манипуляций в арифметике, геометрии, тригонометрии или алгебре. Все эти значки создаются людьми, и их значение согласовано заранее, еще до работы с ними. Значки собираются в системы, где каждый из них занимает уготовленное ему место и приобретает соответствующую роль и алгоритмы использования именно в той системе, куда он включен. Даже будучи использован изолированно, знак имманентно несет в себе признаки системы. Так, дорожный знак, ограничивающий скорость движения, скажем, до 50 км/ч, означает, что никакая иная скорость выше указанной недопустима.

Любое математическое направление получает признаки знаковой системы. Она базируется на энном количестве номенклатурных знаков: в арифметике это цифры, идущие в определенном порядке, в геометрии это пространственные фигуры, в тригонометрии – четыре тригонометрические функции и т.д. Знаковая система регулируется своим метаязыком, который инвентаризирует номенклатуру, объясняет, как из нее появляются более сложные знаки и какие действия можно производить с ними в определенном порядке. Все это формализовано до мельчайших деталей и отдано под власть специальных синтаксических значков, которые в свою очередь инвентаризированы и наделены специфическими функциями. Согласитесь, что все перечисленные характеристики наличествуют в любой математической отрасли знания, и мы их изучаем, начиная со школьной скамьи.

Думаю, этого достаточно, чтобы убедить читателей, что математика состоит из знаковых систем. Но математические системы выделяются и существенно отличаются от всех иных систем знаков. Чем же? Этим мы и займемся ниже.

Огл.  Сфера применения математики

Математика применяется везде, где требуется измерить количество, определить местонахождение объекта, направление его движения, его скорость и многие другие параметры изучаемого явления. Всюду, где приходится делать расчеты, в дело вступает математика. А это очень и очень много; гораздо больше, чем в любой иной системе знаков. Только одна знаковая система превосходит по данному признаку математику – это язык. В языке знаменательными единицами являются слова. Любой математический значок может быть заменен словом, но словами еще можно объяснить и такие явления, которые невозможно измерить, а, следовательно, и включить в математическую обработку. Например, нельзя точно измерить человеческие эмоции, хотя их можно описать словами: большое горе, неизгладимое впечатление и пр.

Зато в этом плане математические значки там, где они используются, предоставляют гораздо более точную и недвусмысленную характеристику, нежели соответствующее словесное определение. «Какая красивая девочка!» – говорим мы; и здесь математика бессильна. «Какой большой мальчик!», но это не удовлетворит врача, проводящего медицинский осмотр. Врач измерит точный рост ребенка с помощью специальных приборов и инструментов, сравнит полученный результат со среднестатистическими данными для его возраста и только после этого сделает необходимые выводы и заключения. Согласитесь, что это более надежный путь рассуждений. В чем же дело? Почему математические знаки более точны и надежны для научного подхода к оценке предметов и явлений, чем их словесное определение?

Огл.  Математические значки более абстрактны, чем значки иных знаковых систем

Я распределил все существующие в мире знаки внутри шестиуровневой пирамиды, выстроив их в иерархическом порядке от менее к более абстрактным ^[2]. Математические формализованные системы оказались по этому признаку на самом высоком уровне, то есть их знаки обладают наивысшей степенью абстракции. Уровень абстракции выражается в частности в том, что абстрактные знаки имеют наименьшую энтропию, наименее двусмысленны и наиболее дискретны. Дискретность знаков я оцениваю по двум параметрам. Каждый знак в любой системе дискретен, то есть, отличен от всех других знаков системы, но по отношению к зашифрованным в нем объектам он может оказаться многозначным. Так, в языке большинство слов многозначны; обратитесь к любому толковому словарю, и вы поймете, что я имею в виду. В математике такого нет; в ней каждый знак отличен от всех других знаков системы и шифрует один и только один объект или его качество. К сожалению, моя классификация еще не может быть выражена количественно с помощью математики, и я не могу точно определить количество абстракции в том или ином знаке. Я надеюсь, что когда-нибудь это станет возможным; покамест мы можем определять степень абстракции используемых знаков только интуитивно ^[3].

Из всех знаковых таксонов (естественный знак → образ → слово → графема → символ в двух воплощениях) символы (они-то и используются в математике) являются наиболее абстрактными, то есть, наиболее точными знаками. К тому же они воплощают наивысшие достижения человеческого гения. По моей мысли люди овладевают различными знаками постепенно, переходя от менее к более абстрактным знакам. Этот путь человечество в целом прошло в ходе своей истории; его же повторяет каждый из нас в своем индивидуальном развитии. Наиболее абстрактными, в частности математическими, знаками мы овладеваем в последнюю очередь, а многие люди и вообще останавливаются перед ними в недоумении либо овладевают ими лишь в самых простых математических действиях, скажем, знакомясь лишь с азами арифметики.

Заниматься математикой с удовольствием назначено природой не каждому, а только людям с особым складом ума. Это вовсе не значит, что все математики гении, а все остальные люди не стоят и ломаного гроша. Каждому свое, и в каждой области знания и деятельности есть свои выдающиеся рыцари и герои. Так что нельзя сравнивать между собой Моцарта с Эйнштейном либо с Кеплером; можно сравнивать лишь представителей одной какой-то сферы активности. Тем не менее, нельзя отрицать, что математика представляет собой наиболее сложную часть науки, и это обстоятельство было замечено очень давно во всех существовавших цивилизациях. Знатоки чистой математики и специалисты в ее разнообразных приложениях ценились чрезвычайно высоко, и к ним часто относились как к волшебникам.

Огл.  Еще один аспект абстрактности в знаках

Постепенное повышение абстрактности знаков, которыми мы овладеваем, сопровождается их отдалением от изображаемых ими референтов. Если мы еще раз обратимся к представителям семиотических классов знаков, о которых я говорил выше, то мы легко заметим это обстоятельство. Так, естественные знаки, которые по кванту абстрактности являются наименее абстрактными, ближе всего находятся к своим изображаемым. Дым позволяет нам понять, что где-то что-то горит, хотя мы и не видим источник возгорания. При этом дым представляет собой часть процесса, а мы пытаемся восстановить по нему полную картину происходящего. Грозовые облака дают знать о приближении бури; иногда мы можем сказать, в каком направлении они движутся, и если они движутся к нам, то принимаем соответствующие меры.

Образы уже не непосредственные участники событий, но, будучи в определенной степени изоморфными происходящему, они тоже дают нам о нем представление. Слова языка еще дальше отдаляются от своих референтов. Зато они охватывают все бόльшие объемы и наиболее важные характеристики обозначаемых предметов или явлений и позволяют делать о них более глубокие выводы. Слова говорят и о таких вещах, которые мы не можем ни увидеть, ни изобразить, при этом квант их абстракции увеличивается. Системы записи совсем далеки от реального изображения референтов; их задача – отразить в записи то, что мы получаем от манипуляций с теми или иными знаками. Это обстоятельство дает нам возможность зафиксировать новое знание и передать его на любое расстояние и через любые промежутки времени. Так создается культура.

Наконец, математические символы и вовсе отдалены от изображаемых явлений. Лучше сказать, что для них референтом может стать любое исчисляемое событие, предмет или пространственное отношение. Степень абстракции математических символов неизмеримо выше, нежели у других классов знаков. Их отдаленность от обозначаемых ими вещей позволяет нам работать с ними (как, впрочем, и с другими символами) вместо того, чтобы работать с реальными объектами, даже не зная всего об этих самых референтах. При этом многократно увеличивается предсказательная сила получаемых выводов и появляется возможность, не отходя от письменного стола, получать практически значимые результаты. Это называется «наукой на кончике пера»; сегодня в фундаментальных исследованиях этот метод является не исключением, а правилом. Данное обстоятельство немало способствует успехам математики и усилению ее престижа.

Огл.  Системы записи в математике

Каждая более или менее абстрактная знаковая система разрабатывает для себя систему записи. Имея дело с естественными знаками, у нас вовсе не всегда есть необходимость записывать то, что с нами происходит, и как нам при этом следует поступить. Видя лужу, я ее огибаю не потому, что мне об этом некогда сказала мама или что я получил по этому случаю письменные указания. Просто когда-то я намочил в луже ноги, и с этих пор она стала для меня знаком, которому я следую. Также и образные знаки далеко не всегда сопровождаются письменным предварением. Мы посещаем музеи и испытываем при этом эстетическое удовольствие, не будучи заранее просвещены по поводу тех картин, которые мы рассматриваем. Это необходимо для экскурсоводов, но не для обычных любителей живописи.

Однако уже языковые системы тяготеют к тому, чтобы обзавестись письменностью. Они могут существовать и без нее – так это и было на протяжении многих тысячелетий, пока люди не изобрели письмо. Как я упоминал выше, запись нужна нам, прежде всего, для того, чтобы сказанное мгновенно не улетучивалось. Запись сохраняет изложенные в ней мысли и настроения на бесконечно долгий срок и позволяет донести их до огромного количества людей как в настоящем, так и в будущем. Это первичная задача записей, но есть у них и вторая, не менее важная функция – расширять и углублять возможности той знаковой системы, в которой она, эта запись возникает.

Запись позволяет материально воплотить мысль, вернуться к ней снова и снова и отшлифовать ее до данного тебе предела. В таком виде ты запускаешь ее для всеобщего обозрения. Хорошо изложенная мысль в этом случае переходит из личной собственности в собственность многих. Я не говорю о юридическом аспекте проблемы – мы пытаемся как-то компенсировать авторов глубоких мыслей и переживаний. Я говорю о психологическом эффекте. Как только мы ознакомляемся с чужой мыслью и вносим ее в свой мозг, она становится нашей неотъемлемой принадлежностью, от которой просто невозможно избавиться. Кроме того, без записи нельзя создать обширного произведения: сомнительно, чтобы можно было проговорить Войну и мир устно или сыграть симфонию Бетховена, вовсе не обращаясь к нотам.

Картина кардинально меняется, когда мы начинаем работать с формализованными схемами типа математических знаковых систем. Они настолько компактны и логически последовательны, что не могут существовать без предварительной подготовки. Мельчайшая нестыковка в изложении чревата для них финальным провалом. Поэтому математические рассуждения должны тщательнейшим образом записываться и многократно проверяться. Поэтому же математические системы в принципе невозможно запускать без заранее продуманной системы фиксации их знаков. Как и во всех остальных знаковых системах, в каждой нотации существует свой метаязык, регламентирующий номенклатурные значки, правила получения из них производных знаков и синтаксиса сложения всех знаменательных знаков в продолженные тексты.

Таким образом, наличие и характеристики систем записи можно сделать критерием степени формализации и абстрактности знаковой системы. Для математических систем это означает предварительное их оснащение подходящей нотацией со всеми вытекающими отсюда последствиями и свидетельствует о максимальной абстрактности их знаков. В математических системах они оказываются наиболее абстрактными хотя бы потому, что только там мы широко используем переменные знаки типа латинских букв х, у и z. Они настолько удалены от зашифрованных в них референтов, что мы предпочитаем производить расчеты с временно действующими на данном этапе переменными знаками, полностью абстрагируясь от их реального содержания. Лишь завершив наши расчеты и выдав конечный результат, мы переходим к его насыщению конкретикой и к его возможным практическим приложениям. Мы заменяем переменные константными значками, сначала просто цифрами, а потом и конкретно измеренными величинами какого-то содержания.

Любопытно, что подобное временное отстранение от реального смысла знаков помогает нам получать значимые результаты, кардинально изменяющие в их конкретных приложениях нашу жизнь. В этом я тоже вижу силу и апофеоз математики. Есть и другие достижения в математическом знаковом арсенале (например, способность и даже тяготение к созданию нерасторжимых формул, дающих окончательный результат, который зачастую переворачивает наше понимание вселенной); но и сказанного достаточно для характеристики знакового обеспечения этой науки.

Огл.  Аппликации математических идей

В этом плане среди математиков выявляются явные предпочтения. Некоторые из них считают, что настоящему математику следует заниматься чистой математикой, устанавливающей закономерности и правила знаковой системы как таковой. Например, известный английский математик первой половины ХХ века Годфри Гарольд Харди заявлял в своей книге Апология математика, что прикладная математика скучна и непривлекательна, и что предпочтительней заниматься чистой наукой. Напротив, русский математик начала того же века А.Н. Крылов считал, что математика, не имеющая непосредственного выхода на практические аппликации, вообще не может существовать. Обе точки зрения несправедливы в своей уничижительной оценке нелюбимой ими части математики. Они составляют единое и нерасторжимое целое. Математика настолько обширна и разветвлена, что ее постоянное упорядочение как знаковой системы требует непрестанных усилий. С другой стороны, она существует не сама по себе, но для людей и для улучшения условий их существования. Ее приложения проявляются повсюду и непрестанно расширяются в объеме и степени эффективности.

При обсуждении применения математики в различных приложениях даже одной науки следует иметь в виду, что в большинстве случаев любое из них опирается на свою особую математику. Изучая гравитационные притяжения тел, Ньютон применил достаточно простую математику, выраженную в его знаменитой формуле. Для выводов Эйнштейна потребовался совсем иной математический аппарат. А в начале ХХ века, изучая строение атома, физики придумали и вовсе квантовую математику, опрокидывавшую все предыдущие наработки.

Происходит это потому, что достаточно сложные явления существенно изменяются сами по себе, постоянно открывая нам новые и неизведанные ранее грани. Это обстоятельство отражается на их знаковом сопровождении, в котором для новых ситуаций требуются либо совершенно иные знаки, либо диакритические добавки к старым обозначениям. Так, химические элементы первоначально были обозначены символами из одной или двух латинских букв, взятых из их названия. Когда были открыты изотопы химических элементов, то они получили диакритические добавки к принятым ранее символам; к тому же каждый изотоп стал обрабатываться различными математическими уравнениями. Способность математики к овладению все новыми территориями воистину уникальна.

Нет возможности перечислить все приложения математики: они везде. Среди них целые науки, например, физика, которая на наших глазах переделывает мир. В других науках математика не так заметна, но и в них она оказывается необходимой. Возьмем в качестве иллюстрации географию. Простейшие математические замеры использовались в географических описаниях с самого начала существования данной науки: горы и возвышенности измерялись по высоте; определялись расстояния до и между разными географически описываемыми объектами и занимаемые ими площади. Но это – простая арифметика.

Следует заметить, что знаки изменяются по степени абстрактности не только по вертикали вверх, попадая в более абстрактные схемы, но и по горизонтали того же уровня, увеличивая свою абстрактность по мере их использования в одной и той же науке. Так и в географии, когда начала развиваться ее сегодняшняя нотация – картография, для изготовления плоскостных карт пришлось прибегнуть к помощи математики. На глобусах можно было изобразить подлинные контуры суши и морей, а на плоскости они искажались. Лишь с помощью математических проекций удается минимизировать такие искажения, причем на разных широтах требуется вносить каждый раз свои коррективы, опираясь, опять-таки, на различные математические модели. А это, согласитесь, более сложная математика, чем простые замеры.

Наконец, сегодня, когда мы запустили спутники, стабильно привязанные к одной точке над земной поверхностью, стало возможным фотографировать с них огромные пространства и определять наше точное местонахождение в любой отрезок времени. Теперь для ориентации на земной поверхности мы зачастую пользуемся не картой, а навигатором. На нем отмечается точка нашего сиюминутного пребывания, а от нее мы можем проложить путь к любой другой точке на Земле. В результате мы получаем зримую линию нашего предполагаемого продвижения к заданной точке. Для этого требуются данные о нашем местонахождении с нескольких рядом расположенных спутников, способных нас наблюдать; сведéние этих данных в единый результат; информация о состоянии дорог на территории, где мы находимся, и еще многие иные слагаемые. Все они закладываются в память компьютера, который их координирует и в результате выдает пользователю маршрут следования в виде линии, появляющейся на навигаторе. Чудо из чудес, производимое математическими методами!

Подобные экскурсы можно проделать и в других науках, проанализировав роль математики в их развитии. Разумеется, математика не всесильна, как не всесильна и наука в целом. Но все же именно наука в течение нескольких последних столетий являлась локомотивом прогресса и изменений нашей жизни в лучшую сторону. А в системе наук математика, как я пытался показать, занимает далеко не последнее место. Она даже может предсказать, когда разрушится наша Солнечная система и, соответственно, пойдет под откос человеческая цивилизация на планете Земля. К счастью, это произойдет не скоро. Будем надеяться, что к тому времени наука и математика, как одна из ее важнейших областей, предоставят нам возможность переселиться на другие планеты, подходящие для продолжения жизни землян в новых условиях. Думаю, что и там математика будет играть одну из ведущих ролей.

Огл.  К определению математики

Все сказанное дает мне основание для нового подхода к определению математики. Собственно говоря, поводом для настоящей работы послужило прочтение статьи Григория Полотовского «Ещё раз об определении предмета математики и о периодизации её истории» ^[4]. В ней автор вновь обращается к многочисленным попыткам математиков определить предмет своей науки и выносит на обсуждение собственные предложения. Мне кажется, что сформулировать такое определение, пользуясь только доводами математики, невозможно. Нужен еще взгляд извне, например, философов или историков науки. Со своей стороны я предлагаю мнение семиотика, которое изложил выше, и предлагаю математикам обсудить такое определение: